Кое число на квадрат дава 6. Съкратени формули за умножение
Квадратът на число е резултат от математическа операция, която издига това число до втората степен, тоест умножава това число веднъж само по себе си. Обичайно е да се обозначава такава операция, както следва: Z2, където Z е нашето число, 2 е "квадратната" степен. Нашата статия ще ви каже как да изчислите квадрата на число.
Изчислете квадрата
Ако броят е прост и малък, то това може да се направи просто или в ума, или с помощта на таблицата за умножение, която е добре позната на всички нас. Например:
42 \u003d 4х4 \u003d 16; 72 \u003d 7x7 \u003d 49; 92 \u003d 9x9 \u003d 81.
Ако броят е голям или „огромен“, тогава можете да използвате или таблицата на квадратите, която всички са научили в училище, или калкулатор. Например:
122 \u003d 12х12 \u003d 144; 172 \u003d 17x17 \u003d 289; 1392 \u003d 139x139 \u003d 19321.
Също така, за да получите желания резултат за двата горни примера, можете да умножите тези числа в колона.
За да получите квадрата на която и да е дроб, трябва:
- Конвертирайте дроб (ако фракцията има цяла част или е десетична) в неправилна дроб. Ако дробът е правилен, тогава нищо не трябва да се превежда.
- Умножете знаменателя по знаменателя, а числителя по числителя на фракцията.
Например:
(3/2) 2 \u003d (3/2) x (3/2) \u003d (3x3) / (2x2) \u003d 9/4; (5/7) 2 \u003d (5/7) x (5/7) \u003d (5x5) / (7x7) \u003d 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Най-лесният начин да използвате някоя от тези опции е да използвате калкулатор. За това ви трябва:
- Наберете номер на клавиатурата
- Натиснете бутона със знака "умножение"
- Натиснете бутона със знака "равен"
Също така винаги можете да използвате търсачки в Интернет, като например Google. За да направите това, просто трябва да въведете съответната заявка в полето на търсачката и да получите готов резултат.
Например: за да изчислите квадрата на числото 9.17, трябва да въведете 9.17 * 9.17, или 9.17 ^ 2, или „9.17 на квадрат“ в търсачката. Във всяка от тези опции търсачката ще ви даде правилния резултат - 84.0889.
Сега знаете как да изчислите квадрата на всяко число, което ви интересува, независимо дали е цяло число или дроб, голямо или малко!
Днес ще се научим как бързо да квадрат на големи изрази без калкулатор. Като цяло имам предвид числа между десет и сто. Големите изрази са изключително редки при реални проблеми и стойности по-малки от десет вече знаете как да броите, защото това е често срещана таблица за умножение. Материалът от днешния урок ще бъде полезен за доста опитни ученици, защото начинаещите ученици просто няма да оценят скоростта и ефективността на тази техника.
Първо, нека разберем за какво става въпрос. Например предлагам да направим конструкция на произволен числов израз, както обикновено правим. Да кажем 34. Вдигаме го, като го умножаваме само по колона:
\\ [((34) ^ (2)) \u003d \\ пъти \\ frac (34) (\\ frac (34) (+ \\ frac (136) (\\ frac (102) (1156)))) \\]
1156 е квадрат 34.
Проблемът с този метод може да бъде описан в две точки:
1) изисква писмена регистрация;
2) много е лесно да сгрешите в процеса на изчисление.
Днес ще научим бързо умножение без калкулатор, устно и практически без грешки.
Така че нека да започнем. За да работим, се нуждаем от формулата за квадрата на сумата и разликата. Нека ги запишем:
\\ [(((a + b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
\\ [(((a-b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
Какво ни дава? Факт е, че всяка стойност в диапазона от 10 до 100 може да бъде представена като число $ a $, което се дели на 10, и число $ b $, което е останалата част от делението на 10.
Например 28 могат да бъдат представени по следния начин:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 20 + 8 \\\\ & 30-2 \\\\\\ край (подравняване) \\]
По същия начин представяме останалите примери:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\ & 60-9 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\ & 50-8 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 70 + 7 \\\\ & 80-3 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\ & 30-9 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 20 + 6 \\\\ & 30-4 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 30 + 9 \\\\ & 40-1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\ & 90-9 \\\\\\ край (подравняване) \\]
Какво ни дава такава идея? Факт е, че със сумата или разликата можем да приложим горните изчисления. Разбира се, за да се съкратят изчисленията, за всеки от елементите трябва да се избере израз с най-малкия втори член. Например от опциите $ 20 + $ 8 и $ 30-2 $ трябва да изберете опцията $ 30-2 $.
По същия начин избираме опции за останалите примери:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 30-2 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 80-3 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 30-4 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 40-1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
Защо трябва да се стремите да намалите втория член по време на бързо умножение? Всичко е свързано с първоначалните изчисления на квадрата на сумата и разликата. Въпросът е, че плюс-минусът $ 2ab $ е най-труден за изчисляване при решаване на реални проблеми. И ако множителят $ a $, кратен на 10, винаги се умножава лесно, тогава с множителя $ b $, което е число в диапазона от едно до десет, много ученици редовно имат затруднения.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Ето как умножихме осем примера за три минути. Това е по-малко от 25 секунди за всеки израз. В действителност, след малко практика, ще броите още по-бързо. Ще ви отнеме не повече от пет до шест секунди, за да изчислите който и да е двуцифрен израз.
Но това не е всичко. За тези, на които показаната техника изглежда недостатъчно бърза и недостатъчно готина, предлагам още по-бърз метод на умножение, който обаче не работи за всички задачи, а само за тези, които се различават с един от кратни на 10. Там са четири такива стойности в нашия урок: 51, 21, 81 и 39.
Изглежда, че много по-бързо, ние вече ги броим буквално в няколко реда. Но всъщност можете да ускорите и това се прави по следния начин. Записваме стойността, кратна на десет, която е най-близка до желаната. Например, да вземем 51. И така, за да започнем, нека изградим петдесет:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Множители на десет са много по-лесни за квадратиране. И сега просто добавяме петдесет и 51 към оригиналния израз. Отговорът е същият:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
И така с всички числа, които се различават по едно.
Ако търсената от нас стойност е по-голяма от тази, която броим, тогава добавяме числа към получения квадрат. Ако желаното число е по-малко, както в случая с 39, тогава при извършване на действието трябва да извадите стойността от квадрата. Нека практикуваме без да използваме калкулатор:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Както можете да видите, във всички случаи отговорите са еднакви. Освен това, тази техника е приложима за всички съседни стойности. Например:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((26) ^ (2)) \u003d 625 + 25 + 26 \u003d 676 \\\\ & 26 \u003d 25 + 1 \\\\\\ край (подравняване) \\]
В същото време не е нужно да помним изчисленията на квадратите на сумата и разликата и изобщо да използваме калкулатор. Скоростта на работа е извън похвалите. Затова запомнете, практикувайте и използвайте на практика.
Ключови точки
С тази техника можете лесно да умножите всякакви естествени числа в диапазона от 10 до 100. И всички изчисления се извършват устно, без калкулатор и дори без хартия!
Първо, запомнете квадратите на стойности, кратни на 10:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((10) ^ (2)) \u003d 100, ((20) ^ (2)) \u003d 400, ((30) ^ (2)) \u003d 900, ..., \\\\ & ((80) ^ (2)) \u003d 6400, ((90) ^ (2)) \u003d 8100. \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((34) ^ (2)) \u003d (((30 + 4)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 2 \\ cdot 30 \\ cdot 4+ ((4) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900 + 240 + 16 \u003d 1156; \\\\\\ край (подравняване) \\]
\\ [\\ начало (подравняване) & ((27) ^ (2)) \u003d (((30-3)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) - 2 \\ cdot 30 \\ cdot 3+ ((3) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900-180 + 9 \u003d 729. \\\\\\ край (подравняване) \\]
Как да броим още по-бързо
Но това не е всичко! С помощта на тези изрази можете незабавно да квадратирате числата „съседни“ на референтните. Например знаем 152 (референтната стойност), но трябва да намерим 142 (съседното число, което е с едно по-малко от референтната стойност). Нека напишем:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((14) ^ (2)) \u003d ((15) ^ (2)) - 14-15 \u003d \\\\ & \u003d 225-29 \u003d 196. \\\\\\ край (подравняване) \\]
Обърнете внимание: без мистика! Квадрати от числа, различни с 1, всъщност се получават чрез умножаване на осевите числа сами по себе си чрез изваждане или добавяне на две стойности:
\\ [\\ начало (подравняване) & ((31) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 30 + 31 \u003d \\\\ & \u003d 900 + 61 \u003d 961. \\\\\\ край (подравняване) \\]
Защо се случва това? Нека напишем формулата за квадрата на сумата (и разликата). Нека $ n $ е нашата референтна стойност. Тогава те се считат, както следва:
\\ [\\ начало (подравняване) & (((n-1)) ^ (2)) \u003d (n-1) (n-1) \u003d \\\\ & \u003d (n-1) \\ cdot n- (n-1 ) \u003d \\\\ & \u003d\u003d ((n) ^ (2)) - n- (n-1) \\\\\\ край (подравняване) \\]
- това е формулата.
\\ [\\ начало (подравняване) & (((n + 1)) ^ (2)) \u003d (n + 1) (n + 1) \u003d \\\\ & \u003d (n + 1) \\ cdot n + (n + 1 ) \u003d \\\\ & \u003d ((n) ^ (2)) + n + (n + 1) \\\\\\ край (подравняване) \\]
- подобна формула за числа, по-големи от 1.
Надявам се, че този трик ще ви спести време за всички предизвикателни тестове и изпити по математика. И това е всичко за мен. Ще се видим!
Съкратени формули за умножение.
Изучаване на съкратени формули за умножение: квадратът на сумата и квадратът на разликата на два израза; разлика в квадратите на два израза; кубът на сумата и кубът на разликата на два израза; сума и разлика на кубчета от два израза.
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
За опростяване на изрази, разлагане на множества на множители и привеждане на полиноми до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Съкратените формули за умножение трябва да се знаят наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сумата на двата израза е квадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз на втория плюс квадратът на втория израз.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратната разлика на двата израза е квадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз на втория плюс квадратът на втория израз.
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика в квадратитедва израза е равен на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.
a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)
4. Сум кубдва израза е равен на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз и на втория плюс три пъти първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Различен кубдва израза е равно на куба на първия израз минус три пъти квадрата на първия израз и втория плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сума от кубчетадва израза е равен на произведението от сумата на първия и втория израз на непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Различни кубчета два израза е равен на произведението от разликата на първия и втория израз от непълния квадрат на сумата от тези изрази.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
Пример 1.
Изчисли
а) Използвайки формулата за квадрата на сумата от два израза, имаме
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
б) Използвайки формулата за квадрата на разликата от два израза, получаваме
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Пример 2.
Изчисли
Използвайки формулата за разликата между квадратите на двата израза, получаваме
Пример 3.
Опростете израза
(х - у) 2 + (х + у) 2
Използваме формулите за квадрата на сумата и квадрата на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Съкратени формули за умножение в една таблица:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)