Насипна плътност на електрическото поле

Нека сега приемем, че има непрекъснато разпределение на зарядите, дадено от обемната плътност ρ (r →). Тогава елементарният обем dV съдържа заряд

dq \u003d ρ (r →) dV,

и формулата (39 ′) приема формата W \u003d 1 2 ∫ ρ (r →) ϕ (r →) dV. (16.1)

Трябва да се направи забележка, за да се обоснове преходът (39 ′) → (42). Преминавайки към разпределението на обема под интеграла, най-общо казано, трябва да се пише

ρ (r →) ϕ ′ (r →),

разбиране под ϕ ′ (r →) на потенциала на всички заряди, с изключение на елементарен заряд ρdV. Нека представим мислено заряда ρdV под формата на равномерно заредена топка с малък радиус δ, центрирана в точката r → и с плътност на заряда ρ (r →). Лесно е да се изчисли, че потенциалът на този заряд в центъра на топката \u003d 3 2 q δ \u003d 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ \u003d 2πδ2 ⋅ ρ (r →) и следователно

ϕ ′ (r →) \u003d ϕ (r →) - 2πρ (r →) δ2.

Това показва, че като δ → 0 ϕ ′ → ϕ (r →) и заместването на ϕ ′ (r →) с ϕ (r →) е наистина допустимо.

Сега извършваме някаква идентична трансформация на израз (42), замествайки ρ в последния, съгласно уравнението на Поасон (13), с −1 4πΔϕ и използвайки формулата за векторния анализ

div (ϕgradϕ) \u003d ϕ∆ϕ + gradϕ) 2;

в резултат получаваме

W \u003d - 1 8π ∫ div (ϕgradϕ) −gradϕ) 2] dV \u003d 1 8π ∮ SϕEndS + 1 8π ∫ V E2dV,

където S е повърхността, ограничаваща обема V. Ако зарядите заемат ограничен обем в пространството и като повърхност S се вземе повърхност с произволно голям радиус R, тогава като R → ∞ интегралът върху повърхността

тъй като на големи разстояния ϕ и En съвпадат поне не по-бавно от 1 R и 1 R2 (ако, повтаряме, зарядите заемат краен обем пространство) и повърхността нараства като R2.

И така, в резултат на идентичната трансформация на израз (42), получаваме формулата W \u003d ∫ E2 8πdV (16.2)

под формата на интеграл върху цялото пространство, заето от полето, което в сравнение с оригиналната формула (39) има не само нова форма, но по същество ново значение, определящо енергийната плътност на електрическото поле в пространството W \u003d E2 8π. (16.3)

Докато (39) описва само енергията на взаимодействие на различни заряди (i ≠ j), формула (42) и следващата формула (43) също включват собствената енергия на всеки от тези заряди. По отношение на полето можем да кажем, че формулите (42), (43) описват общата енергия на електрическото поле, докато (39) - само част от тази енергия.

Идеята за енергията на електрическо поле, разпределено в пространство с обемна плътност (44), беше получена тук въз основа на строги разсъждения. И сега ще получим израз (44) от разглеждането на конкретен пример. Ясно е, че не могат да бъдат дадени примери за доказателство за валидността на (44) за общия случай. От друга страна, конкретни примери могат да дадат ясна представа за това как „работи“ отношението (44).

Нека започнем с дискусия поддържащ въпрос за силите, действащи върху повърхностните заряди от страната на електрическото поле. По-конкретно, силите, действащи върху зарядите на повърхността на проводника.

Знаем, че точковият заряд q от електрическото поле E → се въздейства от сила

където E → е интензивността на полето, възбудено от всички заряди на системата, с изключение на самия заряд q. Когато се обърнем към силите, действащи върху повърхностните заряди, възниква трудност поради факта, че полето E → от различни страни на повърхността има различни стойности, а на самата повърхност е неопределено. Както вече обсъдихме, вътре в проводника полето е идентично нула, а от външната страна на повърхността има само нормален компонент, свързан с локалната повърхностна плътност σ (виж фиг. 34). Ясно е, че концепцията за прекъсване на полето се дължи на неявен отказ да се разгледа структурата на тънък слой, където са разположени зарядите, и ние ще приемем, че този слой е безструктурна математическа повърхност. Тази идеализация е изключително продуктивна, което ни позволява да дефинираме полетата отвън и вътре в проводника с помощта на прости средства. Определянето на структурата на повърхностния слой за метални проводници се извършва, като се вземе предвид функцията на Ферми-Дирак за разпределение на проводими електрони и все още не е достъпна за нас. Но фактът, че повърхността на проводника, където са концентрирани зарядите, всъщност има определена крайна дебелина δ, макар и много малка, където зарядите са разпределени по обема, улеснява получаването на израз, който свързва силите, действащи върху повърхността на проводника, със силата на полето близо до това повърхност.

И така, нека разгледаме подчертаното на фиг. 34 е площта на dS на проводника. Имайки предвид, че дебелината на слоя е много малка, кривината на повърхността може да бъде пренебрегната и повърхността на проводника и разглеждания слой може да се счита за плоска.

Начертайте оста x по външната нормал към повърхността на проводника и оставете слоя, където се разпределят зарядите, да заеме района (фиг. 35). Можем да приемем, че полето E → вътре и близо до слоя не зависи от координатите y, z и има само х-компонента Ex (x), а обемната плътност на заряда се характеризира с функцията ρ (x). Вляво от този слой електрическото поле е нула (полето вътре в проводника). Следователно Ex (x) вътре в слоя удовлетворява уравнението

dEx dx \u003d 4πρ (x), (∗)

гранично условие E (0) \u003d 0 и има решение

Ex (x) \u003d 4π ∫ 0xρ (ξ) dξ.

Сега е лесно да се намери силата, действаща върху слоя,

f → \u003d fxe → x, fx \u003d ∫ 0δρ (x) E x (x) dx,

на единица площ на проводника. Замествайки тук вместо ρ (x) израза от (*), получаваме

fx \u003d 1 4π ∫ 0δE x (x) dEx dx dx \u003d 1 8π ∫ 0δ d dx2dx,

където E0 \u003d Ex (δ) \u003d 4π ∫ 0δρ (x) dx \u003d 4πσ е силата на полето на външната повърхност на проводника.

По този начин силата, действаща върху повърхността на проводника, се определя от общия заряд σ \u003d ∫ 0δρ (x) dx на единица повърхност и не зависи от разпределението ρ (x). Обърнете внимание, че за всеки знак на заряда σ, т.е. за всяка посока на полето E → 0, силата f → е насочена по външната нормал, т.е. f → \u003d E02 8π n →. (16.4)

Обърнете внимание, че резултатът (45) е валиден за всяка заредена повърхност, ако само от едната страна на повърхността силата на полето е нула.

Нека сега се обърнем към пример, за да илюстрираме израза

W \u003d 1 8π ∫ E2dV.

Пример 1. Нека сферична повърхност с радиус R е равномерно заредена с общ заряд q. След като разгледахме процеса на разширяване на сферата до радиус R + dR, намерете израз за енергийната плътност на електрическото поле.

в начално състояние Er \u003d q r2 за r\u003e R 0 за r< R

в крайно състояние Er \u003d q r2 за r\u003e R + dR 0 за r< R + dR

Полетата са показани на фигура 36.

От страната на електрическото поле върху сферата действат сили с плътност

fr \u003d 1 8πE02, E 0 \u003d q R2.

Тези сили вършат работата

δA \u003d fr ⋅ 4πR2dR \u003d 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR. (а)

По време на разширяването на сферата електрическото поле в пространството r\u003e R + dR остана непроменено, а в сферичния слой (R, R + dR) то напълно изчезна, т.е. енергията на електрическото поле, променена със стойността

dW \u003d −W ⋅ 4πR2dR, (b)

където W е необходимата обемна енергийна плътност.

Според закона за запазване на енергията

тези. работа δA електрически сили постигнато поради намаляването на енергията на електрическото поле. Замествайки тук изрази (а) и (б), след намаляване на слоя 4πR2dR по обем, получаваме W \u003d 1 8πE02 - това, което искахме да видим.

Коментирайте. Тази сфера може да се използва за решаване на обратния проблем: ако приемем, че енергийната плътност W ни е известна, намерете повърхностната сила fr, посочена към единичната повърхност на заредената сфера от страната на електрическото поле. Решението е очевидно.

Като втори пример изчисляваме енергията на полето на равномерно заредена топка с радиус a

Er \u003d q r2 за r ≥ R q a3 r за r< a

W \u003d 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr \u003d 3 5 q2 a.

Нека използваме получения резултат, за да въведем понятието „класически радиус на частица“.

Според теорията на относителността поле с енергия W има маса m \u003d W ∕ c2. Следователно, всяка частица с маса m и заряд q не може да има размер по - малък от

от масата на частицата не може да бъде по-малка от масата на нейното поле (при писане на тази формула константата 3/5 не се взема предвид).

Например за електрон

re \u003d e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10-13cm.

Нека два заряда q 1 и q 2 са на разстояние r един от друг. Всеки от зарядите, намиращ се в полето на друг заряд, има потенциална енергия P. Използвайки П \u003d qφ, дефинираме

P 1 \u003d W 1 \u003d q 1 φ 12 P 2 \u003d W 2 \u003d q 2 φ 21

(φ 12 и φ 21 са съответно потенциалите на полето на заряда q 2 в точката, където зарядът q 1 и зарядът q 1 са разположени в точката, където се намира зарядът q 2).

Според дефиницията на потенциала на точков заряд

Следователно.

или

По този начин,

Енергията на електростатичното поле на системата от точкови заряди е

(12.59)

(φ і е потенциалът на полето, създадено от n -1 заряда (с изключение на q i) в точката, където се намира зарядът q i).

Енергията на самотен зареден проводник

Самотен незареден проводник може да бъде зареден до потенциала φ, като многократно прехвърля части от заряда dq от безкрайността към проводника. В този случай елементарната работа, която се извършва срещу полевите сили, е равна на

Прехвърлянето на заряд dq от безкрайността към проводника променя потенциала си с

(С е електрическият капацитет на проводника).

Следователно,

тези. когато зарядът dq се прехвърли от безкрайността към проводника, ние увеличаваме потенциалната енергия на полето с

dП \u003d dW \u003d δA \u003d Cφdφ

Чрез интегриране на този израз намираме потенциалната енергия на електростатичното поле на зареден проводник с увеличаване на неговия потенциал от 0 до φ:

(12.60)

Прилагане на съотношението

, получаваме следните изрази за потенциалната енергия:

(12.61)

(q е зарядът на проводника).

Енергия на зареден кондензатор

Ако има система от два заредени проводника (кондензатор), тогава общата енергия на системата е равна на сумата от собствените й потенциални енергии на проводниците и енергията на тяхното взаимодействие:

(12.62)

(q е зарядът на кондензатора, C е неговият електрически капацитет.

ОТ като се има предвид, че Δφ \u003d φ 1 –φ 2 \u003d U е потенциалната разлика (напрежение) между плочите), получаваме формулата

(12.63)

Формулите са валидни за всяка форма на кондензаторните плочи.

Физическа величина, която е числено равна на съотношението на потенциалната енергия на полето, съдържащо се в елемент от обема, към този обем се наричаобемна енергийна плътност.

За равномерно поле, обемната енергийна плътност

(12.64)

За плосък кондензатор, чийто обем е V \u003d Sd, където S е площта на плочата, d е разстоянието между плочите,

Но

,

тогава

(12.65)

(12.66)

(E е силата на електростатичното поле в среда с диелектрична константа ε, D \u003d ε ε 0 E е електрическото изместване на полето).

Следователно, обемната енергийна плътност на еднородно електростатично поле се определя от силата E или изместването D.

Трябва да се отбележи, че изразът

и

са валидни само за изотропен диелектрик, за който има отношение p \u003d ε 0 χE.

Израз

съответства на теорията на полето - теорията на действието на къси разстояния, според която енергийният носител е полето.

Фероелектрици. Техните характеристики. Пиезо ефект.

Фероелектрици, кристални диелектрици, които имат спонтанна (спонтанна) поляризация в определен температурен диапазон, която се променя значително под въздействието на външни влияния.

Пиезоелектричен ефект - ефектът от появата на поляризация на диелектрика под действието на механични напрежения

Проводници в електрическо поле. Разпределение на зарядите в проводник.

Ε \u003d Евнешн - Евнутр \u003d 0

Въвеждаме проводникова плоча в електрическо поле, наричаме това поле външно .

В резултат на това ще има отрицателен заряд на лявата повърхност и положителен заряд на дясната повърхност. Между тези заряди ще възникне собствено електрическо поле, което ще наречем вътрешно. Вътре в плочата ще има едновременно две електрически полета - външно и вътрешно, противоположни по посока.

Електрически капацитет на проводниците. Кондензатор. Свързване на кондензатори.

Електрически капацитет - физическо количество числено равна на количеството заряд, който трябва да се съобщи на този проводник, за да се увеличи потенциалът му с един.

Кондензатор - устройство за съхраняване на заряда и енергията на електрическото поле.

паралелно свързани

серия свързани

Енергията на зареден проводник, кондензатор. Енергия от електрическото поле. Обемна енергийна плътност на електрическото поле.

Енергия на зареден проводник е равно на работата, която трябва да се свърши, за да се зареди този проводник:

Енергия на зареден кондензатор

Енергия на електростатичното поле

Обемна енергийна плътност на електростатичното поле

16. Сила и плътност на електрическото поле. ЕМП. Волтаж.

Сила на тока е скаларна физическа величина, определена от съотношението на заряда Δq, преминаващ през напречното сечение на проводника за определен интервал от време Δt към този интервал от време.

Плътност на тока j е векторна физическа величина, чийто модул се определя от съотношението на тока I в проводника към площта на напречното сечение S на проводника.

Електродвижеща сила (ЕМП) - физическа величина, характеризираща работата на външни (непотенциални) сили в източници на постоянен или променлив ток. В затворен проводящ контур ЕМП е равна на работата на тези сили върху движението на единица положителен заряд по контура.

Електрическо напрежение - физическа величина, чиято стойност е равна на съотношението на работата на електрическото поле, извършено по време на прехвърлянето на изпитвания електрически заряд от точка А в точка Б към стойността на изпитвателния заряд.

17. Законът на Ом за еднороден участък от верига. Законът на Ом за хетерогенна област в интегрална форма. Законът на Ом за пълна верига.

ток I в хомогенен метален проводник право пропорционални на напрежението U в краищата на този проводник и обратно пропорционални на съпротивлението R на този проводник

законът на Ом за нехомогенен участък от верига в интегрална форма IR \u003d (φ1 - φ2) + E12

Законът на Ом за пълна верига :

18. Диференциална форма на закона на Ом.

j-плътност на тока, σ - електрическа проводимост на веществото, от което е направен проводникът Est-поле на външни сили

19. Законът на Джоул-Ленц в интегрални и диференциални форми.

в диференциална форма:

плътност на топлинната мощност -

в интегрална форма:

20. Нелинейни елементи. Методи за изчисление с нелинейни елементи. Правилото на Кирххоф.

нелинейни са наречени електрически вериги, при които реакциите и въздействията са нелинейно свързани.

Прост итерационен метод

1. Оригиналното нелинейно уравнение на електрическата верига, където е търсената променлива, е представено във формата.

2. Изчислението се извършва съгласно алгоритъма Където

Стъпка на итерация. Линейни зависимости

Ето посочената грешка

Първото правило на Кирхоф:

алгебричната сума на силите на токове, сближаващи се на възела, е равна на нула

второто правило на Кирххоф:

във всеки прост затворен контур, произволно избран в разклонена електрическа верига, алгебричната сума на произведенията на силите на тока и съпротивленията на съответните секции е равна на алгебричната сума на EMF, налична във веригата

21. Ток във вакуум. Емисионни явления и техническите им приложения.

Вакуумът е състояние на газ в съд, при който молекулите прелитат от една стена на съда в друга, като никога не са се сблъсквали помежду си.

Вакуумен изолатор, токът в него може да възникне само поради изкуственото въвеждане на заредени частици, за това те използват излъчването (излъчването) на електрони от вещества. Термионното излъчване се получава във вакуумни лампи с нагрети катоди, а фотоелектронното излъчване се появява във фотодиод.

Термична емисия е излъчването на електрони от нагрети метали. Концентрацията на свободните електрони в металите е доста висока, поради което дори при средни температури, поради разпределението на електроните по скорости (енергии), някои електрони имат енергия, достатъчна за преодоляване на потенциалната бариера на металната граница. С повишаване на температурата броят на електроните, чиято кинетична енергия на топлинно движение е по-голяма от работната функция, се увеличава и явлението термоионно излъчване става забележимо.

Явлението термична емисия се използва в устройства, в които е необходимо да се получи поток от електрони във вакуум, например в електронни лампи, рентгенови тръби, електронни микроскопи и др. Електронните лампи се използват широко в електротехниката, радиотехниката, автоматиката и телемеханиката за изправяне на променливи токове, усилване електрически сигнали и променливи токове, генериране на електромагнитни трептения и др. В зависимост от предназначението в лампите се използват допълнителни управляващи електроди.

Фотоелектронна емисия - Това е излъчването на електрони от метал под въздействието на светлината, както и късовълново електромагнитно излъчване (например рентгенови лъчи). Основните закономерности на това явление ще бъдат анализирани при разглеждане на фотоелектричния ефект.

Вторична електронна емисия - Това е излъчването на електрони от повърхността на метали, полупроводници или диелектрици при бомбардиране с електронен лъч. Вторичният електронен поток се състои от електрони, отразени от повърхността (еластично и нееластично отразени електрони), и „истински“ вторични електрони - електрони, избити от метал, полупроводник или диелектрик от първични електрони.

Феноменът на вторична електронна емисия се използва във фотоумножителните тръби.

Автоелектронно излъчване е излъчването на електрони от повърхността на металите под въздействието на силно външно електрическо поле. Тези явления могат да се наблюдават в евакуираната тръба.

22. Ток в газовете. Независима и независима проводимост на газовете. I - V характеристика на тока в газовете. Видове зауствания и техническите им приложения.

При нормални условия газовете са диелектрици, тъй като се състоят от неутрални атоми и молекули и те нямат достатъчно свободни заряди. За да се направи газ проводящ, е необходимо по един или друг начин да се въведе в него или да се създадат в него свободни носители на заряд - заредени частици. В този случай са възможни два случая: или тези заредени частици се създават от действието на някакъв външен фактор или се въвеждат в газа отвън, или се създават в газа от действието на самото електрическо поле, съществуващо между електродите. В първия случай проводимостта на газа се нарича не самоподдържаща се, във втория - независима.

Волт-амперна характеристика (VAC ) е графика на зависимостта на тока през дву-терминално устройство от напрежението в това дву-терминално устройство. Характеристиката на токовото напрежение описва поведението на двуполюсно устройство при постоянен ток.

Светлинен разряд наблюдавани при ниско налягане на газа. Използва се за катодно пръскане на метали.

Искров разряд често срещана в природата е мълния. Принципът на действие на искра волтметър е устройство за измерване на много високи напрежения.

Дъгов разряд може да се наблюдава при следните условия: ако след запалване на искровия разряд съпротивлението на веригата постепенно намалява, тогава токът в искрата ще се увеличи. Електрическата дъга е мощен източник на светлина и се използва широко в прожекционни, прожекторни и други осветителни инсталации. Поради високата температура дъгата се използва широко за заваряване и рязане на метали. Високата дъгова температура се използва и при изграждането на електрически дъгови пещи, които играят важна роля в съвременната електрометалургия.

Коронен разряд наблюдавано при относително високо налягане на газа (например при атмосферно налягане) в рязко нехомогенно електрическо поле. Използва се в инженерството за устройство на електрофилтри, предназначени за пречистване на промишлени газове от твърди и течни примеси.

23. Магнитно поле. Магнитна индукция. Магнитно взаимодействие на токове.

Магнитно поле - силово поле, действащо върху движещи се електрически заряди и върху тела с магнитен момент, независимо от състоянието на тяхното движение, магнитната съставка на електромагнитното поле.

Магнитна индукция - векторна величина, която е силовата характеристика на магнитното поле (действието му върху заредени частици) в дадена точка от пространството. Определя с каква сила магнитното поле действа върху заряд, движещ се със скорост.

Ще зареждаме плосък кондензатор, като прехвърляме малки порции заряд dq от една плоча на друга (фиг. 4.12.) За да се прехвърли зарядът dq между плочите с потенциална разлика (j 1 - j 2) е необходимо да се извърши работата

dA \u003d (j 1 - j 2) dq (4.11)

Като се има предвид, че тази работа може да бъде написана така

За да придаде заряд на първоначално незаредения кондензатор Въпрос:, трябва да се свърши работа

Тази работа е равна на енергията на зареден кондензатор

(4.12)

Тук е напрежението на кондензатора, равно на потенциалната разлика в неговите пластини.

Нека продължим преобразуванията на уравнението (4.12).

Спомнете си, че капацитетът на плосък кондензатор

а напрежението е свързано със силата на електрическото поле

U = Е ∙ д

Използвайки тези отношения, записваме енергията на зареден кондензатор в следната форма

Тези два израза за енергията на кондензатор

водят до следния основен въпрос: къде се намира енергията в кондензатора? Къде е "локализирано"?

Ако е свързано с електрически заряди, то е разположено върху кондензаторните плочи. Ако това е енергията на електрическото поле, то то заема пространството между плочите, чийто обем е равен на обема на кондензатора V = С ∙ д.

За да отговорите на този въпрос, би било необходимо да премахнете заряда от плочите, докато напускате полето. Тогава можеше да се види: енергията остана - това означава, че тя е свързана с полето, тя изчезна - означава, че беше разположена заедно със заряда върху плочите.

Но проблемът е, че когато се отстранят зарядите, тяхното електростатично поле също изчезва. Следователно, въпросът за локализацията на енергията в рамките на електростатикатане може да бъде разрешен.

В електродинамиката променливи електрически и магнитни полета, както знаете, може да съществува и без електрически заряди... Освен това такива полета имат енергия, което е пряко експериментално доказателство, че тази енергия е свързана с електрически полета и е локализирана в обема, зает от полето. Сега последният израз на енергията на зареден кондензатор става по-ясен:

Енергията на кондензатора е свързана с неговото електрическо поле и следователно е пропорционална на обема на кондензатора ( V), тоест обема на полето.

Съотношението е средната стойност на енергията на единица обем на полето.

Тази характеристика на енергийното насищане на полето се нарича "Насипна енергийна плътност".

Обикновено тази характеристика има точков, локален характер. Около дадена точка се избира елементарен обем dV и изчислете енергийната плътност, като разделите енергията на тази област dW по неговия обем

Обемната енергийна плътност в дадена точка на електрическото поле е пропорционална на квадрата на силата на полето в тази точка. Обемната енергийна плътност се измерва, разбира се, в J / m 3:

Знаейки как се променя енергийната плътност в космоса, е възможно да се изчисли енергията, концентрирана в обема V, електрическо поле:

Проводима топка с радиус R носи заряд Въпрос:... Каква е енергията на електрическото поле на тази топка?

Полето вътре в заредена топка отсъства, а извън топката съвпада с полето на точков заряд:

, r ³ R

Обемната енергийна плътност на такова поле

Нека изчислим енергията, концентрирана в сферичен слой с дебелина д-р (фиг. 4.13.)