biathlonmordovia.ru → Устройства

Постоянный ток. Электрические цепи постоянного тока: расчет

В электротехнике принято считать, что простая цепь – это цепь, которая сводится к цепи с одним источником и одним эквивалентным сопротивлением. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. Расчет цепей постоянного тока производится с помощью закона Ома и Кирхгофа.

Пример 1

Два резистора подключены к источнику постоянного напряжения 50 В, с внутренним сопротивлением r = 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R 1 = 20 и R 2 = 32 Ом. Определить ток в цепи и напряжения на резисторах.

Так как резисторы подключены последовательно, эквивалентное сопротивление будет равно их сумме. Зная его, воспользуемся законом Ома для полной цепи, чтобы найти ток в цепи.

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Проверить правильность решения можно несколькими способами. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем.

Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур. Более удобным способом проверки является баланс мощностей .

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Мощность источника определяется как произведение ЭДС на ток, а мощность полученная приемником как произведение падения напряжения на ток.

Преимущество проверки балансом мощностей в том, что не нужно составлять сложных громоздких уравнений на основании законов Кирхгофа, достаточно знать ЭДС, напряжения и токи в цепи.

Пример 2

Общий ток цепи, содержащей два соединенных параллельно резистора R 1 =70 Ом и R 2 =90 Ом, равен 500 мА. Определить токи в каждом из резисторов.

Два последовательно соединенных резистора ничто иное, как делитель тока . Определить токи, протекающие через каждый резистор можно с помощью формулы делителя, при этом напряжение в цепи нам не нужно знать, потребуется лишь общий ток и сопротивления резисторов.

Токи в резисторах

В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Для того чтобы его найти, нужно сначала рассчитать сопротивление цепи

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

В электрической цепи, изображенной на схеме R 1 =50 Ом, R 2 =180 Ом, R 3 =220 Ом. Найти мощность, выделяемую на резисторе R 1 , ток через резистор R 2 , напряжение на резисторе R 3 , если известно, что напряжение на зажимах цепи 100 В.

Чтобы рассчитать мощность постоянного тока, выделяемую на резисторе R 1 , необходимо определить ток I 1 , который является общим для всей цепи. Зная напряжение на зажимах и эквивалентное сопротивление цепи, можно его найти.

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R 1

Пример 1

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Пример 2

Токи в резисторах

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R 1

Законы Кирхгофа.

∑I=0

∑E=∑IR

Порядок расчета

Произвольно выбираем направление тока в ветвях.
Произвольно выбираем направление обхода контуров.
Зная полярность источников, проставляем направление ЭДС.
Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Их должно быть но одно меньше, чем узлов.
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа из расчета, что общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
Решаем систему уравнений и определяем неизвестные токи. Если в результате решения какой-либо ток окажется со знаком «-», то направление его противоположно выбранному.

Приведем пример.

Дано:

1 =r 2 =0;
1 =0,3 Ом;
2 =1 Ом;
3 =24 Ом;

Е 1 =246 В;

Е 2 =230В

Найти:

I 1 ,I 2 ,I 3 .

Решение:

Итак, на схеме рисуем направления токов (1), согласно этим направлениям рисуем направления обхода контуров (2), согласно полярности источников питания ставим направления ЭДС (3).

Согласно первому закону Кирхгофа:

I 1 -I 2 -I 3 =0 → -I 2 =I 3 -I 1

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3

Е 2 =-I 2 R 2 +I 3 R 3

Получили систему из трех уравнений. Решаем.

E 2 =(I 3 -I 1)R 2 +I 3 R 3

230=I 3 (1+R 3)-I 1 =25I 3 -I 1 → I 1 = 25I 3 -230

E 1 =I 1 R 1 +I 3 R 3 =(25I 3 -230)R 1 +I 3 R 3

246=0,3(25I 3 -230)+24I 3

246=7,5I 3 -69+24I 3

31,5I 3 =315

I 3 =10A

I 1 =25∙10-230=20A

I 2 =I 1 -I 3 =20-10=10A

2. Метод контурных токов

Этот метод основан на законе Кирхгофа

Произвольно выбираем направления контурных токов (рис.2)
Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

E 1 -E 2 =I 1 (R 1 +R 2)-I 2 R 2

E 2 =I 2 (R 2 +R 3)-I 1 R 2

246-230=I 1 (0,3+1)-I 2 → 16=1,3I 1 -I 2 → I 2 =1,3I 1 -16

230=25(1,3I 1 -16)-I 1

31,5I 1 =630

I 1 =20A

I 2 =1,3∙20-16=10A

3. Определяем истинные токи.

I 1 =I 1 =20A

I 2 =I 1 -I 2 =10A

I 3 =I 2 =10A

3. Метод двух узлов

Этот метод применим для схем, имеющих два узла

Выбираем произвольно направления токов в ветвях в одну и ту-же сторону (см. рис.3 - стрелки со штрихами).
Определяем проводимости ветвей:

Q 1 =1/R 1 =1/0,3=3,33 Сим.

Q 2 =1/R 2 =1 Сим.

Q 3 =1/R 3 =1/24=0,0416 Сим.

Определяем напряжение между двумя узлами по формуле:

U=∑E q /∑ ar q=(E 1 +E 2 q 2)/(q 1 +q 2 +q 3)=(246∙3,31+230)/4,3716=240 В

Определяем токи в ветвях

I=(E-U)q

I 1 =(E 1 -U)q 1 =(246-240)3,33=20A

I 2 =(E 2 -U)q 2 =230-240=-10A

I 3 =-Uq 3 =240∙0,0416=-10А

Так как, значения I 2 и I 3 получились отрицательными, то эти токи будут противоположными по направлению (на рисунке показаны жирные сплошные стрелки).

4. Метод наложения или метод суперпозиции

Метод основан на том, что любой ток в цепи создается совместным действием всех источников питания. Поэтому можно рассчитать частичные токи от действия каждого источника питания отдельно, а затем, найти истинные токи как арифметическую составляющую частичных.

Решение

1. Рис. 4. Е 2 =0; r 2 ≠0

R э =R 2 R 3 /(R 2 +R 3)+R 1 =24/25+0,3=0,96+0,3=1,26 Ом

I’ 1 =E 1 /R э =246/1,26=195,23 Ом

U ab =I’ 1 R 23 =195,23∙0,96=187,42 В

I’ 2 =U ab /R 2 =187,42 A

I’ 3 = U ab /R 3 =187,42/24=7,8 A

2. Рис. 5. E 1 =0; R 1 ≠0

R э =R 1 R 3 /(R 1 +R 3)+R 2 =0,3∙24/24,3+1=0,29+1=1,29 Ом

I” 2 =E 2 /R э =230/1,29=178,29 A

U ab =I” 2 R 13 =178,29∙0,29=51,7 В

I” 1 =U ab /R 1 =51,7/0,3=172,4 A

I” 3 =U ab /R 3 =51,7/24=2,15 A

3. Определяем истинные токи.

I 1 =I’ 1 -I” 1 =195,23-172,4=22,83 A

I 2 =I’ 2 -I” 2 =187,42-178,29=9,13 A

I 3 =I’ 3 -I” 3 =7,8-2,15=5,65 A

05.12.2014

Урок 25 (9класс)

Тема. Расчет простых электрических цепей

Решение любой задачи по расчету электрической цепи следует начинать с выбора метода, которым будут произведены вычисления. Как правило, одна и таже задача может быть решена несколькими методами. Результат в любом случае будет одинаковым, а сложность вычислений может существенно отличаться. Для корректного выбора метода расчета следует сначала определиться к какому классу относится данная электрическая цепь: к простым электрическим цепям или к сложным.

К простым относят электрические цепи, которые содержат либо один источник электрической энергии, либо несколько находящихся в одной ветви электрической цепи. Ниже изображены две схемы простых электрических цепей. Первая схема содержит один источник напряжения, в таком случае электрическая цепь однозначно относится к простым цепям. Вторая содержит уже два источника, но они находятся в одной ветви, следовательно это также простая электрическая цепь.

Расчет простых электрических цепей обычно производят в такой последовательности:

1. Сначала упрощают схему последовательно преобразовав все пассивные элементы схемы в один эквивалентный резистор. Для этого необходимо выделять участки схемы, на которых резисторы соединены последовательно или параллельно, и по известным формулам заменять их эквивалентными резисторами (сопротивлениями). Цепь постепенно упрощают и приводят к наличию в цепи одного эквивалентного резистора.

2. Далее подобную процедуру проводят с активными элементами электрической цепи (если их количество более одного источника). По аналогии с предыдущим пунктом упрощаем схему до тех пор, пока не получим в схеме один эквивалентный источник напряжения.

3. В итоге мы приводим любую простую электрическую схему к следующему виду:
Теперь есть возможность применить закон Ома - соотношение (1.22) и фактически определить значение тока протекающего через источник электрической энергии.

сочетанДомашнее задание

1. Ф.Я.Божинова, Н.М.Кирюхин, Е.А.Кирюхина. Физика, 9 класс, «Ранок», Харьков, 2009. § 13-14 (с.71-84) повторить.

2. Упражнение 13 (задача 2, 5), упражнение 14(задача 3, 5, 6) решить.

3. Переписать в рабочую тетрадь задачи 1, 3, 4 (см. следующие страницу).

ии с составлением баланса

Пи постоянного тока. Примеры решенных задач

Введение

Решение задач - неотъемлемая часть обучения физике, поскольку в процессе решения задач происходит формирование и обогащение физических понятий, развивается физическое мышление учащихся и совершенствуется их навыки применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и успешно реализованы следующие дидактические цели:

Выдвижение проблемы и создание проблемной ситуации;
Обобщение новых сведений;
Формирование практических умений и навыков;
Проверка глубины и прочности знаний;
Закрепление, обобщение и повторение материала;
Реализация принципа политехнизма;
Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников воспитываются трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели. Для реализации перечисленных целей особенно удобно использовать нетрадиционные задачи.

Задачи по расчету электрических цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, поэтому учащиеся более или менее успешно овладевают методами решения задач данного типа. Но часто такие типы задач встречаются олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров.

Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что исходную схему надо представить в виде последовательных участков, на каждом из которых соединение элементов схемы либо последовательно, либо параллельно. Для такого представления схему необходимо упростить. Под упрощением схемы будем понимать соединение или разъединение каких-либо узлов схемы, удаление или добавление резисторов, конденсаторов, добиваясь того, чтобы новая схема из последовательно и параллельно соединенных элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при подаче одинаковых напряжений на исходную и преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет одинаков на соответствующих участках. В этом случае все расчеты производятся с преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи со сложным смешанным соединением резисторов можно воспользоваться несколькими приемами. Мы ограничимся рассмотрением в подробностях лишь одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в симметричных схемах отыскиваются точки с равными потенциалами. Эти узлы соединяются между собой, причем, если между этими точками был включен какой-то участок схемы, то его отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов на концах ток по нему не течет и этот участок никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных потенциалов приводит к более простой эквивалентной схеме. Но иногда бывает целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что не нарушает электрических условий в остальной части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д являются эквипотенциальными. Поэтому резистор между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение :

В точках F и F` потенциалы равны, значит сопротивление между ними можно отбросить. Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

С учетом этого получается новая эквивалентная схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

З а д а ч а № 3 .

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы. Исключением сопротивление между ними. Получаем эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2. Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Сопротивление на участке FN:

Сопротивление на участке DB:

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными потенциалами О, О 1 , О 2 . Получим эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

Сопротивление на участке ACВ

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R AB равно:

R AB = (8/10)*r.

Задача №7.

Решение :

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных угла О 1 и О 2 . Теперь схему можно представить, как параллельные соединение двух одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R 1 равно:

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные – соединимих в другой узел II. Эквивалентная схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно сопротивлению на участке B- II и равно:

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

Cопротивление участка I- II равно.

3.1. Модель цепи постоянного тока

Если в электрической цепи действуют постоянные напряжения и протекают постоянные токи, то модели реактивных элементов L и C существенно упрощаются.

Модель сопротивления остается прежней и связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

В идеальной индуктивности мгновенные значения напряжения и тока связаны соотношением

Аналогично в емкости связь между мгновенными значениями напряжения и тока определяется в виде

Таким образом, в модели цепи постоянного тока присутствуют только сопротивления (модели резисторов) и источники сигнала, а реактивные элементы (индуктивности и емкости) отсутствуют.

3.2. Расчет цепи на основе закона Ома

Этот метод удобен для расчета сравнительно простых цепей с одним источником сигнала . Он предполагает вычисление сопротивлений участков цепи, для которых известна величина тока (или напряжения), с последующим определением неизвестного напряжения (или тока). Рассмотрим пример расчета цепи, схема которой приведена на рис. 3.1, при токе идеального источника А и сопротивлениях Ом, Ом, Ом. Необходимо определить токи ветвей и , а также напряжения на сопротивлениях , и .

Известен ток источника , тогда можно вычислить сопротивление цепи относительно зажимов источника тока (параллельного соединения сопротивления и последовательно соединен-

Рис. 3.1. ных сопротивлений и ),

Тогда напряжение на источнике тока (на сопротивлении ) равно

Затем можно найти токи ветвей

Полученные результаты можно проверить с помощью первого закона Кирхгофа в виде . Подставляя вычисленные значения, получим А, что совпадает с величиной тока источника.

Зная токи ветвей, нетрудно найти напряжения на сопротивлениях (величина уже найдена)

По второму закону Кирхгофа . Складывая полученные результаты, убеждаемся в его выполнении.

3.3. Общий метод расчета цепи на основе законов Ома

и Кирхгофа

Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.

Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.

Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему

топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Рассмотрим расчет простой цепи из предыдущего примера, показанной на рис. 3.1, при тех же исходных данных.

Подсистема компонентных уравнений имеет вид

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),

которые и образуют подсистему топологических уравнений.

Уравнения (3.4)-(3.6) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (3.4) в (3.6), получим

а, объединив (3.5) и (3.7), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,

Выражая из первого уравнения (3.8) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,

а затем найдем А. По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (3.4) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее в подразделе 3.2.

Рассмотрим более сложный пример расчета цепи в схеме, показанной на рис. 3.2, с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом,

Цепь содержит узла (их номера указаны в кружках) и ветвей, не содержащих идеальные источники тока. Система компонентных уравнений цепи имеет вид

По первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения (узел 0 не используется),

По второму закону Кирхгофа составляется уравнения для трех независимых контуров, отмеченных на схеме окружностями со стрелками (внутри указаны номера контуров),

Подставляя (3.11) в (3.13), совместно с (3.12) получим систему шести уравнений вида

Из второго и третьего уравнений выразим

а из первого , тогда подставив и , получим . Подставляя токи , и в уравнения второго закона Кирхгофа, запишем систему из трех уравнений

которую после приведения подобных запишем в виде

Обозначим

и из третьего уравнения системы (3.15) запишем

Подставляя полученное значение в первые два уравнения (3.15), получим систему из двух уравнений вида

Из второго уравнения (3.18) получим

тогда из первого уравнения найдем ток

Вычислив , из (3.19) найдем , из (3.17) вычислим , а затем из уравнений подстановки найдем токи , , .

Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.

Матрица - столбец содержит значения токов А, А, А. Остальные

токи вычисляются согласно уравнениям (3.14) и равны

А, А, А. Вычисленные значения токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.

Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения линейных алгебраических уравнений. При большом числе ветвей возникают математические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления и решения меньшего числа уравнений .

3.4. Метод контурных токов

Метод контурных токов базируется науравнениях второго закона Кирхгофа и приводит к необходимости решения уравнений, - число всех ветвей, в том числе и содержащих идеальные источники тока.

В цепи выбираются независимых контуров и для каждого -го из них вводится кольцевой (замкнутый) контурный ток (двойная индексация позволяет отличать кон-

турные токи от токов ветвей). Через контурные токи можно выразить все токи ветвей и для каждого независимого контура записать уравнения второго закона Кирхгофа. Система уравнений содержит уравнений, из которых определяются все контурные токи. По найденным контурным токам находятся токи или напряжения ветвей (элементов).

Рассмотрим пример цепи на рис. 3.1. На рис 3.4 приведена схема с указанием обозначений и положительных направлений двух контурных токов и ( , , ).

Рис. 3.4 Через ветвь проте-

кает только контурный ток и его направление совпадает с , поэтому ток ветви равен

В ветви протекают два контурных тока, ток совпадает по направлению с , а ток имеет противоположное направление, следовательно

Для контуров, не содержащих идеальные источники тока , составляем уравнения второго закона Кирхгофа с использованием закона Ома, в данном примере записывается одно уравнение

Если в контур включен идеальный источник тока , то для него

уравнение второго закона Кирхгофа не составляется , а его контурный ток равен току источника с учетом их положительных направлений, в рассматриваемом случае

Тогда система уравнений принимает вид

В результате подстановки второго уравнения в первое получим

тогда ток равен

а ток А. Из (3.21) А, а из (3.22) соответственно А, что полностью совпадает с полученными ранее результатами. При необходимости по найденным значениям токов ветвей по закону Ома можно вычислить напряжения на элементах цепи.

Рассмотрим более сложный пример цепи на рис. 3.2, схема которой с заданными контурными токами показана на рис. 3.5. В этом случае число ветвей , количество узлов , тогда число независимых контуров и уравнений по методу контурных токов равно . Для токов ветвей можно записать

Первые три контура не содержат идеальных источников тока, тогда с учетом (3.28) и использованием закона Ома для них можно записать уравнения второго закона Кирхгофа,

В четвертом контуре присутствует идеальный источник тока, поэтому для него уравнение второго закона Кирхгофа не составляется, а контурный ток равен току источника (они совпадают по направлению),

Подставляя (3.30) в систему (3.29), после преобразования получим три уравнения для контурных токов в виде

Систему уравнений (3.31) можно решить аналитически (например, методом подстановки – проделайте это ), получив формулы для контурных токов, а затем из (3.28) определить токи ветвей. Для численных расчетов удобно использовать пакет программ MathCAD, пример программы показан на рис. 3.6. Результаты вычислений совпадают с расчетами, приведенными на рис. 3.3. Как видно, метод контурных токов требует составления и решения меньшего числа уравнений по сравнению с общим методом расчета по уравнениям Кирхгофа.

3.5. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений базируется на первом законе Кирхгофа, при этом число уравнений равно .

В цепи выделяются все узлов и один из них выбирается в качестве базисного , которому присваивается нулевой потенциал. Потенциалы (напряжения) … остальных узлов отсчитываются от базисного, их положительные направления обычно выбираются стрелкой в базисный узел. Через узловые напряжения с использованием закона Ома и второго закона Кирхгофа выражаются токи всех ветвей

и для узлов записываются уравнения первого закона Кирхгофа.

Рассмотрим пример цепи, показанной на рис. 3.1, для метода узловых напряжений ее схема показана на рис. 3.7. Нижний узел обозначен как базисный (для этого используется символ «земля» - точка нулевого потенциала), напряжение верхнего узла относительно базисного обо-

Рис. 3.7 значено как . Выразим через

него токи ветвей

По первому закону Кирхгофа с учетом (3.32) запишем единственное уравнение метода узловых напряжений (),

Решая уравнение, получим

а из (3.32) определим токи ветвей

Полученные результаты совпадают с полученными рассмотренными ранее методами.

Рассмотрим более сложный пример цепи, показанной на рис. 3.2 при тех же исходных данных, ее схема показана на рис. 3.8. В цепи узла, нижний выбран базисным, а три остальные обозначены номерами в кружках. Введены

положительные на- Рис. 3.8

правления и обозна-

чения узловых напряжений , и .

По Закону Ома с использованием второго закона Кирхгофа определим токи ветвей,

По первому закону Кирхгофа для узлов с номерами 1, 2 и 3 необходимо составить три уравнения,

Подставляя (3.36) в (3.37), получим систему уравнений метода узловых напряжений,

После преобразования и приведения подобных получим

Программа расчета узловых напряжений и токов ветвей приведена на рис. 3.9. Как видно, полученные результаты совпадают с полученными ранее другими методами расчета.

Проведите аналитический расчет узловых напряжений, получите формулы для токов ветвей и вычислите их значения.

3.6. Метод наложения

Метод наложения заключается в следующем.

Расчет проводится следующим образом. В цепи, содержащей несколько источников, поочередно выбирается каждый из них, а остальные отключаются. При этом образуются цепи с одним источником, число которых равно количеству источников в исходной цепи. В каждой из них проводится расчет искомого сигнала, а результирующий сигнал определяется их суммой. В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи, показанной на рис. 3.2, ее схема показана на рис. 3.10а.

При выключении идеального источника тока (его цепь разрывается) получается цепь, показанная на рис. 3.9б, в которой любым из рассмотренных методов определяется ток . Затем выключается идеальный источник напряжения (он заменяется коротким замыканием) и получается цепь, показанная

на рис. 3.9а, в которой находится ток . Искомый ток равен

Проведите аналитические и численные расчеты самостоятельно , сравните с полученными ранее результатами, например, (3.20).

3.7. Сравнительный анализ методов расчета

Метод расчета, основанный на законе Ома, пригоден для сравнительно простых цепей с одним источником. Его нельзя использовать для анализа цепей сложной структуры, например, мостового типа вида рис.3.9.

Общий метод расчета цепи на основе уравнений законов Ома и Кирхгофа универсален, но требует составления и решения системы из уравнений, которая легко преобразуется в систему из уравнений. При большом числе ветвей резко возрастают вычислительные затраты, особенно при необходимости аналитических расчетов.

Методы контурных токов и узловых напряжений более эффективны, так как приводят к системам с меньшим числом уравнений, равным соответственно и . При условии

метод контурных токов эффективнее, а иначе целесообразно применять метод узловых напряжений.

Метод наложения удобен, когда при отключении источников происходит резкое упрощение цепи.

Задание 3.5. Общим методом расчета, методами контурных токов и узловых напряжений определите в цепи рис. 3.14 напряжение при мА кОм, кОм, кОм, кОм, кОм. Проведите сравнительный анализ

методов расчета. Рис. 3.14

4. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ