Sinusni napon. Sinusoidna struja i njene glavne karakteristike

Predavanje 2 Sinusoidna struja.doc

SINUSOIDNA STRUJA. OBLICI NJEGOVE PREZENTACIJE.
U elektrotehničkoj praksi sinusoidna struja se široko koristi kao izmjenična struja. To je zbog niza prednosti:

Sinusoidni generatori znatno su jeftiniji u proizvodnji od istosmjernih generatora;

Izmjenična struja se lako pretvara u istosmjernu;

Transformacija i prijenos električna energija izmjenična struja je ekonomičnija od istosmjerne;

AC motori su jednostavnog dizajna, visoke pouzdanosti i niske cijene.

Trenutno naizmjenična struja koristi se u industrijskom pogonu i električnoj rasvjeti, u poljoprivreda i u transportu, u komunikacijskoj tehnologiji i u svakodnevnom životu. Proizvodnja električne energije također se provodi na izmjeničnoj struji. Ruski znanstvenici P. N. Yablochkov i M. O. Dolivo-Dobrovolsky odigrali su ogromnu ulogu u uvođenju izmjenične struje.
^ 1. Glavni parametri sinusne struje
Varijabla je struja (napon, EMF), koja se vremenom mijenja u veličini i smjeru. Sinusoidnu struju možemo predstaviti stvarnom funkcijom vremena - sinusom i kosinusom, na primjer:

(2.1)
gdje Ja m - maksimalna amplituda struje (vršna vrijednost);

 - kutna frekvencija, i;

f - frekvencija vibracija [Hz];

T - točka [C];

 ja - početna faza, određuje trenutnu vrijednost u trenutku vremena t\u003d 0, tj.

ja(t=0) = Ja m  grijeh  ja .
Na sl. 2.1 prikazuje grafikon dviju oscilacija s različitim početnim fazama  1 i  2 i  1   2. Amplituda harmonika prolazi kroz nulu kada:

 t  =  n (n \u003d 0,1,2 ...), tj. u trenucima


.
Kao  1   2, dakle t 1 se javlja ranije t 2:

Slika 2.1
Početna se faza često daje u stupnjevima. Stoga, pri određivanju trenutne vrijednosti struje, argument sinusa (terms  t i  ) mora se svesti na jednu mjernu jedinicu (rad. ili stupanj).

Ponekad harmonijsko titranje predstavljen je u kosinusnom obliku. Lako je uočiti da je za prijelaz na takav oblik u (2.1) dovoljno promijeniti samo početnu fazu, tj .:

Industrijska frekvencija izmjenične struje u Rusiji i svim europskim zemljama iznosi 50 Hz, u SAD-u i Japanu - 60 Hz, u zrakoplovstvu - 400 Hz. Smanjivanje frekvencije ispod 50 Hz pogoršat će kvalitetu osvjetljenja. Povećanje frekvencije pogoršava uvjete za prijenos električne energije na velike udaljenosti.

Izraz za sinusni napon sličan je (2.1), tj .:
u(t) = U m  grijeh (  t  u) (2.2)
Slično kao u (2.1), određuju se glavni naponski parametri.

Uz već spomenute parametre, u elektrotehničkoj praksi često koriste koncepte prosječnih i efektivnih vrijednosti struje i napona. Razmotrimo ih.

Prosječna vrijednost sinusne struje razumijeva se kao njena prosječna vrijednost tijekom pola razdoblja:


(2.3)
Vidimo da je prosječna vrijednost sinusne struje 2 /   0,64 amplitude. Prosječna vrijednost sinusnog napona određuje se slično
.
Efektivna vrijednost sinusne struje (napona) za to razdoblje naziva se efektivnom:
.
Kao:

,
zatim:

.
Vidimo da je efektivna vrijednost sinusoidne struje 0,707 amplitude. Efektivna vrijednost sinusnog napona određuje se na isti način:
.
Ako govore o vrijednostima izmjenične struje ili napona, tada u pravilu misle na njih efektivna vrijednost... Na primjer, napon u jednofazna mreža izmjenična struja 220 V - struja. U ovom slučaju, vrijednost amplitude U m  310 V.

^ 2. Prikaz sinusne struje (napona) radijusom - vektorom.
Pri analizi stanja električni krugovi izmjenična struja, postaje potrebno izračunati zbroj ili razliku oscilacija istih frekvencija, ali s različitim amplitudama i početnim fazama. Prilično je teško riješiti takav problem pomoću razmatranog oblika predstavljanja (tj. Pomoću trigonometrijskih funkcija).

Neka se nađe struja ja(t) = ja 1 (t) ja 2 (t), i:
ja 1 (t) = Ja m 1  grijeh (  t  1),
ja 2 (t) = Ja m 2  grijeh (  t  2).
Budući da su frekvencije vibracija iste, problem se svodi na pronalaženje ukupne vrijednosti amplitude Ja m i početna faza  ... Ako za rješenje primijenimo dobro poznate trigonometrijske transformacije, dobit ćemo:
,
.
Vidimo da čak i konačni rezultat ima glomazan i voljen oblik.

Značajno pojednostavljenje postiže se uporabom grafičke metode. Vektorski prikaz sinusnih veličina poznat je iz trigonometrije. Sinusoidna struja (napon) prikazana je kao radijus vektor koji se okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s frekvencijom  ... Duljina vektora jednaka je vrijednosti amplitude - Ja m ... Vektor napravi jedno okretanje tijekom razdoblja (slika 2.2).

Položaj vektora polumjera u odnosu na os x na početku odbrojavanja t\u003d 0 određuje se kutom  ... Projekcija vektora na os Y definiran je izrazom (2.1).

Na primjer, jedan vektorski dijagram može prikazati vektore nekoliko oscilacija ja 1 (t) i ja 2 (t) (slika 2.3). Da bi se pojednostavila analiza, svi vektori su prikazani u to vrijeme t\u003d 0. Tada se zbroj dva vektora određuje pravilom paralelograma. Dobiveni vektor radijusa također se okreće oko ishodišta s frekvencijom  , i njegova projekcija na os Y definirano izrazom
ja(t) = Ja m  grijeh (  t  ),
gdje  - položaj ukupnog vektora u odnosu na os x Trenutno t=0.

Jednostavnost rješenja je očita. Međutim, grafička metoda ima značajan nedostatak - nisku točnost. Stoga se najčešće koristi za kvalitativnu analizu električnih krugova pomoću topografskih vektorskih dijagrama napona.

Za izgradnju topografskog vektorskog dijagrama u analiziranom električnom krugu razlikuje se nekoliko presjeka u smjeru obilaznice. Pad napona u svakom odjeljku može se odrediti vektorom. Postavljajući svaki sljedeći vektor (u smjeru zaobilaznice) na krajnju točku prethodnog vektora, dobivamo topografski vektorski dijagram naprezanja. Vektor između bilo koje dvije točke ovog dijagrama karakterizira napon između odgovarajućih točaka električnog kruga.

1. 
   ^ Složena slika sinusne struje.

Složeni prikaz sinusoidnih struja i napona omogućuje vam kombiniranje jednostavnosti i jasnoće vektorskog predstavljanja s točnošću prikaza stvarnih funkcija vremena. Da bismo se prebacili s grafičkog na složeni prikaz, zamjenjujemo osi kartezijanskog koordinatnog sustava (slika 2.2) kako slijedi:

Os ^ X na stvarnoj osi R e ;

Os Y na zamišljenoj osi J m (Slika 2.4).

U ovom je slučaju duljina vektora struje (napona) i dalje određena vrijednošću amplitude, ali označena kao kompleksna vrijednost, tj.

... Kut nagiba vektora prema osi realnih brojeva R e Trenutno t\u003d 0 ostaje isto, tj.  .

Označavamo vektorsku projekciju po osi stvarni brojevi ja / = Ja m cos  , a projekcija na os zamišljenih brojeva \u003d Ja m  grijeh  ... Tada je očito da:

, (2.5)
Gdje j je zamišljena jedinica, i -

Izraz (2.5) definira složeni algebarski oblik predstavljanja sinusne struje. Prikladan je za izvođenje zbrajanja i oduzimanja struja (napona).

Dapače, da biste dodali dva složena broja, dovoljno je odvojeno dodati stvarni i imaginarni broj.

Zamijenimo u (2.5) umjesto njihovih vrijednosti. Tada dobivamo:
İ

, (2.6)
gdje je modul kompleksnog prikaza struje, numerički jednak vrijednosti amplitude.

Izraz (2.6) definira složeni trigonometrijski oblik predstavljanja sinusne struje. Sl. 2.4 očito je da:


, a

. (2.7)
Vidimo da izrazi (2.7) karakteriziraju parametre sinusne struje koji ne ovise o vremenu - stvarnu amplitudu i početnu fazu . Olakšavaju prelazak sa složenog oblika predstavljanja na prikaz stvarnih funkcija vremena.

Uvedimo vremensku ovisnost u (2.5). Zatim:
İ

, (2.8)
gdje
Sada je očito da stvarni dio (2.8) karakterizira stvarno postojeće osciliranje opisano realnom kosinusnom funkcijom, zamišljeni dio je isto osciliranje u sinusnom obliku.

Uz pomoć Eulerove formule, iz (2.6) se prelazi u eksponencijalni oblik složenog prikaza struje:
İ

, (2.9)
i uzimajući u obzir ovisnost o vremenu:

İ m İ m

. (2.10)
Složeni eksponencijalni oblik koristan je za izvođenje množenja, dijeljenja, potenciranja ili vađenja korijena. Dapače, za množenje dva složena broja u eksponencijalnom obliku (2.9), dovoljno je pomnožiti njihove module i dodati argumente (eksponente).

Zamislite struje i napone na pasivnim elementima sa aktivni otpor, kapacitivnost i induktivnost u složenom obliku. Idemo:

İ

İ

;


Za element s aktivnim otporom vrijedi jednakost:


.
Prepišimo ovu jednakost u eksponencijalnom obliku:





(2.11)

Ali jednakost (2.11) moguća je samo u slučaju kada. Dakle, došli smo do važnog zaključka da su na elementu s aktivnim otporom struja i napon u fazi, tj. vrhovi struje i napona javljaju se u istom vremenskom trenutku, vektori struje i napona podudarit će se (slika 2.5).

Za element s kapacitetom poznat je izraz:



Primjenjujući na njega složeni oblik prikaza struje i napona, dobivamo:


.
S obzirom da dolazimo do izraza:


,

Dakle, vidimo da napon na kondenzatoru zaostaje za strujom za 90 o (vidi sliku 2.6)

Za element s induktivnošću koristimo izraz (1.11). Zatim:

(2.13)
Vidimo da je napon na induktoru ispred struje za oko 90 (vidi sliku 2.7).

Na kraju predavanja napominjemo da izrazi (2.11), (2.12) i (2.13) nemaju vremenske ovisnosti. To pojednostavljuje proračune električnih krugova, svodeći ih na algebarske operacije s složenim brojevima. Zbog toga se složeni prikaz široko koristi u analizi električnih krugova izmjenične struje.

Sinusoidna struja

Trenutna vrijednost sinusne struje određuje se izrazom


gdje - maksimalna vrijednost iliamplituda struje ... Argument sinusa naziva faza. Kut y jednak je fazi u početnom trenutku (t \u003d 0) i zato se nazivapočetna faza ... Faza kontinuirano raste s vremenom. Nakon što ga je povećao za2 str ponavlja se čitav ciklus promjene struje. Stoga, kada govore o fazi u bilo kojem trenutku, obično odbace cijeli broj2 str tako da je vrijednost faze unutar ili unutar, iz0 do 2 str ... Tijekom razdobljaT faza se povećava za2 str. Vrijednost 2 p / T prikazuje brzinu promjene faze i označava se slovomw ... Uzimajući to u obzirf \u003d 1 / T, možete pisati

Ovo je izraz koji vežew i f , poslužio je kao osnova za pozivanjew kutna frekvencija... Mjereno w broj radijana za koji se faza povećava u sekundi. Tako, na primjer, zaf \u003d 50 Hz imamo w \u003d 314 rad / s. Uvođenje u (3.1) notacijew za kutnu frekvenciju dobivamo


Na sl. 3.3 je graf sinusoidnih struja iste frekvencije, ali s različitim amplitudama i početnim fazama:

Apscisa pokazuje vrijeme t i proporcionalno vremenuw t .
Početna se faza uvijek računa od trenutka koji odgovara početku sinusoide (nulta vrijednost sinusoidne vrijednosti kada prelazi s negativne na pozitivne vrijednosti), sve do trenutka kada vrijeme započne t \u003d 0 (podrijetlo). Kada početak sinusoide struje pomaknuto ulijevo i na za struju - desno od ishodišta.
Trenutna vrijednost sinusne struje također se može predstaviti kao kosinusna funkcija vremena

gdje
Ako se nekoliko sinusoidnih funkcija mijenja s istom frekvencijom, počeci sinusoida ne podudaraju se, tada kažu dapomaknuo međusobno relativno u fazi. Fazni pomak mjeri se faznom razlikom, koja je očito jednaka početnoj faznoj razlici. Na sl. 3.3 na primjer, tj. Trenutno izvan faze kutna struja , ili, što je isto, trenutnoza kutom zaostaje za strujom .
Ako sinusoidne funkcije iste frekvencije imaju iste početne faze, onda kažu da imajuu faziako je njihova fazna razlikaonda kažu dasuprotno u fazii, konačno, ako je razlika između njihovih fazaonda kažu dasu u kvadratu.

Trenutno se izmjenična struja široko koristi u tehnologiji, jer se lako transformira i prenosi na velike udaljenosti pri visokom naponu i malim gubicima.

U elektrotehnici je najrasprostranjenija sinusoidna izmjenična struja, odnosno struja čija se veličina mijenja prema zakonu o sinusima.

Stoga se trenutna vrijednost sinusne struje izražava formulom

gdje - trenutna amplituda,

T - razdoblje - vrijeme tijekom kojeg se događa jedno potpuno osciliranje, s;

f \u003d 1 / T - frekvencija jednaka broju oscilacija u 1 sekundi (frekvencijska jedinica - Hertz (Hz) ili s -1);

ω - kutna frekvencija (izražena u rad / s ili s -1).

Argument sinusa, t.j.

naziva faza. Faza karakterizira stanje oscilacije (njegovu numeričku vrijednost) u određenom vremenu t.

Bilo koja sinusno promjenljiva funkcija određena je s tri veličine: amplitudom, kutnom frekvencijom i početnom fazom.

Ako je frekvencija preniska, tada se dimenzije povećavaju električni automobili i posljedično tome, potrošnja materijala za njihovu proizvodnju.

Na previsokim frekvencijama povećavaju se gubici energije u jezgrama električnih strojeva i transformatora.

Prosječne i efektivne vrijednosti sinusno promjenljive veličine

Prosječna vrijednost sinusno promjenjive vrijednosti razumijeva se kao njezina prosječna vrijednost tijekom pola razdoblja.

Odnosno, prosječna vrijednost sinusne struje je

od vrijednosti amplitude.

Izmjeničnu struju obično karakterizira efektivna vrijednost .

To znači da je efektivna vrijednost sinusne struje 0,707 amplitude.

Dobivanje sinusnog EDC-a

U linearnim električnim krugovima sinusoidna struja nastaje pod utjecajem sinusoidnog EMR-a. Sinusoidna ovisnost može se dobiti okretanjem konstantne brzine u jednoličnom magnetskom polju vodiča u obliku pravokutnog okvira s površinom S. Tada magnetski tok kroz okvir

gdje - kut između normale i okvira i vektor magnetske indukcije .

Budući da je kod jednolike rotacije okvira i kutna brzina

zatim kut promijenit će se prema zakonu

=>

Budući da se kad okvir okreće, magnetski tok koji ga prelazi cijelo vrijeme mijenja se, prema zakonu elektromagnetska indukcija U njemu će se inducirati E.DS. indukcija

gdje je E 0 amplituda sinusnog EMP-a.

Dakle, u okviru nastaje sinusoidalni EMF, a ako je okvir zatvoren za teret, tada će u krugu teći sinusoidna struja.

Načini prikazivanja sinusnih veličina

Grafički prikaz sinusnih vrijednosti.

Da biste usporedili električne veličine koje se sinusno mijenjaju, morate znati razliku između njihovih početnih faza. Ako je, na primjer, u bilo kojem odjeljku trenutna ja i napetost u imaju iste početne faze, kaže se da su u fazi. Ako se graf napona mijenja tijekom vremena u na nekom dijelu sklopa prelazi vremensku koordinatu t prije trenutnog grafa ja, onda kažu da je napon u vremenu ispred struje.

Na sl. 3.2 za zadani element kruga prikazani su grafikoni promjene vremena dviju električnih veličina: napon u i trenutni ja... Iz ova dva grafikona vidi se da su fazno pomaknuti jedan za drugog za kut φ .