რა რიცხვი იძლევა კვადრატში 6. შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
რიცხვის კვადრატი არის მათემატიკური მოქმედების შედეგი, რომელიც ამ რიცხვს მეორე სიმძლავრისკენ მიჰყავს, ანუ ამ რიცხვს თავისით ამრავლებს. ჩვეულებრივია ასეთი ოპერაციის დანიშვნა შემდეგნაირად: Z2, სადაც Z არის ჩვენი რიცხვი, 2 არის "კვადრატული" ხარისხი. ჩვენი სტატია გეტყვით, თუ როგორ გამოვთვალოთ რიცხვის კვადრატი.
გამოთვალეთ კვადრატი
თუ რიცხვი მარტივია და მცირე, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს უბრალოდ გონებაში, ან გამრავლების ცხრილის გამოყენებით, რომელიც ყველამ კარგად ვიცით. Მაგალითად:
42 \u003d 4x4 \u003d 16; 72 \u003d 7x7 \u003d 49; 92 \u003d 9x9 \u003d 81.
თუ რიცხვი დიდია ან "უზარმაზარი", მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ან კვადრატების ცხრილი, რომლებიც ყველამ ისწავლა სკოლაში, ან კალკულატორი. Მაგალითად:
122 \u003d 12x12 \u003d 144; 172 \u003d 17x17 \u003d 289; 1392 \u003d 139x139 \u003d 19321.
ასევე, ზემოთ მოყვანილი ორი მაგალითისთვის სასურველი შედეგის მისაღებად შეგიძლიათ ამ რიცხვების გამრავლება სვეტში.
იმისათვის, რომ მიიღოთ ნებისმიერი ფრაქციის კვადრატი, თქვენ უნდა:
- წილადის გარდაქმნა (თუ წილაკს მთელი რიცხვი აქვს ან ის ათობითია) არასათანადო წილადში. თუ წილადი სწორია, მაშინ თარგმნის საჭიროება არ არის საჭირო.
- გამრავლდეს მნიშვნელი მნიშვნელზე და მრიცხველი წილადის მრიცხველზე.
Მაგალითად:
(3/2) 2 \u003d (3/2) x (3/2) \u003d (3x3) / (2x2) \u003d 9/4; (5/7) 2 \u003d (5/7) x (5/7) \u003d (5x5) / (7x7) \u003d 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
ნებისმიერი ამ ვარიანტის გამოყენების უმარტივესი გზაა კალკულატორის გამოყენება. ამისათვის საჭიროა:
- აკრიფეთ ნომერი კლავიატურაზე
- დააჭირეთ ღილაკს ნიშნით "გამრავლება"
- დააჭირეთ ღილაკს "ტოლი" ნიშნით
თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ საძიებო სისტემები ინტერნეტში, მაგალითად, მაგალითად, Google. ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა ჩაწეროთ შესაბამისი მოთხოვნა საძიებო სისტემის ველში და მიიღოთ მზა შედეგი.
მაგალითად: 9.17 რიცხვის კვადრატის გამოსათვლელად, საძიებო სისტემაში უნდა აკრიფოთ 9.17 * 9.17, ან 9.17 ^ 2, ან „9.17 კვადრატი“. რომელიმე ამ ვარიანტში, საძიებო სისტემა მოგცემთ სწორ შედეგს - 84.0889.
ახლა თქვენ იცით, როგორ გამოთვალოთ თქვენთვის საინტერესო ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი, იქნება ეს მთელი რიცხვი თუ წილადი, დიდი თუ პატარა!
დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ სწრაფად გავაფორმოთ დიდი გამოთქმები კალკულატორის გარეშე. დიდში ვგულისხმობ რიცხვებს ათიდან ასამდე. დიდი გამონათქვამები ძალზე იშვიათია რეალურ პრობლემებში და ათზე ნაკლები მნიშვნელობები, რომელთა დათვლა უკვე იცით, რადგან ეს არის გამრავლების საერთო ცხრილი. დღევანდელი გაკვეთილის მასალა გამოდგება საკმაოდ გამოცდილი სტუდენტებისათვის, რადგან ახალბედა მოსწავლეები უბრალოდ არ აფასებენ ამ ტექნიკის სიჩქარესა და ეფექტურობას.
პირველ რიგში, მოდით გაერკვნენ, რაში მდგომარეობს ამას. მაგალითად, მე ვთავაზობ თვითნებური რიცხვითი გამოსახულების აგებას, როგორც ჩვეულებრივ. მოდით ვთქვათ 34. ჩვენ მას ვზრდით და ვამრავლებთ სვეტზე:
\\ [((34) ^ (2)) \u003d \\ ჯერ \\ frac (34) (\\ frac (34) (+ \\ frac (136) (\\ frac (102) (1156)))) \\]
1156 არის 34 კვადრატი.
ამ მეთოდის პრობლემა შეიძლება აღწერილი იყოს ორ წერტილში:
1) ეს მოითხოვს წერილობით რეგისტრაციას;
2) გაანგარიშების პროცესში შეცდომა ძალიან ადვილია.
დღეს ჩვენ ვისწავლით სწრაფ გამრავლებას კალკულატორის გარეშე, ზეპირად და პრაქტიკულად შეცდომების გარეშე.
მოდით დავიწყოთ. სამუშაოდ, გვჭირდება ჯამის და სხვაობის კვადრატის ფორმულა. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი:
\\ [(((a + b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
\\ [(((a-b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
რას გვაძლევს ეს? ფაქტია, რომ 10-დან 100-მდე დიაპაზონის ნებისმიერი მნიშვნელობა შეიძლება წარმოდგენილ იქნას როგორც რიცხვი $ a $, რომელიც იყოფა 10-ზე და რიცხვი $ b $, რაც დარჩენილია განყოფილებისა 10-ზე.
მაგალითად, 28 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 20 + 8 \\\\ & 30-2 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
ანალოგიურად, ჩვენ გთავაზობთ დანარჩენ მაგალითებს:
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\ & 60-9 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\ & 50-8 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 70 + 7 \\\\ & 80-3 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\ & 30-9 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 20 + 6 \\\\ & 30-4 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 30 + 9 \\\\ & 40-1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\ & 90-9 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
რა გვაძლევს ამ იდეას? ფაქტია, რომ თანხით ან სხვაობით შეგვიძლია გამოვიყენოთ ზემოხსენებული გამოთვლები. რა თქმა უნდა, გამოთვლების შესამცირებლად, თითოეული ელემენტისთვის უნდა აირჩიოთ გამოხატვა ყველაზე მცირე მეორე ტერმინით. მაგალითად, $ 20 + $ 8 და $ 30-2 $ ვარიანტიდან უნდა აირჩიოთ $ 30-2 $ ვარიანტი.
ანალოგიურად, ჩვენ ვირჩევთ დანარჩენი მაგალითების ვარიანტებს:
\\ [\\ \\ დაიწყოს (გასწორება) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 30-2 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 80-3 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 30-4 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 40-1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ \\ დაწყება (გასწორება) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
რატომ უნდა ისწრაფოთ მეორე ტერმინის შემცირებისკენ სწრაფი გამრავლების დროს? ეს ყველაფერი ჯამის და სხვაობის კვადრატის საწყისი გამოთვლების შესახებ. საქმე იმაშია, რომ პლუს-მინუს ტერმინი $ 2ab $ ყველაზე რთული გამოსაანგარიშებელია რეალური პრობლემების გადაჭრისას. თუ მულტიპლიკატორი $ a $, 10-ის გამრავლება ყოველთვის გამრავლებულია მარტივად, მაშინ $ b $ მულტიპლიკატორით, რომელიც არის რიცხვი ერთიდან ათიდან, ბევრ სტუდენტს რეგულარულად უჭირს პრობლემები.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
ასე გავამრავლეთ რვა მაგალითი სამ წუთში. ეს 25 წამზე ნაკლებია თითოეული გამოთქმისთვის. სინამდვილეში, მცირე ვარჯიშის შემდეგ, კიდევ უფრო სწრაფად დაითვლით. თქვენ დაგჭირდებათ არაუმეტეს ხუთიდან ექვს წამში ნებისმიერი ორნიშნა გამოხატვის გამოსათვლელად.
მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის. მათთვის, ვისთვისაც ნაჩვენები ტექნიკა არ არის საკმარისად სწრაფი და არც ისე მაგარი, მე ვთავაზობ გამრავლების კიდევ უფრო სწრაფ მეთოდს, რომელიც, თუმცა, არ მუშაობს ყველა დავალებისთვის, მაგრამ მხოლოდ მათთვის, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება 10 – ის ნამრავლიდან. ოთხი ასეთი მნიშვნელობაა ჩვენს გაკვეთილზე: 51, 21, 81 და 39.
როგორც ჩანს, ბევრად უფრო სწრაფად, ჩვენ მათ ფაქტიურად ვთვლით რამდენიმე სტრიქონში. სინამდვილეში, თქვენ შეგიძლიათ დააჩქაროთ და ეს ხდება შემდეგნაირად. ჩვენ ჩამოვწერთ მნიშვნელობას, ათის ჯერადს, რომელიც ყველაზე ახლოსაა სასურველთან. მაგალითად, ავიღოთ 51. ასე რომ, დასაწყისისთვის მოდით ავაშენოთ ორმოცდაათი:
\[{{50}^{2}}=2500\]
ათის ჯერადი კვადრატში გაცილებით ადვილია. ახლა ჩვენ თავდაპირველ გამონათქვამს დავამატებთ ორმოცდაათს და 51-ს. პასუხი იგივეა:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
ასე რომ, ყველა რიცხვი, რომლებიც განსხვავდება ერთით.
თუ მნიშვნელობა, რომელსაც ვეძებთ, აღემატება მას, რასაც ჩვენ ვთვლით, შემდეგ კვადრატს ვამატებთ რიცხვებს. თუ სასურველი რიცხვი ნაკლებია, როგორც 39-ის შემთხვევაში, მაშინ მოქმედების შესრულებისას საჭიროა კვადრატიდან გამოკლოთ მნიშვნელობა. მოდით ვივარჯიშოთ კალკულატორის გამოყენების გარეშე:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
როგორც ხედავთ, ყველა შემთხვევაში პასუხი ერთნაირია. უფრო მეტიც, ეს ტექნიკა გამოიყენება ნებისმიერი მიმდებარე მნიშვნელობებისთვის. Მაგალითად:
\\ [\\ დაიწყოს (გასწორება) & ((26) ^ (2)) \u003d 625 + 25 + 26 \u003d 676 \\\\ & 26 \u003d 25 + 1 \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
ამავე დროს, არ უნდა დაგვავიწყდეს ჯამის და სხვაობის კვადრატების გამოთვლები და საერთოდ გამოვთვალოთ კალკულატორი. მუშაობის სიჩქარე დიდების მიღმაა. ამიტომ, დაიმახსოვრეთ, ივარჯიშეთ და გამოიყენეთ პრაქტიკაში.
ძირითადი პუნქტები
ამ ტექნიკის საშუალებით შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვის გამრავლება 10 – დან 100 – მდე. ყველა გამოთვლა ხორციელდება ზეპირად, კალკულატორის გარეშე და ქაღალდის გარეშეც!
პირველ რიგში, გახსოვდეთ მნიშვნელობების კვადრატები, რომლებიც მრავლდება 10-ზე:
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((10) ^ (2)) \u003d 100, ((20) ^ (2)) \u003d 400, ((30) ^ (2)) \u003d 900, ..., \\\\ & ((80) ^ (2)) \u003d 6400, ((90) ^ (2)) \u003d 8100. \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((34) ^ (2)) \u003d (((30 + 4)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 2 \\ cdot 30 \\ cdot 4+ ((4) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900 + 240 + 16 \u003d 1156; \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((27) ^ (2)) \u003d (((30-3)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) - 2 \\ cdot 30 \\ cdot 3+ ((3) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900-180 + 9 \u003d 729. \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
როგორ ჩათვალეთ კიდევ უფრო სწრაფად
მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! ამ გამონათქვამების დახმარებით, თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ მონიშნოთ ციფრების "მიმდებარე" რიცხვები. მაგალითად, ჩვენ ვიცით 152 (საცნობარო მნიშვნელობა), მაგრამ უნდა ვიპოვოთ 142 (მიმდებარე რიცხვი, რაც ერთით ნაკლებია მითითების მნიშვნელობით). Მოდი დავწეროთ:
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((14) ^ (2)) \u003d ((15) ^ (2)) - 14-15 \u003d \\\\ & \u003d 225-29 \u003d 196. \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
ყურადღება მიაქციეთ: არავითარი მისტიკა! რიცხვების კვადრატები, რომლებიც 1-ით განსხვავდება, რეალურად მიიღება pivot რიცხვების საკუთარ თავზე გამრავლებით ორი მნიშვნელობის გამოკლება ან დამატება:
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & ((31) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 30 + 31 \u003d \\\\ & \u003d 900 + 61 \u003d 961. \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
Რატომ ხდება ეს? მოდით დავწეროთ ჯამის კვადრატის ფორმულა (და სხვაობა). მოდით, $ n $ იყოს ჩვენი მითითების მნიშვნელობა. შემდეგ ისინი განიხილება შემდეგნაირად:
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & (((n-1)) ^ (2)) \u003d (n-1) (n-1) \u003d \\\\ & \u003d (n-1) \\ cdot n- (n-1 ) \u003d \\\\ & \u003d\u003d ((n) ^ (2)) - n- (n-1) \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
- ეს არის ფორმულა.
\\ [\\ დასაწყისი (გასწორება) & (((n + 1)) ^ (2)) \u003d (n + 1) (n + 1) \u003d \\\\ & \u003d (n + 1) \\ cdot n + (n + 1 ) \u003d \\\\ & \u003d ((n) ^ (2)) + n + (n + 1) \\\\\\ დასრულება (გასწორება) \\]
- 1-ზე მეტი რიცხვების მსგავსი ფორმულა.
იმედი მაქვს, რომ ეს ხრიკი დაზოგავს დროს მათემატიკის ყველა რთულ ტესტსა და გამოცდაზე. და ეს ყველაფერი ჩემთვის. Გნახავ!
გამრავლების შემოკლებული ფორმულები.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლა: ჯამის კვადრატი და ორი გამოხატვის სხვაობის კვადრატი; ორი გამოხატვის კვადრატების განსხვავება; ორი გამოხატვის ჯამი კუბი და განსხვავება კუბი; ორი გამოთქმის კუბურების ჯამი და სხვაობა.
შემცირებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.
გამონათქვამების გამარტივების, მრავალწევრების ფაქტორიზაციისა და მრავალწევრების სტანდარტული ფორმის მისატანად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეს.
მოდით a, b R. შემდეგ:
1. ორი გამოხატვის ჯამის კვადრატია პირველი გამოთქმის კვადრატი პლუს პირველი გამოხატვის პროდუქტის ორჯერ მეორე პლუს მეორე გამოხატვის კვადრატი.
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
2. ორი გამოხატვის კვადრატული განსხვავებაა პირველი გამოთქმის კვადრატი მინუს პირველი გამოთქმის პროდუქტზე ორჯერ მეორეზე დამატებული მეორე გამოხატვის კვადრატი.
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
3. კვადრატების სხვაობაორი გამოხატვა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობისა და მათი ჯამის პროდუქტისა.
a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)
4. ჯამი კუბიორი გამოხატვა უდრის პირველი გამოხატვის კუბს, პლუს სამჯერ პირველი გამოხატვის კვადრატი და მეორე პლუს სამჯერ პირველი გამოთქმა და მეორე გამოხატვის კუბის პლუს კვადრატი.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. განსხვავების კუბიორი გამოხატვა უდრის პირველი გამოთქმის კუბს, გამოკლებული სამჯერ მეოთხეზე პირველი გამოხატვისა და მეორე პლუს სამჯერ პირველი გამოთქმის პროდუქტისა და მეორე კვადრატის გამოკლებული კუბის მეორე გამოხატვისა.
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. კუბურების ჯამიორი გამოხატვა უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამის პროდუქტს ამ გამოთქმების სხვაობის არასრული კვადრატის მიხედვით.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. სხვაობა კუბურები ორი გამოხატვა უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების სხვაობის პროდუქტს ამ გამონათქვამების ჯამის არასრული კვადრატის მიხედვით.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
შემცირებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.
მაგალითი 1.
გამოთვალეთ
ა) ორი გამოხატვის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
ბ) ორი გამოთქმის სხვაობის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
მაგალითი 2.
გამოთვალეთ
ორი გამოთქმის კვადრატებს შორის სხვაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
მაგალითი 3.
გამოხატვის გამარტივება
(x - y) 2 + (x + y) 2
ჩვენ გამოვიყენებთ ფორმულებს ჯამის კვადრატისა და ორი გამოხატვის სხვაობის კვადრატისთვის
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ერთ ცხრილში:
(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)