Leksione mbi teorinë e grupeve. Grupi i Teorisë

Alexey Savvatev për rrjedhën e leksioneve:

Unë ju ftoj në minibars tuaj në teorinë e grupeve, të cilat e quaja "teoria e shkollës së grupeve".

Unë besoj se teoria e grupit duhet të studiohet në klasat e mesme - përafërsisht kur futet përcaktimi simbolik ( letra x, y, z etj.) Për shkak se faza e abstraksionit që çon në konceptin e përgjithshëm të një grupi nga sistemet e mbetura për këtë modul (nga njëra anë) dhe permutacionet (nga ana tjetër), jo më të larta se faza e abstraksionit nga numrat e 3,4.5 deri në simbolet . Permutacionet janë të lehta për t'u kuptuar dhe mjeshtër tashmë në klasën e dytë të tretë, ashtu si sistemet e balancave të këtij moduli.

Në mini cuss, unë likuidoj boshllëqet e arsimit shkollor lidhur me teorinë e grupeve dhe për shembuj të veçantë të grupeve. Faktet themelore do të instalohen në lidhje me zbritjet, është provuar një teoremë e vogël e fermave, janë prezantuar nëngrupet e grupeve të permutacionit në tre dhe katër karaktere, është futur koncepti i një nëngrupi normal të këtij grupi dhe thjeshtësisë së grupit.

Pastaj do të provohet se një grup i permutacioneve të leximit në N≥5 karaktere është i thjeshtë (i cili do të hapë rrugën për në pyetje në lidhje me zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike në radikalët), si dhe nëngrupin e transferimit të avionit (hapësirë ) - Normal në grupin e të gjitha lëvizjeve (affines) të objektit përkatës. Grupet e lëvizjeve të mulbery do të marrin një karakterizim të plotë (Teorema e Shal dhe ligjet e përbërjes së lëvizjeve të llojeve të ndryshme).

Alexey Vladimirovich Savvateev - Doktor i shkencave fizike dhe matematikore, specialist në teorinë e lojës, rektor i Universitetit të Dmitry Pozharsky, matematikë Popularizer në mesin e fëmijëve dhe të rriturve. Punon njëkohësisht në disa institucionet shkencore, duke përfshirë në laboratorët e kërkimit marrëdhënie shoqërore Dhe shumëfishtë e Shoqatës së Roshit. Lexon në Leksionet Yandex në shkollën e analizës së shkollës, merr pjesë në studimet teorike. Në Irkutsk në 0.2 normat e punës Profesor Igu.

Komente: 0.

Alexey Savvateev

Gjeometria është euklidia klasike, Lobachevsky, projektive dhe sferike - nuk merr vëmendje të mjaftueshme në programet e mat moderne. Fakulteti (për të mos përmendur shkollat). Në të njëjtën kohë, është vizuale dhe jashtëzakonisht e bukur. Shumë deklarata janë vizualisht të dukshme dhe në të njëjtën kohë të papritura (pse avioni fluturon nga Irkutsk në Lisbonë, fillon së pari në drejtim të Norilskut?) Për 8 leksione, studentët do të njihen me informacionin primar në këtë fushë të matematikës, duke marrë fillimi i më shumë se dy mijëvjeçarëve. Ne do të përfundojmë me një material shumë më kompleks direkt në seksionet moderne të shkencës. Themelet e teorisë së grupeve dhe algebrat e gënjeshtrës do të preken.

Alexey Savvateev

Teoria e Galoas është një pjesë e algjebrës që ju lejon të riformuloni çështje të caktuara të teorisë në terren në gjuhën e teorisë së grupit, duke i bërë ato në një kuptim më të lehtë. Teoria e Galois jep një qasje të vetme elegante për zgjidhjen e detyrave klasike: Cilat shifra mund të ndërtohen me një qarkullim dhe një sundimtar? Cilat ekuacione algjebrike janë të zgjidhshme duke përdorur operacionet algjebrike standarde (shtesë, zbritjen, shumëzimin, ndarjen dhe nxjerrjen e rrënjëve)?

Alexey Savvateev

Alexey Savvateev, Alexey Semikhatov

Pyetje Shkenca

Pse mund të dalin matematikanët me të gjitha detyrat e reja infra të kuqe? Pse kemi nevojë për matematikë moderne? Ndër shkencëtarët nuk ka një që do të kuptonte në të gjitha fushat e shkencave moderne matematikore. Dhe matematikanët dalin me të gjitha detyrat e reja dhe të reja të forta, dhe pastaj dekada do të luftojnë mbi ta. Pse e gjithë kjo? Dhe cila është matematika e marrëdhënieve në jetën tonë? Programi i mysafirëve Doktor i shkencave fizike dhe matematikore Alexei Savvatev. Së shpejti Alexey Semikhatov.

Alexander Buffetov

Anatoly vershik

Vetëm kohët e fundit, dhe, si gjithmonë në të njëjtën kohë, dhe në mënyrë të pavarur, disa grupe matematikanë duhej për të studiuar sistematikisht nëngrupet e përzgjedhura rastësisht të këtij grupi. Për folësin, kjo arsye ishte detyra: për të gjetur invarian lidhur me konjugimin e masës në grilën e të gjitha nëngrupeve të këtij grupi. Kjo detyrë është e rëndësishme për teorinë e përfaqësimeve (përfaqësimi i faktorëve të disa grupeve), dhe për shumë teorinë e sistemeve dinamike (veprime jo të lira). Arsyet e tjera - asimptotikë të numrave të Betty në hapësirat simetrike në vend, veprimet e grupeve në pemë, teoria e enden në hapësirat e rastësishme homogjene dhe, me sa duket, kjo nuk është e gjitha. Raporti do t'i kushtohet koncepteve të përgjithshme, analizës së shembullit themelor, domethënë, çfarë është një nëngrup i rastësishëm i grupit simetrik - i fundit dhe i pafund, dhe, së fundi, shpjegimi se si është e lidhur me teorinë e karaktereve .

Evgeny smirnov

Grupet e reflektimit janë një grup diskrete i lëvizjeve hapësinore të lakimit të vazhdueshëm (sferën, hapësirën euklidiane ose hiperbolike), e cila gjenerohet nga një shumëllojshmëri e reflektimeve. Grupet e reflektimit duket çuditërisht shpesh në probleme të ndryshme algjebrike.

Ivan arganttev

Në këtë kurs, një objekt i tillë i mrekullueshëm dhe mjaft elementar është studiuar si algebra asociativ kombëtar dimensional për numrat kompleks. Është mjaft e lehtë të provosh rezultatet e para strukturore, por të merrni klasifikim të plotë Vështirë të jetë e mundur. Ne do të diskutojmë teknika të ndryshme për të punuar me algebrat e fundme-dimensionale (idealet maksimale dhe algebrat lokale, filtrimin dhe diplomimet, sekuenca e Hilbertit Selfel dhe bodrum) dhe ne marrim një përshkrim të qartë të algebrave të dimensioneve të vogla. Rezulton se algebrat e fundme-dimensionale janë të lidhura ngushtë me veprimet me një orbitë të hapur të grupeve komutative të matricave në hapësirat përkatëse dhe projektive. Ne do ta shpjegojmë këtë lidhje. Në procesin e shpjegimit, natyrisht do të kenë koncepte të tilla si eksponenti i një operatori linear, përfaqësimi i grupit dhe moduli ciklik, algjebrën e gënjeshtrës dhe ambalazhi i saj universal.

Mikhail Tomkin

Rregullimi i tetrahedrës tek njëri-tjetri në skajet mund të merren me shembuj të komplekseve të thjeshta - një objekt i rëndësishëm matematikor. Për të ngjyrosur trekëndëshat e një strukture të tillë në ngjyra të zeza dhe të bardha dhe ngjyrosja e thirrjeve të mira nëse çdo tetrahedron ka një rresht me fytyra të zeza dhe të bardha. Rezulton se në rastin e sferave të vogla (standarde të thyera silikoni, grupi i trekëndëshave të bardha rezulton të jetë një objekt i denjë për studim: një fletë me Mibius ose një aeroplan projektiv. Kur përshkruan se si këto objekte janë thyer në trekëndëshat, ne natyrisht kemi një Ikosader - një politikë e mrekullueshme e saktë. Studimi i grupit të vetë-absorbimit të tij do t'ju lejojë të kuptoni se sa ngjyrosje e mirë. Gjatë rrugës, ne do të përmbushim koncepte të tilla të rëndësishme themelore të matematikës, të tilla si kompleksi i mësipërm simplicial dhe grupi i simetrave, veprimit etj.

Ivan humbet

Leksionet paraqesin informacionin kryesor nga teoria e përfaqësimeve të grupeve të fundme, shpjegon qasjen e kulmes dhe okunkov në përfaqësimet e grupeve simetrike, përshkruhet për atë që po ndodh në një karakteristikë pozitive dhe çfarë është algjebra gënjeshtre. Kursi duhet të kuptohet nga studentët, duke filluar nga kursi i parë, i cili zotëronte rrjedhën e algjebrës.

Të gjitha librat mund të shkarkohen falas dhe pa regjistrim.

Elliot, Dober. Simetri në fizikë. Në 2 vëllime. 1983. 364 + 414 f. Djvu. Në një arkiv, 7.4 MB.
Monografi dy volume (fizikantët anglezë) në lidhje me parimet e simetrisë në fizikë. Në T. 1, teoria e grupeve dhe teoria e përfaqësimit të grupeve që themelojnë teorinë e simetrave bazohet në teorinë e simetrisë dhe aplikimet e kësaj teorie konsiderohen të analizojnë strukturën e atomeve dhe lattices kristaline, si dhe në përshkrimin e vetive simetri të bërthamës dhe grimcat elementare. Në t. 2, struktura elektronike e molekulave, vetitë e simetrisë së hapësirës dhe kohës, grupet e permutave dhe grupeve unitare, konsiderohen vetitë e grimcave në fushat e jashtme.
Për një gamë të gjerë të fizikanëve dhe matematikanëve - shkencëtarët, studentët e diplomuar dhe studentët.
Libri është shkruar nga një fizikant për fizikantët. Kjo nuk është një abstraksion i zhveshur për matematikanët, por konsiderohen shumë sisteme fizike. Rekomandoj.

Shkarko

O.v i ri Bogopolsky. Hyrje në teorinë e grupeve. 2002. 148 f. Djvu. 732 KB.
Qëllimi i librit është prezantim i shpejtë dhe i thellë në teorinë e grupeve. Në pjesën e parë, bazat e teorisë janë zgjidhur, po ndërtohet një grup sporadik i Mathieu, lidhja e tij shpjegohet me teorinë e kodimit dhe sistemeve të Steiner. Në pjesën e dytë, janë konsideruar teoria e basit - grupet Serra që veprojnë në pemë. Tipari i librit është një qasje gjeometrike në teorinë e grupeve të fundme dhe të pafundme. Ka një numër të madh shembujsh, ushtrimesh dhe vizatime.
Për studiuesit, studentët e diplomuar dhe studentët e universitetit.
Ky prezantim është mjaft i vështirë dhe kërkon njohuri të mira për algjebër.

. . . . . . . . . . . . Shkarko

L.K. Amines. Teoria e simetrisë. Abstraktet e leksioneve dhe detyrave. 2002. 192 f. Djvu.
Ky manual u hartua në bazë të rrjedhës së leksioneve "Kryetarët e tjerë të matematikës", të cilat për shumë vite e kanë lexuar autorin për studentët që specializohen në fizikën teorike, kursin për zgjedhjen e teorisë së simetrisë për studentët e tretë-ruse Studentët dhe kursin "Kryetarët shtesë të matematikës me aplikacione" për fakultetin e studentëve fizikë. Përmbajtja e leksioneve kryesisht përfaqësohet në formën e një abstrakt të shkurtër; Më shumë detaje janë temat për të cilat kryhen detyrat laboratorike. Detyrat për secilën pjesë zgjidhen nga studentët në klasa praktike dhe në mënyrë të pavarur. Në përgjithësi, ky manual ka për qëllim të ndihmojë studentët në punën jashtëshkollore me literaturën e rekomanduar.

. . . . . . . . . . . . Shkarko

V.a.artamonov, yu.l. slovofotov. Grupet dhe aplikacionet e tyre në fizikë, kimikë, kristalografi. 2005 vit. 512 f. Djvu. 5.4 MB.
Teoria e grupeve paraqitet në mënyrë sistematike, shqyrtohen aplikacionet e tij fiziko-kimike. Strukturat kryesore të grupeve janë paraqitur, teoria e grupeve abelike dhe kristalografike të gjeneruara finitely, bazat e teorisë së përfaqësimeve të grupeve të fundme, grupeve lineare dhe algebrat e tyre të gënjeshtrës. Diskutuar me quasicrystals, renormalizmi, algebras hopf dhe grupet topologjike. Raportet e simetrisë në mekanikë, spektroskopi molekulare, fizikën janë diskutuar i ngurtësi dhe në teorinë e atomeve, bërthamave dhe grimcave elementare.
Për studentët e specialiteteve natyrore-shkencore të institucioneve të larta arsimore. Griffing umo në arsimin universitar klasik. Mund të jetë e dobishme për studentët dhe studiuesit e diplomuar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Shkarko

Alekseev V. B. Abel Teorema në detyra dhe vendime. Viti 2001. 190 pdf. 1.4 MB.
Nga ky libër, lexuesi mëson se si të zgjidhë ekuacionet algjebrike të shkallës së tretë dhe të katërt me një të panjohur dhe pse nuk ka formulë të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve një shkallë më të lartë (në radikal). Në të njëjtën kohë, ajo do të njihet me dy seksione shumë të rëndësishme të matematikës moderne - teoria e grupeve dhe teoria e funksioneve të ndryshores komplekse. Një nga objektivat kryesore të këtij libri është që t'i mundësojë lexuesit të provoni dorën në matematikë. Për këtë, pothuajse të gjithë materiali është paraqitur në formën e përkufizimeve, shembujve dhe një numri të madh të detyrave të ofruara nga udhëzimet dhe zgjidhjet.
Libri është projektuar për një gamë të gjerë lexuesish të interesuar në matematikë të rëndë (duke filluar nga nxënësit e shkollave të mesme), dhe nuk nënkupton ndonjë njohuri të veçantë paraprake nga lexuesi. Libri mund të shërbejë gjithashtu si një përfitim për punën e turi matematik. Në dyshimin e fundit. Tani nuk ka nxënës të tillë. Por libri është i dobishëm.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

Barut A., Ronchka R. Teoria e prezantimit të grupit dhe aplikimet e saj. Në 2 libra. 1980. djvu. Në një arkiv
Libri 1. Kapitujt 1-11. 452 f. 4.9 MB. Libri 1. Kapitujt 12-21 + Aplikime. 393 f. 2.8 MB.
Autorët e monografisë janë shkencëtarë të njohur amerikanë dhe polakë, specialistë në metodat teorike - grupore në fizikë. Libri përmban modern metodat efektive Dhe rezultatet e teorisë së përfaqësimeve të grupeve dhe algebrave të Lee, reflektuan një gamë të gjerë të aplikacioneve të tyre fizike. Autorët arritën një kombinim të suksesshëm të ashpërsisë matematikore të prezantimit, plotësinë e mbulimit të materialit me qartësi dhe disponueshmërinë e gjuhës; Të gjitha kapitujt shoqërohen me ushtrime të përzgjedhura me kujdes.
Në të parën (kapitulli 1 - 11), jepen teoria e përgjithshme e grupeve dhe algebras gënjeshtre, përfaqësimet e tyre të fundme-dimensionale janë ndërtuar qartë, është përcaktuar teoria e përfaqësimit të algebrave të operatorëve të pakufizuar li, teoria e integbilitetit të përfaqësimet e algebrave të gënjeshtrës.
Në të dytën: Aplikacionet Quartnamic të Lee Algjebra. Teoria e grupeve dhe prezantimi i grupeve në teoria kuantike. Analiza harmonike në grupet e gënjeshtrës. Funksione të veçanta dhe përfaqësime të grupeve. Analiza harmonike për hapësira homogjene. Pikëpamje të nxitura. Parashtresat e nxitura të punëve gjysmëpërçuese. Teorema themelore për përfaqësimet e nxitura. Përfaqësimet e nxitura të grupeve të gënjeshtrës gjysmësimple.

. . . . . . . . . . . . Shkarko

Vilenkin. Funksione të veçanta dhe teoria e përfaqësimit të grupeve. Madhësia 4.3 MB. 600 fq. Djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

Gelfand, Minos, Shapiro. Përfaqësimi i një grupi të rrotullimeve dhe grupeve të Lorentz, përdorimi i tyre. Madhësia 3.8 MB. 367 f. Djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

Namark. Teoria e paraqitjes së grupeve. Madhësia 24.0 MB. 564 pdf.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

Rumer Yu. B., FET A. I. Teoria e simetrisë unitare. 405 f. Djvu. 3.2 MB.
Libri përbëhet nga 18 kapituj të thyer në tri pjesë: administrimi matematikor, klasifikimi unitar i hadroneve, formulave masive.
Pjesa e parë përshkruan faktet kryesore nga teoria e hapësirave dhe strukturave lineare komplekse mbi to, vetitë kryesore të grupeve, algjebras dhe përfaqësimet e tyre. Prezantimi siguron formulim të saktë të përkufizimeve dhe teoremave, teorema të provave, si rregull, ulen. Kjo pjesë përfshin komente të shumta që shpjegojnë rëndësinë dhe shkakun e rezultatit të rezultatit.
Pjesa e dytë është dhënë në të gjitha detajet studimin e atyre grupeve private (dhe përfaqësimeve të tyre), të cilat janë të nevojshme për të përshkruar simetrinë e ndërveprimeve të forta, i.E. grupe su (2), su (3), su (4) dhe su (6). Në këtë pjesë, vëmendja është tërhequr për ato parti në teorinë që janë të nevojshme për fizikën.
Pjesa e fundit është e përkushtuar për përfundimin formulat masiveDhe është më fizike se matematikore. Për formulat masive, ofrohet një arsyetim i ri, i cili ju lejon t'i interpretoni ato në një efekt të gjerë. Bibliografia paraqet veprat kryesore në çështjen e lëshuar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

Hamermesh. Teoria e grupeve dhe aplikimet e saj ndaj problemeve fizike. Madhësia 4.6 MB. 590 ppmv.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarko

K. Shevalle. Teoria e grupeve të gënjeshtrës. Në 3 vëllime. djvu.
Vëllimi 1. 1948. 316 f. 7.7 MB.
Avantazhi i librit K. Shevalle është shqyrtimi sistematik i grupeve të gënjeshtrës në tërësi, në kontrast me pikëpamjen lokale, zakonisht të kryera në manualet e vjetra. Për herë të parë, ky sistem prezantimi u krye nga L. S. Pontryagin në librin e tij "Teoria e grupit të vazhdueshëm" (T.T.I 1938), në të cilën, megjithatë, vetëm kapitujt e fundit i kushtohen teorisë aktuale të grupeve.
Libri K. Shevalle është projektuar për shkencëtarë-matematikë, studentë të kurseve të larta dhe studentëve të diplomuar. Për leximin e saj, është e nevojshme të posedoni konceptet kryesore të kombinatorëve dhe teorikës dhe teorive teorike dhe teorisë abstrakte të grupit.
Vëllimi 2. Grupet algjebrike. 1958. 316 f. 7.7 MB.
E dyta, vëllimi është i përkushtuar për prezantimin e teorisë së grupeve algjebrike (grupet e matricave të përcaktuara me raportet algjebrike midis koeficientëve), teoria e zhvilluar vitet e fundit Në një masë të madhe në veprat e autorit. Kjo është e para në literaturën botërore një prezantim sistematik të teorisë së grupeve algjebrike.
Libri është projektuar për matematikanët - studentët e kurseve të larta, studentë të diplomuar dhe studiues.
Vëllimi 3. Teoria e përgjithshme e algebrave të gënjeshtrës. 1958. 306 f. 4.8 MB.
Në volumin e tretë, është përcaktuar teoria e përgjithshme e algebrave të gënjeshtrës. Deri tani, nuk kishte monografi në gjuhën ruse në mënyrë specifike këtë teori.
Ky vëllim, si ato të mëparshme, është projektuar për matematikanët - studentët e kurseve të larta, studentë të diplomuar dhe studiues.

Bazat e teorisë së grupit

Kurs leksionesh

Krasnoyarsk, 2007.

Senashov, V. I.

Bazat e teorisë së grupit: Kursi i leksioneve / ,. – Krasnoyarsk: FGOU VPO "Universiteti Federal Siberian, Instituti i Shkencave Natyrore dhe Njerëzore", 20C.

Disiplina "Bazat e teorisë së grupit" është një vazhdim i disiplinës "algjebër më të lartë" dhe është një nga disiplinat kryesore të veçanta në përgatitjen e studentëve në specialitetin "matematikë". Kursi i leksioneve ka për qëllim studentët dhe studentët e diplomuar që specializohen në departamentin e algjebrës dhe logjikës matematikore.

© KRASNOYARSK Instituti i Natyrës dhe

humaniteti, 2007.

Seksioni 1. Informacion i përgjithshëm ....................................... .. 5

Tema 1. Hyrje .............................................. ..... 5

Informacion historik mbi shfaqjen dhe zhvillimin e teorisë së grupeve.

Qëllimet dhe objektivat e studimit. Përshkrim i shkurtër i modern

gjendjen e teorisë së grupeve. Shqyrtimi i Letërsisë. Gjeneral.

Tema 2. Grupet, nëngrupet .......................................... 7

Përkufizimi i një grupi, shembuj. Përcaktimin e nëngrupit

shembuj të nëngrupeve.

Seksioni 2. Klasat e grupit, llojet e grupeve të vendosjes .......... nëntë

Tema 3.. Klasat e grupit, shembuj ................................. ... 9

Grupe të fundme dhe të pafundme, grupe periodike,

grupet e panjohura, grupet e përziera, shembuj.

Tema 4.Grupe gjeneruese. Grupet ciklike, nëngrupet e grupit ciklik .......................................... njëmbëdhjetë

Detyra e grupeve duke gjeneruar grupe. Shembuj të grupeve ciklike, 2 të gjeneruara dhe 3 të gjeneruara.

Seksioni 3. Struktura e grupit .................................... ... 12

Tema 5. S.klasat ndërkombëtare ............................................. .. 12

Pronat e klasave ngjitur. Indeksi i nëngrupit, teorema Lagrano

mS, hetimi.

Tema 6.Klasat e elementeve të konjuguar. Normalizues dhe centralizer ............................................... ................... 13

Përcaktimi dhe vetitë e klasave të elementeve konjuguar,

masat. Përcaktimi i centralizuesit, normalizuesit, teorema e energjisë së klasave të elementeve të konjuguar.

Tema 7.Qendra, Komutues. Grupi i faktorit ........................ 14

Përkufizimet e Qendrës, Komutues. Shembuj.

Tema 8.. Grupet e plota ................................................ 16

Grupet e plota, shembuj. Teorema në grupe të plota.

Seksioni 4. Shfaq grupet ..................................... 17.

Tema 9. Grupet e zëvendësimit ........................................

Përkufizime dhe vetitë e grupeve të zëvendësimit. Teorema e kalit.

Tema 10.Homomorfizmat ............................................. ... 18

Përkufizimi i homomorfizmit, shembuj të ekranit homomorf

teorema për homomorfët.

Tema 11. Isomorphisms ................................................ 20 .

Përcaktimi i isomorfizmit, shembuj të grupeve isomorfike.

Tema 12. Automorphisms .............................................. 21.

Përkufizimi i automorfizmit. Llojet e automorphisms, holomorph.

Seksioni 5.Punimet e grupeve ................................. 24

Tema 13.Punimet e drejta dhe kartesiane .................. 24

Përkufizime. Shembuj të grupeve të dekompozuara në të drejtpërdrejta dhe

punon Cartesian.

Tema 14. PUNA SEMI-PLATED FALAS

punë dhe lloje të tjera të punimeve ...................... 27.

Semi-hapje, punë falas, produkt i lirë me një nëngrup të kombinuar, punë uniforme.

Tema 15.Rreshtat në grupe ............................................... . 31

Rresht normal, rresht nënnormal. Llojet e grupeve që posedojnë rreshta.

Tema 16. Teorema silova .......................................... .. 32

Nëngrupet sylow. Teorema Silova. Aplikimet e teoremës së argjendit.

Tema 17.Sistemet algjebrike ................................. 33

Shembuj të sistemeve algjebrike. Groupoid, semigroup, quasigroup, zmadhues, grup, unazë, fushë.

Seksioni 6. Kushtet e gjymtyrëve në grupe ............... 35

Tema 18. Grupet me kushte minimale dhe

maksim ................................................. ............. 35.

Grupe me kushte minimale dhe maksimale. Grupet e Cherny dhe pronat e tyre.

Tema 19. Kushtet e gjymtyrëve ....................................... 38

Kushtet e një gjymtyre biprimuese, biptrimitivë të lidhur

gjymtyrët, dobësimin dhe përgjithësimin e tyre. Grupet Schunov. Për shembull.

Seksioni 7. Shembuj të grupeve .......................................... 40.

Tema 20. GRUPET DIENDH ............................................. ... 40.

Përkufizime dhe vetitë e një grupi të diamuar.

Tema 21. Rezultatet e zëvendësimeve dhe matricave ........................ 43

Rezultatet e zëvendësimeve dhe matricave. Përfaqësimi i një grupi diamanti

një grup zëvendësimesh.

Tema 22. Grupet e Lëvizjes ............................................. ........ .. 48

Transformimet gjeometrike. Lëvizje. Shifrat e simetrisë.

Grupet e simetrave të politikë të saktë. Finite dhe djalli - grupe të fundme të simetrave të figurave hapësinore dhe të sheshtë.

Seksioni 8. Përfundim .............................................. .. 54

Tema 23. Atlas e grupeve ............................................ ....5 4

Grupet e tryezës. Atlasat e grupeve të thjeshta të fundme dhe të paraqitura

eliminimi i grupeve të fundme.

Tema 24. Përfundim .............................................. .. ..5 6

Pasqyrë e gjendjes aktuale të teorisë së grupit.

Përveç kësaj ...................................................................... 57.

Tema 25.Grupet e Froenius .................................... .. 57

Lista bibliografike .................................... 62

Seksioni 1. Informacion i përgjithshëm

Tema 1. Hyrje

Informacion historik mbi shfaqjen dhe zhvillimin e teorisë së grupeve.Koncepti i grupit u ngrit në shekullin e 18-të, ai vazhdon nga disa disiplina: teoria e zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike në radikalët (në veprat e J. Lagranzhit dhe A. Vandermond në vitin 1771. Për herë të parë për nevojat e kësaj teorie , u zbatuan zëvendësimet dhe dekompozimi i një grupi zëvendësimi u arrit në klasa, në shekullin e 19-të, lidhjet e thella midis vetive të grupit të zëvendësimit dhe vetitë e ekuacioneve u treguan nga N. Abelia në 1824 dhe E. Galua në 1830 . Është veçanërisht e nevojshme të theksohet arritjet e E. Galua në teorinë e grupeve. Ai hapi rolin e nëngrupeve normale në zgjidhjen e detyrave të zgjidhshmërisë së ekuacioneve në radikale, krijoi thjeshtësinë e shenjës së shkallës së lartë se katër. K . Jordania sistematizoi dhe zhvilloi hulumtime në këtë drejtim në traktat në grupin e zëvendësimit në 1870). Në gjeometrinë projektive, pavarësisht nga ky grup, ka kur sjellja e shifrave është duke u studiuar në transformime të ndryshme, të cilat kanë kaluar në studimin e vetë transformimeve dhe për të kërkuar klasifikimin e tyre (këtu ju mund të telefononi emrat e A. MEBIUS , e cila studioi lloje elementare të farefisnisë shifrat gjeometrike, A. Cali, i cili erdhi për të kuptuar grupin si një sistem të dhënë nga elementët dhe marrëdhëniet gjeneruese, F. Klein - Krijuesi në 1872, "Programi Erlangean", i cili vuri grupin e transformimeve të gjeometrisë në kuadër të klasifikimit) . Idetë teorike dhe grupore janë gjurmuar në teorinë e numrave. L. Euler në 1761, kur studioi "zbritjet e mbetura në ndarjen e gradave" të përdorura krahasimet dhe ndarjet në klasat e zbritjeve, dmth., Në klasat ngjitur sipas nëngrupit. K. Gauss në 1801 në "Studimet Aritmetike" përcaktoi nëngrupet e Grupit Galois të ekuacionit të Divizionit të Rrethit dhe, në studimin e "përbërjes së formës së kuadratit binar", dëshmoi se klasat e formave ekuivalente janë formuar në krahasim me përbërjen e grupit përfundimtar të Abelianit.

Në fund të shekullit të 19-të Koncepti modern abstrakt i grupit është zhvilluar. Në 1895, S. Li e ka përcaktuar tashmë grupin si një sërë transformimesh, të mbyllura në krahasim me operacionin, i cili është asociativ dhe garanton njësinë dhe elementët e kundërt.

Studimi i grupeve pa supozimin e gjymtyrëve të tyre dhe pa supozime për natyrën e elementeve, u imponua në një rajon të pavarur të matematikës në vitin 1916 në librin "Teoria abstrakte e grupeve" të bashkatdhetarit tonë.

Aktualisht, teoria e grupeve është një nga fushat më të zhvilluara të algjebrës që ka aplikacione të shumta si në matematikën më të madhe dhe më gjerë - në topologji, teoria e funksioneve, kristalografi, mekanika kuantike dhe fusha të tjera të matematikës dhe shkencës natyrore.

Në këtë leksione, kujton shkurtimisht përkufizimet kryesore dhe teoremat e teorisë së grupeve, të cilat janë brenda rrjedhës së algjebrës së Universitetit. Pastaj unë prezantoj një dëgjues në zonë teoria moderne Grupe përmes prezantimit të rezultateve të dekadave të fundit. Le të jemi veçanërisht në detaje mbi shembujt e grupeve dhe grupeve me kushte të gjymtyrëve.

Qëllimet dhe objektivat e studimit. Disiplina "bazat e teorisë së grupit" është një vazhdim i kursit "algjebra më të lartë" dhe përfaqëson një nga disiplinat kryesore të veçanta në përgatitjen e studentëve në specialitetin "matematikë".

Qëllimi i disiplinës së mësimdhënies është njohja me përkufizimet bazë dhe teorema themelore të teorisë së grupeve, si dhe formimin e aftësive dhe aftësive të zbatimit të atyre që studiohen nga teorema në provat e teoremave të reja dhe për të ndërtuar shembuj.

Në procesin e studimit të disiplinës, ju duhet të fitoni njohuri, shkathtësi dhe aftësi për aktivitete profesionale si studiues dhe mësues në specialitetin "matematikë".

Specialisti duhet të dijë: klasat kryesore të grupeve, shembuj klasikë të grupeve të fundme dhe të pafundme, teorema themelore të teorisë së grupit; Për të qenë në gjendje të: aplikoni teorema të mësuara në dëshmi të teoremave të reja, përdorin literaturë të veçantë, libra referimi, enciklopedi matematikore, fitojnë aftësi praktike të punës së pavarur gjatë studimit të strukturave të grupeve, të kenë një ide të tendencave aktuale në zhvillimin e teoria e grupeve në Rusi dhe në botë.

Kur shkruan një kurs leksionesh, autorët vendosën qëllimin për të prezantuar shkurtimisht lexuesin me konceptet dhe teoremat e kursit klasik të teorisë së grupeve dhe, nëse është e mundur, të qëndrojnë detaje mbi konceptet që janë formuar në Shkollën e Krasnoyarsk Teoria e grupeve dhe po studiohet në mënyrë aktive për momentin në vendin tonë dhe jashtë vendit..

Përshkrim i shkurtër i gjendjes aktuale të teorisë së grupit.Aktualisht, teoria e grupeve është një zonë e zhvilluar mirë e matematikës. Çdo vit ka konferenca ndërkombëtare mbi teorinë e grupeve të fundme dhe të pafundme. Vetëm në Rusi në vitin 2007 disa kaluan konferenca Ndërkombëtare Sipas teorisë së grupit, një prej tyre është në Krasnoyarsk.

Shkollat \u200b\u200be zhvilluara të përfshira në teorinë e grupeve janë në dispozicion në Moskë, Shën Petersburg, Yekaterinburg, Novosibirsk, Omsk, Tomsk, Irkutsk, Chelyabinsk, Krasnoyarsk dhe qytete të tjera të Rusisë. Specialistët e kualifikimeve të larta janë të angazhuara në seksione të ndryshme të teorisë së grupit. Në Rusi, revistat "algjebër dhe logjikë", "Journal Matematik Siberian", "matematikë themelore dhe të aplikuar", "Matematikë diskrete", "Raportet e Akademisë së Shkencave" janë rregullisht me pamje, në të cilën mbahen nenet mbi teorinë e grupit. Shkencëtarët rusë kanë shkruar dhjetra monografi mbi grupet e fundme dhe të pafundme. Arritjet e specialistëve rusë në grupe të grupeve kanë qenë prej kohësh dhe të vërtetuara në mbarë botën.

Shqyrtimi i Letërsisë.Kur studiojmë disiplinën "Bazat e teorisë së grupit", ne rekomandojmë përdorimin e teksteve shkollore dhe listës së propozuar të literaturës.

Tema 2. Grupet, nëngrupet

Përkufizimi i një grupi, shembuj.

Përkufizimi. Ata thonë se grupi është pyetur operacion binarNëse është përcaktuar një ligj, është në përputhje me dy elemente të grupit të elementit të vetëm të të njëjtit grup.

Përkufizimi.Shume nga G. me një operacion algjebrik binar të dhënë në të quajtur grup, nese nje:

1) Ky operacion është Associative, I.E. (Ab) c \u003d a (bc) Për çdo element a, b, c i G.;

2) B. G. Ka një element të vetëm e.: ae \u003d ea \u003d a Për çdo element a. i G.;

3) për çdo element a. i G.në G. ekziston prapa Element https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif "gjerësi \u003d" 99 "lartësi \u003d" 21 src \u003d "\u003e.

Çdo gjë madje edhe numra Nga varësia formojnë një grup. Grupi sipas varësisë është gjithashtu një sërë integers, shumëfishtë ky numër n.. Një grup numrash të rastësishme nuk do të jetë një grup i funksionimit shtesë, pasi që ky operacion na tregon përtej këtij grupi. Formimi i grupit edhe të gjithë numrat racionalë jo-zero pozitiv në krahasim me operacionin e shumëzimit. Numrat 1 dhe -1 me operacionet e shumëzimit përbëjnë një grup të caktuar.

Përkufizimi. Grup G. i quajtur abelian ose komutativNëse të gjitha elementet e grupit janë të përhapura në mesin e tyre, i.E. Ligji Komutativ ab \u003d ba. Për çdo element a, B. nga grupi G.

Shembuj të grupeve abelane mund të shërbejnë si një grup numrash racional, numra realë, numra komplekse të konsideruar në krahasim me operacionin shtesë. Grupet e NEABELLA përfshijnë grupet e zëvendësimit të më shumë se dy elementëve, grupet e matricave në lidhje me shumëzimin.

Përkufizimi. Rendi i elementit quajtur numri më i vogël natyror n.sikurse a \u003d E.. Denotes | a.|.

Përkufizimi. Grupi i Procedurës G. Numri i elementeve të saj quhet.

Procedura e grupit është shënuar G. përmes | G.|. Në rast se grupi i artikujve pafundësisht, ata e thonë këtë G. Ka një urdhër të pafund, dhe shkruaj. | G.| \u003d https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif "gjerësi \u003d" 95 "lartësi \u003d" 29 "\u003e | ai m, mi \u003d 1, n \u003d 1, 2, 3, ...}.

Dëshmi. Tregoni grupin e elementeve të paraqitura në formulimin e teoremës, përmes H..

Padyshim HH. H., H.-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif "gjerësi \u003d" 16 "lartësi \u003d" 16 src \u003d "\u003e H..

Ne anen tjeter,<M.\u003e https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif "gjerësi \u003d" 13 "lartësi \u003d" 13 src \u003d "\u003e h). Element x. i quajtur përfaqësues klasë ngjitur. Klasa e duhur ngjitur Të përcaktuara në mënyrë të ngjashme.

Prona të klasave ngjitur:

1) klasa të lidhura ose nuk ndërpriten ose nuk përputhen;

2) Klasat e lidhura janë po aq të barabarta;

3) Elemente a., b. të përfshira në një klasë ngjitur sipas nëngrupit H., nese nje b.-1 a. H..

Prona e pronës i jepet lexuesit.

Përkufizimi.Numri i klasave të grupeve ngjitur G. Nga nëngrupi H. i quajtur indeksgrupe G. Nga nëngrupi H. dhe Denotes | G: H.|.

Lemma Neumanana. Le te jete G -një grup që është një bashkim i një numri të caktuar të klasave ngjitur në nëngrupet përfundimtare të përcaktuara. Pastaj të paktën një nga këto nëngrupe ka një indeks të caktuar në G.

Dëshmi. Supozoni se teorema është e pasaktë dhe secila nga nëngrupet H.1 ,…, HN. ka një indeks të pafund në G.. Le të ketë një dekompozim në klasat ngjitur tregohet në formulimin e teoremës:

G \u003d G.11H.1 .gif "gjerësi \u003d" 16 "lartësi \u003d" 20 src \u003d "\u003e .gif "gjerësi \u003d" 16 lartësi \u003d 20 "lartësi \u003d" 20 "\u003e G.21H.2 … H.2 …

... .gif "gjerësi \u003d" 16 "lartësi \u003d" 20 "\u003e ... .gif "gjerësi \u003d" 16 "lartësi \u003d" 20 "\u003e ... H.1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif "gjerësi \u003d" 36 "lartësi \u003d" 28 src \u003d "\u003e h1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif "gjerësi \u003d" 36 "lartësi \u003d" 28 src \u003d "\u003e h 1 G.21H.2 … .gif "gjerësi \u003d" 16 lartësi \u003d 20 "lartësi \u003d" 20 "\u003e ... .gif" gjerësi \u003d "16" lartësi \u003d "20"\u003e ... https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif "gjerësi \u003d" 20 lartësi \u003d 19 "lartësi \u003d" 19 "\u003e.

Natyrisht, grupi Është një bashkim i një numri të caktuar të klasave ngjitur sipas nëngrupeve H.2, …, HN. dhe përmban g.11H.1, në mënyrë të ngjashme

g.11H.1 .gif "gjerësi \u003d" 16 "lartësi \u003d" 20 src \u003d "\u003e .gif "gjerësi \u003d" 19 "lartësi \u003d" 17 "\u003e .gif "gjerësi \u003d" 24 "lartësi \u003d" 16 "\u003e gh., h. hG., h.https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif "gjerësi \u003d" 15 "lartësi \u003d" 15 src \u003d "\u003e G.) Nëse klasat e majtë dhe të djathtë në të djathtë G. nga H. ndeshje deri.

Pronat e tjera të klasave ngjitur, shih.

Tema 6.Klasat e elementeve të konjuguar. Normalizer dhe Centralizer

Përkufizimi dhe vetitë e klasave të elementeve konjugate, shembuj.Element një konjuguar me element b. në një grup G.Nëse ka të tillë x. i G, çfarë \u003d B..

Përveç kësaj, përcaktimi \u003d Sëpatë. Është transferuar në shumë: Ab = {ab | a. A., b. B.). Në këto notim, përkufizimi i një nëngrupi normal duket kështu: H. G. pastaj dhe vetëm kur Hgh.

Teorema 6.1.Urdhrat e elementeve konjuguese janë të barabarta.

Dëshmi. Le te jete \u003d b.Supozoni a.| = n., |b.| = m. dhe n. < m.. Pastaj ( )n. = një. = e., por bNE.. Kontradikta që rezulton provon teoremen.

Konjugimi - raporti i ekuivalencës. (I.E., tre prona janë kryer për konjugim: refleksivitetin, simetrinë dhe transitivitetin.) I gjithë grupi është i ndarë në klasa jo të ciklit të elementeve të konjuguar ag. Në të gjitha sistemet numerike dhe grupet abeliane, klasat e elementeve konjuguese përbëhen nga një element. Në përgjithësi, klasa të ndryshme mund të kenë fuqi të ndryshme. Mjeti i matjes së energjisë normalizuese.

Shembuj të grupeve në të cilat çdo klasë e elementeve konjuguese përbëhet nga një element, të gjitha grupet abeliane janë. Në një grup zëvendësues të shkallës së tretë, tre elemente konjugate: një klasë që përbëhet nga një element i vetëm, një klasë e përbërë nga dy elementë të rendit të tretë dhe një klasë që përbëhet nga tre involutions konjuguar.

Përcaktimi i centralizuesit, normalizuesit, teorema e energjisë së klasave të elementeve të konjuguar.

Përkufizimi. Le te jete M. - Subscet arbitrare e grupit G., H. - nëngrupi i saj. Normalizer Set M. në një grup G. quajtur shumë Nh(M.) = { h. | hm. = MH., h. H. }.

Përkufizimi. Centralizues M.në një grup G. quajtur shumë CG (M) \u003d{ G | gm \u003d mg, m m}.

Në grupet abelane, centralizimi i çdo elementi përkon me të gjithë grupin. Në një grup zëvendësues të shkallës së tretë, centralizuesit e të gjitha elementeve përkojnë me grupet ciklike të krijuara nga këto elemente.

TEOREM 6.2.Nese nje M. - subset, dhe H. - Nëngrupi i grupit G., pastaj fuqia e klasës së subsets lidhur me M. elemente nga H. e barabartë me indeksin H. : Nh(M.) |. Në veçanti, ag| = |G. : Ng.(a.) |.

Dëshmi. Shfaq Mx., xh, në klasat e duhura të afërta H. nga N. = Nh(M.): (Mx.)= Nx.. Shfaq Definitivisht: Mx. = M.n. Ndezhet Nx. = Ny.. Është shprehur reciprokisht. Nx. = Ny. nënkupton Mx. = M.n.. Kjo është shfaqja "në", për shkak të çdo klase Nx. Ka një prototip Mx.. Teorema provohet.

Tema 7.Qendra, Komutues. Grup

Përkufizimet e Qendrës, Komutues. Shembuj.Struktura e grupit përcaktohet kryesisht nga permutacioni i elementeve të saj. Shumë elementë të grupit që janë të përhapur me të gjitha elementet e tij janë një nëngrup.

Përkufizimi. Grup G. quajtur shumë Z (g) \u003d cg (g).

Ushtrimi.Grup G.abelian atëherë dhe vetëm kur Z (g) \u003d G.

Përkufizimi. Elementet a., b. Grupe G.permutation (udhëtoj) kur

a.-1 b.-1 ab = e..

Grupet e Abelianit përkojnë me qendrën e tyre. Në grupin e zëvendësimit të shkallës së tretë, qendra është e vetme.

Përkufizimi. Kaloj [a., b.] Elementet a., b. quajtur një punë

[a. , b.] = a.-1 b.-1 ab.

Përkufizimi. Nëngrupi i gjeneruar nga të gjitha çelsat quhet kaloj Grupe.

Kaloni - një mjet që mat devijimin e grupit nga komutativiteti.

Përkufizimi.Nese nje L., M. - Subjektet e grupit, atëherë komunikimi i tyre i ndërsjellë quhet një nëngrup

[L. , M.] = < [a. , b.] | a. L., b. M. >.

Shembuj.

1. [ Sn. , Sn.] = Një., për këdo n..

2. [ Një, një.] = Një, n\u003e 4..

3. [G. , G.] \u003d 1, nëse G. Abelian.

Ushtrime.

1. Provoni [ a. , b.]-1= [b. , a.].

2. Provoni [ ab , c.] = [a. , c.] B [ b. , c.].

Rikranguesit e rrënjëve ishin të angazhuar më parë në Lagranzh të tjerë dhe. Por shkatërrimi i atij që ka formuluar vetitë thelbësore të koncepteve i ka aplikuar ata për të zgjidhur detyrat e reja dhe të vështira. Kjo është bërë nga matematika franceze Galua për konceptin e grupit. Vetëm pas punës së tij, u bë subjekt i studimit të matematikanëve.

Galua Evaristers (1811-1832) ka lindur në qytetin Bour-la Ren. Në 1823, prindërit e dërguan veshët për të studiuar në Kolegjin Mbretëror në Paris. Këtu ai u largua nga matematika dhe filloi të studionte kompozimet e Lezhanderit, Eulerit, Lagranzhit, Gausit.

Idetë e Lagranzhit janë konfiskuar plotësisht nga Galua. Ai, si një herë Abel, duket se ai ka gjetur zgjidhjen e ekuacionit të pestë të shkallës. Ai merr një përpjekje të pasuksesshme për të hyrë në Shkollën Politeknike, por njohja e punës së Lezhanderit dhe Lagranzhit nuk ishte e mjaftueshme, dhe Galoah kthehet në kolegj.

Këtu ai së pari buzëqesh lumturi - ai takon mësuesin që ishte në gjendje të vlerësojë gjeniun e tij. Rishar dinte se si të rritet mbi programet zyrtare, ai ishte i vetëdijshëm për suksesin e shkencave dhe kërkoi të zgjeronte horizontet e nxënësve të tij. Shqyrtime Rishara rreth Evaris janë të thjeshta: "Punon vetëm në rajonet më të larta të matematikës".

Në të vërtetë, në shtatëmbëdhjetë vjet, Galua merr rezultatet e para shkencore. Në 1829 shënimi i tij u botua "prova e një teorema për fraksionet periodike të vazhdueshme". Pastaj Galua paraqiti një punë tjetër për Akademinë e Shkencave të Parisit. Ajo ishte e humbur në Cauch.

Galua po përpiqet të ri-hyjë në Shkollën Politeknike, dhe përsëri dështimin. Një prag i ngjarjes u shtua kësaj së shpejti, një i ri i tronditur: kundërshtarët politikë, babai i tij kreu vetëvrasje. Fatkeqësitë që ranë në fije në mënyrë të pashmangshme ndikuan: ai u bë nervoz dhe i nxehtë.

Në 1829, Galua hyri në një shkollë normale. Ishte përgatitur kandidatë për titullin e mësuesit. Këtu, evariste kryente një studim mbi teorinë e ekuacioneve algjebrike dhe në 1830 paraqiti punën në konkursin e Akademisë së Shkencave të Parisit. Fati i tij ishte në duart e një sekretari të pasaktë të Akademisë - Furierit. Furier fillon të lexojë dorëshkrimin, por së shpejti vdes. Dorëshkrimi i dytë, si i pari, zhduket.

Në jetën e Galloa, koha ka ardhur e mbushur evente të rëndësishme. Ai u bashkua me republikanët, u bashkua me "Shoqërinë e Miqve të Popullit" dhe u nënshkrua në artileri të Gardës Kombëtare. Për një performancë kundër udhëheqjes, ai u përjashtua nga një shkollë normale.

14 korrik 1831, në përkujtim të përvjetorit të ardhshëm të marrjes së Bastille, u mbajt manifestimi republikan. Policia arrestoi shumë manifestime, mes tyre ishte Galua. Gjykata mbi Galua u zhvillua më 23 tetor 1831. Ai u dënua për 9 muaj burgim. Galua vazhdoi hulumtimin e tij dhe në burg.

Në mëngjesin e 30 majit 1832, një plumb ishte vdekjeprurës në stomak në qytetin e Galua. Një ditë më vonë ai vdiq.

Veprat matematikore të Galois, të paktën ato që janë ruajtur, përbëjnë gjashtëdhjetë faqe të vogla. Kurrë nuk kanë një vëllim të tillë të vogël të një vëllimi të tillë të vogël të dorëzuar tek autori i një fame të tillë të gjerë.

Në 1832, Galua, ulur në burg, është një program që u botua vetëm pas shtatëdhjetë vjet pas vdekjes së tij. Por në fillim të shekullit të njëzetë, ajo nuk ngjallte interes serioz dhe së shpejti u harrua. Vetëm matematikanët e kohës së re, të cilët vazhduan punën e shumë brezave të shkencëtarëve, më në fund ishin ëndrra e Galois.

"Unë lutem me gjyqtarët e mi të paktën lexoj këto disa faqe", tha Galua memoir i tij i famshëm. Megjithatë, idetë e Galua ishin kaq të thella dhe gjithëpërfshirëse që në atë kohë ata ishin vërtet të vështirë për të vlerësuar ndonjë shkencëtar.

"... kështu, unë besoj se thjeshtësimet e marra duke përmirësuar llogaritjen (në këtë rast, sigurisht, ka një thjeshtësim të themelamental, jo teknik), nuk janë aspak të pafundme. Momenti do të vijë kur matematikanët do të jenë në gjendje të parashikojnë transformimet algjebrike në mënyrë të qartë. Ajo që kalimi i kohës dhe letrës për mbajtjen e tyre të kujdesshëm do të ndalojnë të paguajnë. Unë nuk argumentoj se analiza nuk do të jetë në gjendje të arrijë diçka të re dhe përveç një parashikimi të tillë, por unë mendoj se pa një të tillë ditë, të gjitha mjetet do të jenë të kota.

Vartës të llogaritjes së vullnetit të tyre, operacioneve të matematikës grupore, mësojnë ata për të klasifikuar me shkallën e vështirësisë dhe jo shenjat e jashtme- Këtu është detyra e matematikanëve të së ardhmes, siç i kuptoj, këtu është mënyra për të cilën dua të shkoj.

Le të mos e përzier vetëm faktin se unë jam dëshira e disa matematikanëve në përgjithësi për të shmangur çdo llogaritje. Në vend të formulave algjebrike, ata përdorin arsyetim të gjatë dhe transformimet e rënda matematikore shtojnë barrin e përshkrimit verbal të këtyre transformimeve, duke përdorur një gjuhë që nuk është përshtatur për të kryer detyra të tilla. Këto matematikanë që mbeten prapa njëqind vjet.

Nuk ka asgjë të tillë. Këtu unë jam i angazhuar në analizën e analizës. Në të njëjtën kohë, më kompleksi i atyre që dihet tani transformimet (funksionet eliptike) konsiderohen si raste të veçanta, shumë të dobishme dhe të nevojshme, por ende jo të përgjithshme, kështu që refuzimi i studimeve më të gjera do të ishte një gabim fatal. Do të vijë koha dhe transformimi, të cilat janë në fjalë në analizën më të lartë, do të prodhohen me të vërtetë dhe do të klasifikohen sipas shkallës së vështirësisë dhe jo llojit të funksioneve që dalin këtu ".

Këtu ju duhet patjetër të kushtoni vëmendje për fjalët "operacionet e grupit matematikore". Galoah padyshim nënkupton nën këtë teori të grupeve.

Para së gjithash, Galua nuk ishte i interesuar për detyra individuale matematikore, por ide të përgjithshme që përcaktojnë të gjithë zinxhirin e konsideratave dhe udhëzimin e kursit logjik të mendimeve. Provat e tij bazohen në një teori të thellë që ju lejon të kombinoni të gjitha rezultatet e arritura deri në atë kohë dhe të përcaktoni zhvillimin e shkencës për një kohë të gjatë. Pas disa dekadash pas vdekjes së Galois, matematikan gjerman David Hilbert e quajti këtë teori "krijimin e një ishulli të caktuar të koncepteve". Por çfarë lloj emri nuk e forcon atë, është e qartë se mbulon një fushë shumë të madhe të dijes.

"Në matematikë, si në çdo shkencë tjetër, Galua shkroi:" Ka pyetje që kërkojnë zgjidhje për momentin. Këto janë problemet urgjente që kapin mendjet e mendimtarëve të avancuar pavarësisht nga vullneti dhe vetëdija e tyre ".

Një nga problemet që ka punuar evaristi i Galois është zgjidhja e ekuacioneve algjebrike. Çfarë do të ndodhë nëse marrim parasysh vetëm ekuacionet me koeficientët numerikë? Pas të gjitha, kjo mund të ndodhë që megjithëse formulë e përgjithshme Nuk ka ekuacione të tilla për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, rrënjët e çdo ekuacioni individual mund të shprehen në radikale. Dhe nëse nuk është? Atëherë duhet të ketë ndonjë shenjë që ju lejon të përcaktoni nëse kjo ekuacion është zgjidhur në radikale apo jo? Çfarë është kjo shenjë?

E para e zbulimeve të Galua ishte se ai reduktoi shkallën e pasigurisë së vlerave të tyre, I.E., krijoi disa nga "pronat" e këtyre rrënjëve. Zbulimi i dytë është i lidhur me metodën e përdorur nga Galois për të marrë këtë rezultat. Në vend që të mësosh vetë ekuacionin, Galua studioi "grupin" e tij, ose, duke folur në mënyrë figurative, "familjen" e tij.

"Grupi", shkruan A. Dalma, është një grup i objekteve me vetitë e caktuara të përbashkëta. Le, për shembull, numrat aktualë të merren si objekte të tilla. Prona e përgjithshme e një grupi të numrave realë është se kur shumohen dy elemente të Ky grup, ne marrim gjithashtu një numër të vlefshëm. Në vend të numrave të vlefshëm, si "objekte", ato mund të shfaqen në gjeometrinë e lëvizjes në aeroplan; në këtë rast, prona e grupit është se shuma e çdo dy lëvizjesh jep Lëvizja përsëri. Duke u kthyer nga shembuj të thjeshtë në më komplekse, është e mundur si "objekte" të zgjedhin disa operacione në objekte. Në këtë rast, pronë kryesore e grupit do të jetë që përbërja e çdo dy operacionesh është gjithashtu një operacion. ajo Ishte ky rast që ai studioi Galois. Duke marrë parasysh ekuacionin që kërkohej të vendoste, ai lidhej një grup të caktuar të operacioneve me të (për t'u penduar, ne nuk kemi mundësi të sqarojmë këtu, siç është bërë) dhe argumentuan se vetitë e ekuacioni Reflektuar mbi tiparet e këtij grupi. Meqenëse ekuacionet e ndryshme mund të kenë të njëjtin grup, në vend të këtyre ekuacioneve e konsiderojnë grupin që korrespondon me ta. Ky zbulim shënoi fillimin fazë moderne Zhvillimi i matematikës.

Nga çdo "objekte", as një grup prej: nga numrat, lëvizjet ose operacionet, të gjithë mund të konsiderohen elemente abstrakte që nuk kanë ndonjë veçori specifike. Për të përcaktuar grupin, është e nevojshme vetëm të formulohen rregullat e përgjithshme që duhet të zbatohen në mënyrë që ky grup "objektesh" të quhen grup. Aktualisht, matematika quhet rregulla të tilla sipas aksiomave të grupit, teoria e grupeve është të rendisin të gjitha pasojat logjike të këtyre aksiomave. Në të njëjtën kohë, të gjitha pronat e reja dhe të reja janë zbuluar në mënyrë sekuenciale; Provimi i tyre, matematikan gjithnjë e më shumë thellon teorinë. Është e domosdoshme që as sendet vetë as operacionet në to nuk janë të specifikuara. Nëse pas kësaj, kur studioni një detyrë të veçantë, duhet të konsideroni disa objekte të veçanta matematikore ose fizike që formojnë një grup, atëherë, bazuar në teorinë e përgjithshme, ju mund të parashikoni pronat e tyre. Prandaj, teoria e grupeve jep një kursim të prekshëm në mjetet; Përveç kësaj, ajo hap mundësi të reja për aplikimin e matematikës në punën kërkimore ".

Futja e konceptit të grupit i dha matematikanëve nga përgjegjësia e burrërgjeve për të shqyrtuar shumë teori të ndryshme. Doli që ju vetëm duhet të nxjerrë në pah "karakteristikat kryesore" të një ose një teori tjetër, dhe që, në fakt, ata janë të gjithë krejtësisht të ngjashëm, mjafton për t'i caktuar ato me të njëjtën fjalë dhe menjëherë bëhet e qartë se ajo është e pakuptimtë t'i studiojmë veçmas.

Galua kërkon të bëjë një unitet të ri në aparatin e fshehtë matematik. Teoria e grupeve është, para së gjithash, udhëzimi i rendit në gjuhën matematikore.

Teoria e grupeve, duke filluar nga fundi i shekullit XIX, ka pasur një ndikim të madh në zhvillimin e analizës matematikore, gjeometrisë, mekanikës dhe, më në fund, fizikës. Më pas depërtoi në fusha të tjera të matematikës - nëse grupet u shfaqën në teorinë e ekuacioneve diferenciale, grupet Klein në gjeometrinë. Grupet e Galilesë gjithashtu u shfaqën në mekanikë dhe grupe në teorinë e relativitetit.