Яке число в квадраті дає 6. Формули скороченого множення
Квадрат числа - це результат математичної операції, яка зводить це число до другого степеня, тобто одноразово примножує це число на саме себе. Позначати таку операцію прийнято так: Z2, де Z - наше число, 2 - ступінь «квадрат». Про те, як обчислити квадрат числа, розповість наша стаття.
обчислюємо квадрат
Якщо число просте і маленьке, то зробити це просто або в розумі, або скориставшись таблицею множення, яка нам всім добре відома. наприклад:
42 \u003d 4х4 \u003d 16; 72 \u003d 7х7 \u003d 49; 92 \u003d 9х9 \u003d 81.
Якщо число велике або «величезне», то можна скористатися або таблицею квадратів, яку всі вчили в школі, або калькулятором. наприклад:
122 \u003d 12х12 \u003d 144; 172 \u003d 17х17 \u003d 289; Тисяча триста дев'яносто дві \u003d 139х139 \u003d 19321.
Також для отримання необхідного результату за двома вищенаведеними прикладами, можна помножити ці числа в стовпчик.
Для того щоб отримати квадрат будь-дробу, необхідно:
- Перекласти дріб (якщо дріб має цілу частину або ж вона десяткова) в неправильну дріб. Якщо дріб правильна, то переводити нічого не потрібно.
- Помножити знаменник на знаменник, а чисельник на чисельник дробу.
наприклад:
(3/2) 2 \u003d (3/2) х (3/2) \u003d (3х3) / (2х2) \u003d 9/4; (5/7) 2 \u003d (5/7) х (5/7) \u003d (5х5) / (7х7) \u003d 25/49; (14/17) 2 \u003d (14х14) / (17х17) \u003d 196/289.
У будь-якому з цих варіантів найпростіше скористатися калькулятором. Для цього потрібно:
- Набрати число на клавіатурі
- Натиснути на кнопку зі знаком «множення»
- Натиснути кнопку зі знаком «дорівнює»
Також завжди можна скористатися пошуковими системами в Інтернеті, такими як, наприклад, Google. Для цього необхідно просто ввести відповідний запит в поле пошукача і отримати вже готовий результат.
Наприклад: щоб обчислити квадрата числа 9,17 необхідно набрати в пошуковій системі 9,17 * 9,17, або 9,17 ^ 2, або «9,17 в квадраті». У будь-якому з цих варіантів пошукова система видасть Вам правильний результат - 84,0889.
Тепер Ви знаєте, як обчислити квадрат будь-якого цікавить Вас числа, будь то ціле число або дріб, велике воно чи маленьке!
Сьогодні ми навчимося швидко без калькулятора зводити великі вирази в квадрат. Під великими я маю на увазі числа в межах від десяти до ста. Великі вирази вкрай рідко зустрічаються в справжніх завданнях, а значення менше десяти ви і так вмієте рахувати, бо це звичайна таблиця множення. Матеріал сьогоднішнього уроку буде корисний досить досвідченим учням, тому що початківці учні просто не оцінять швидкість і ефективність цього прийому.
Для початку давайте розберемося взагалі, про що йде мова. Пропоную для прикладу зробити зведення довільного числового виразу, як ми зазвичай це робимо. Скажімо, 34. Зводимо його, помноживши саме на себе стовпчиком:
\\ [((34) ^ (2)) \u003d \\ times \\ frac (34) (\\ frac (34) (+ \\ frac (136) (\\ frac (102) (1156)))) \\]
1156 - це і є квадрат 34.
Проблему даного способу можна описати двома пунктами:
1) він вимагає письмового оформлення;
2) в процесі обчислення дуже легко припуститися помилки.
Сьогодні ми навчимося швидкому множенню без калькулятора, усно і практично без помилок.
Отже, приступимо. Для роботи нам буде потрібно формула квадрата суми і різниці. Давайте запишемо їх:
\\ [(((A + b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) + 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
\\ [(((A-b)) ^ (2)) \u003d ((a) ^ (2)) - 2ab + ((b) ^ (2)) \\]
Що нам це дає? Справа в тому, що будь-яке значення в межах від 10 до 100 представимо у вигляді числа $ a $, яке ділиться на 10, і числа $ b $, яке є залишком від ділення на 10.
Наприклад, 28 можна представити в наступному вигляді:
\\ [\\ Begin (align) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 20 + 8 \\\\ & 30-2 \\\\\\ end (align) \\]
Аналогічно представляємо залишилися приклади:
\\ [\\ Begin (align) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\ & 60-9 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\ & 50-8 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 70 + 7 \\\\ & 80-3 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\ & 30-9 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 20 + 6 \\\\ & 30-4 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 30 + 9 \\\\ & 40-1 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\ & 90-9 \\\\\\ end (align) \\]
Що дає нам таке уявлення? Справа в тому, що при сумі або різниці, ми можемо застосувати вищеописані викладки. Зрозуміло, щоб скоротити обчислення, для кожного з елементів слід вибрати вираз з найменшим другим доданком. Наприклад, з варіантів $ 20 + 8 $ і $ 30-2 $ слід вибрати варіант $ 30-2 $.
Аналогічно вибираємо варіанти і для інших прикладів:
\\ [\\ Begin (align) & ((28) ^ (2)) \\\\ & 30-2 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((51) ^ (2)) \\\\ & 50 + 1 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((42) ^ (2)) \\\\ & 40 + 2 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((77) ^ (2)) \\\\ & 80-3 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((21) ^ (2)) \\\\ & 20 + 1 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((26) ^ (2)) \\\\ & 30-4 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((39) ^ (2)) \\\\ & 40-1 \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((81) ^ (2)) \\\\ & 80 + 1 \\\\\\ end (align) \\]
Чому слід прагнути до зменшення другого доданка при швидкому збільшенні? Вся справа в початкових викладках квадрата суми і різниці. Справа в тому, що доданок $ 2ab $ з плюсом або з мінусом найважче вважається при вирішенні реальних завдань. І якщо множник $ a $, кратний 10, завжди перемножується легко, то ось з множником $ b $, який є числом в межах від одного до десяти, у багатьох учнів регулярно виникають труднощі.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Ось так за три хвилини ми зробили множення восьми прикладів. Це менше 25 секунд на кожен вираз. В реальності після невеликого тренування ви будете вважати ще швидше. На підрахунок будь-якого двозначного виразу у вас буде йти не більше п'яти-шести секунд.
Але і це ще не все. Для тих, кому показаний прийом здається недостатньо швидким і недостатньо крутим, пропоную ще більш швидкий спосіб множення, який однак працює не для всіх завдань, а лише для тих, які на одиницю відрізняються від кратних 10. У нашому уроці таких значень чотири: 51, 21, 81 і 39.
Здавалося б, куди вже швидше, ми і так вважаємо їх буквально в пару рядків. Але, насправді, прискоритися можна, і робиться це в такий спосіб. Записуємо значення, кратне десяти, яке найбільш близьке потрібного. Наприклад, візьмемо 51. Тому для початку зведемо п'ятдесят:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Значень, кратних десяти, піддаються зведенню в квадрат набагато простіше. А тепер до вихідного висловом просто додаємо п'ятдесят і 51. Відповідь вийде той же самий:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
І так з усіма числами, що відрізняються на одиницю.
Якщо значення, яке ми шукаємо, більше, ніж те, яке ми вважаємо, то до отриманого квадрату ми додаємо числа. Якщо ж шукане число менше, як у випадку з 39, то при виконанні дії, з квадрата потрібно відняти значення. Давайте потренуємося без використання калькулятора:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Як бачите, у всіх випадках відповіді виходять однаковими. Більш того, даний прийом можна застосувати до будь-яких суміжних значень. наприклад:
\\ [\\ Begin (align) & ((26) ^ (2)) \u003d 625 + 25 + 26 \u003d 676 \\\\ & 26 \u003d 25 + 1 \\\\\\ end (align) \\]
При цьому нам зовсім не потрібно згадувати викладки квадратів суми і різниці і використовувати калькулятор. Швидкість роботи вище всяких похвал. Тому запам'ятовуйте, тренуйтеся і використовуйте на практиці.
Ключові моменти
За допомогою цього прийому ви зможете легко робити множення будь-яких натуральних чисел в межах від 10 до 100. Причому всі розрахунки виконуються усно, без калькулятора і навіть без паперу!
Для початку запам'ятайте квадрати значень, кратних 10:
\\ [\\ Begin (align) & ((10) ^ (2)) \u003d 100, ((20) ^ (2)) \u003d 400, ((30) ^ (2)) \u003d 900, ..., \\\\ \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((34) ^ (2)) \u003d (((30 + 4)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 2 \\ cdot 30 \\ cdot 4+ ((4) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900 + 240 + 16 \u003d 1156; \\\\\\ end (align) \\]
\\ [\\ Begin (align) & ((27) ^ (2)) \u003d (((30-3)) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) - 2 \\ cdot 30 \\ cdot 3+ ((3) ^ (2)) \u003d \\\\ & \u003d 900-180 + 9 \u003d 729. \\\\\\ end (align) \\]
Як рахувати ще швидше
Але це ще не все! За допомогою даних виразів моментально можна зробити зведення в квадрат чисел, «суміжних» з опорними. Наприклад, ми знаємо 152 (опорне значення), а треба знайти 142 (суміжне число, яке на одиницю менше опорного). Давайте запишемо:
\\ [\\ Begin (align) & ((14) ^ (2)) \u003d ((15) ^ (2)) - 14-15 \u003d \\\\ & \u003d 225-29 \u003d 196. \\\\\\ end (align) \\]
Зверніть увагу: ніякої містики! Квадрати чисел, що відрізняються на 1, дійсно виходять з множення самих на себе опорних чисел, якщо відняти або додати два значення:
\\ [\\ Begin (align) & ((31) ^ (2)) \u003d ((30) ^ (2)) + 30 + 31 \u003d \\\\ & \u003d 900 + 61 \u003d 961. \\\\\\ end (align) \\]
Чому так відбувається? Давайте запишемо формулу квадрата суми (і різниці). Нехай $ n $ - наше опорне значення. Тоді вони вважаються так:
\\ [\\ Begin (align) & (((n-1)) ^ (2)) \u003d (n-1) (n-1) \u003d \\\\ & \u003d (n-1) \\ cdot n- (n-1 ) \u003d \\\\ & \u003d\u003d ((n) ^ (2)) - n- (n-1) \\\\\\ end (align) \\]
- це і є формула.
\\ [\\ Begin (align) & (((n + 1)) ^ (2)) \u003d (n + 1) (n + 1) \u003d \\\\ & \u003d (n + 1) \\ cdot n + (n + 1) \u003d \\\\ & \u003d ((n) ^ (2)) + n + (n + 1) \\\\\\ end (align) \\]
- аналогічна формула для чисел, великих на 1.
Сподіваюся, цей прийом заощадить вам час на всіх відповідальних контрольні й іспити з математики. А у мене на цьому все. До зустрічі!
Формули скороченого множення.
Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми і квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми і куба різниці двох виразів; суми і різниці кубів двох виразів.
Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.
Для спрощення виразів, розкладання многочленів на множники, приведення многочленів до стандартного вигляду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.
Нехай а, b R. Тоді:
1. Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.
(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на друге плюс квадрат другого виразу.
(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
3. різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми.
a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)
4. куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус утроенное твір квадрата першого виразу на друге плюс утроенное твір першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці першого і другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.
a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)
Застосування формул скороченого множення при вирішенні прикладів.
Приклад 1.
обчислити
а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Приклад 2.
обчислити
Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо
Приклад 3.
спростити вираз
(Х - у) 2 + (х + у) 2
Скористаємося формулами квадрата суми і квадрата різниці двох виразів
(Х - у) 2 + (х + у) 2 \u003d х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 \u003d 2х 2 + 2у 2
Формули скороченого множення в одній таблиці:
(A + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(A - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(A + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(A - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (ab) (a 2 + ab + b 2)