Густина електричного поля

Тепер припустимо, що є безперервне розподіл зарядів, що задається об'ємною густиною ρ (r →). Тоді в елементарному обсязі dV міститься заряд

dq \u003d ρ (r →) dV,

а формула (39 ') набуває такого вигляду W \u003d 1 2 ∫ ρ (r →) φ (r →) dV. (16.1)

Деякий зауваження треба зробити для обґрунтування переходу (39 ') → (42). При переході до об'ємного розподілу під інтегралом, взагалі кажучи, слід було писати

ρ (r →) φ '(r →),

розуміючи під φ '(r →) потенціал всіх зарядів, за винятком елементарного заряду ρdV. Подумки уявімо заряд ρdV у вигляді рівномірно зарядженого кульки малого радіусу δ з центром в точці r → і з щільністю заряду ρ (r →). Легко обчислити, що потенціал цього заряду в центрі кульки \u003d 3 2 q δ \u003d 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ \u003d 2πδ2 ⋅ ρ (r →), і отже,

φ '(r →) \u003d φ (r →) - 2πρ (r →) δ2.

Звідси видно, що при δ → 0 φ '→ φ (r →) і заміна φ' (r →) на φ (r →), таким чином, дійсно допустима.

Тепер здійснимо деякий тотожне перетворення виразу (42), замінивши в останньому ρ, відповідно до рівняння Пуассона (13), на -1 4πΔφ і використовуючи формулу векторного аналізу

div (φgradφ) \u003d φΔφ + gradφ) 2;

в результаті отримаємо

W \u003d - 1 8π ∫ div (φgradφ) -gradφ) 2] dV \u003d 1 8π ∮ SφEndS + 1 8π ∫ V E2dV,

де S - поверхня, що обмежує обсяг V. Якщо заряди займають обмежений обсяг в просторі, а в якості поверхні S прийняти поверхню як завгодно великого радіуса R, то при R → ∞ інтеграл по поверхні

так як на великих відстанях φ і En збігаються принаймні не повільніше, ніж 1 R і 1 R2 (якщо, повторимо, заряди займають кінцевий обсяг простору), а поверхня зростає як R2.

Отже, в результаті тотожного перетворення виразу (42) отримаємо формулу W \u003d ∫ E2 8πdV (16.2)

у вигляді інтеграла по всьому простору, зайнятому полем, яка в порівнянні з вихідною формулою (39) має не тільки новий вид, але, по суті, і новий сенс, визначаючи щільність енергії електричного поля в просторі W \u003d E2 8π. (16.3)

У той час як (39) описує тільки енергію взаємодії різних зарядів (i ≠ j), формула (42) і наступна з неї формула (43) включають також і власну енергію кожного з цих зарядів. У термінах поля можна сказати, що формули (42), (43) описують повну енергію електричного поля, тоді як (39) - тільки частина цієї енергії.

Подання про енергію електричного поля, розподіленому в просторі з об'ємною щільністю (44) тут отримано на основі строгих міркувань. А тепер отримаємо вираз (44) з розгляду конкретного прикладу. Зрозуміло, що ніякі приклади докази справедливості (44) для загального випадку дати не можуть. Зате конкретні приклади можуть дати наочне уявлення про те, як співвідношення (44) «працює».

Почнемо з обговорення допоміжного питання про сили, що діють на поверхневі заряди з боку електричного поля. Більш конкретно - сили, що діють на заряди поверхні провідника.

Ми знаємо, що на точковий заряд q з боку електричного поля E → діє сила

де E → - напруженість поля, що збуджується усіма зарядами системи, крім самого заряду q. Коли ж ми звертаємося до сил, що діють на поверхневі заряди, виникають труднощі, пов'язана з тим, що поле E → по різні боки поверхні має різні значення, а на самій поверхні не визначено. Як ми вже обговорювали, всередині провідника поле тотожно дорівнює нулю, а з зовнішнього боку поверхні має тільки нормальну компоненту, пов'язану з локальної поверхневою щільністю σ (див. Рис. 34). Зрозуміло, що уявлення про розрив поля обумовлено неявним відмовою від розгляду структури тонкого шару, де розташовані заряди, і припустимо, що цей шар являє собою безструктурну математичну поверхню. Така ідеалізація вельми продуктивна, дозволяючи нам визначити поля поза і всередині провідника, користуючись простими засобами. Визначення структури поверхневого шару для металевих провідників проводиться з урахуванням функції розподілу Фермі-Дірака для електронів провідності і поки для нас недоступне. Але той факт, що поверхня провідника, де зосереджені заряди, насправді володіє деякою кінцевої товщиною δ, хоча і дуже малою, де заряди розподілені за обсягом, дозволяє легко отримати вираз, що зв'язує сили, що діють на поверхню провідника, з напруженістю поля поблизу цієї поверхні.

Отже, розглянемо виділений на рис. 34 ділянку поверхні dS провідника. Маючи на увазі, що товщина шару дуже мала, кривизною поверхні можна знехтувати і вважати поверхню провідника і розглянутий шар плоскими.

За зовнішньої нормалі до поверхні провідника проведемо вісь x і нехай шар, де розподілені заряди, займає область (рис. 35). Можна вважати, що поле E → всередині і поблизу шару не залежить від координат y, z і має тільки x-компоненту Ex (x), а об'ємна щільність заряду характеризується функцією ρ (x). Лівіше цього шару електричне поле дорівнює нулю (поле всередині провідника). Отже, Ex (x) всередині шару задовольняє рівняння

dEx dx \u003d 4πρ (x), (*)

граничній умові E (0) \u003d 0 і має рішення

Ex (x) \u003d 4π ∫ 0xρ (ξ) dξ.

Тепер неважко знайти силу, що діє на шар,

f → \u003d fxe → x, fx \u003d ∫ 0δρ (x) E x (x) dx,

що припадає на одиницю поверхні провідника. Підставивши сюди замість ρ (x) вираз з (*), отримуємо

fx \u003d 1 4π ∫ 0δE x (x) dEx dx dx \u003d 1 8π ∫ 0δ d dx2dx,

де E0 \u003d Ex (δ) \u003d 4π ∫ 0δρ (x) dx \u003d 4πσ - напруженість поля на зовнішній поверхні провідника.

Таким чином, сила, що діє на поверхню провідника, визначається сумарним зарядом σ \u003d ∫ 0δρ (x) dx, припадає на одиницю площі поверхні, і не залежить від розподілу ρ (x). Звернемо увагу, що при будь-якому знаку заряду σ, тобто при будь-якому напрямку поля E → 0, сила f → спрямована уздовж зовнішньої нормалі, тобто f → \u003d E02 8π n →. (16.4)

Зауважимо, що результат (45) справедливий для будь-якої зарядженої поверхні, якщо тільки по одну сторону від поверхні напруженість поля дорівнює нулю.

Тепер звернемося до прикладу, покликаному служити ілюстрацією до вираження

W \u003d 1 8π ∫ E2dV.

Приклад 1. Нехай сферична поверхня радіуса R рівномірно заряджена з сумарним зарядом q. Розглянувши процес розширення сфери до радіуса R + dR знайти вираз для щільності енергії електричного поля.

в початковому состоянііEr \u003d q r2 пріr\u003e R 0пріr< R

в кінцевому состоянііEr \u003d q r2 пріr\u003e R + dR 0пріr< R + dR

Поля зображені на малюнку 36.

З боку електричного поля на сферу діють сили з щільністю

fr \u003d 1 8πE02, E 0 \u003d q R2.

Ці сили здійснюють роботу

δA \u003d fr ⋅ 4πR2dR \u003d 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR. (а)

У процесі розширення сфери електричне поле в просторі r\u003e R + dR залишилося без зміни, а в сферичному шарі (R, R + dR) зникло повністю, тобто енергія електричного поля змінилася на величину

dW \u003d -W ⋅ 4πR2dR, (б)

де W - шукана об'ємна щільність енергії.

Відповідно до закону збереження енергії

тобто робота δA електричних сил здійснена за рахунок убутку енергії електричного поля. Підставляючи сюди вирази (а) і (б), після скорочення на обсяг шару 4πR2dR отримуємо W \u003d 1 8πE02 - то, що ми хотіли побачити.

Зауваження. Цією сферою можна скористатися для розв'язання оберненої задачі: вважаючи, що щільність енергії W нам відома, знайти поверхневу силу fr, віднесену до одиниці поверхні зарядженої сфери з боку електричного поля. Рішення очевидно.

Як другий приклад обчислимо енергію поля рівномірно зарядженої кулі радіуса a

Er \u003d q r2 при r ≥ R q a3 r при r< a

W \u003d 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr \u003d 3 5 q2 a.

Скористаємося отриманим результатом для введення поняття «класичний радіус частинки».

За теорією відносності поле з енергією W має масу m \u003d W / c2. Отже, будь-яка частка з масою m і зарядом q не може мати розмір, менший

тому маса частинки не може бути меншою за масу її поля (при виписуванні цієї формули константа 3/5 не береться до уваги).

Наприклад, для електрона

re \u003d e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10-13см.

Нехай два заряду q 1 і q 2 знаходяться на відстані r один від одного. Кожен із зарядів, перебуваючи в поле іншого заряду, володіє потенційною енергією П. Використовуючи П \u003d qφ, визначимо

П 1 \u003d W 1 \u003d q 1 φ 12 П 2 \u003d W 2 \u003d q 2 φ 21

(Φ 12 і φ 21 - відповідно потенціали поля заряду q 2 в точці знаходження заряду q 1 і заряду q 1 в точці знаходження заряду q 2).

Згідно з визначенням потенціалу точкового заряду

Отже.

або

Таким чином,

Енергія електростатичного поля системи точкових зарядів дорівнює

(12.59)

(Φ і - потенціал поля, створюваного n -1 зарядами (за винятком q i) в точці, в якій знаходиться заряд q i).

Енергія відокремленого зарядженого провідника

Самотній незаряджений провідник можна зарядити до потенціалу φ, багаторазово переносячи порції заряду dq з нескінченності на провідник. Елементарна робота, яка відбувається проти сил поля, в цьому випадку дорівнює

Перенесення заряду dq з нескінченності на провідник змінює його потенціал на

(С - електроємність провідника).

отже,

тобто при перенесенні заряду dq з нескінченності на провідник збільшуємо потенційну енергію поля на

dП \u003d dW \u003d δA \u003d Cφdφ

Проинтегрировав цей вислів, знаходимо потенційну енергію електростатичного поля зарядженого провідника при збільшенні його потенціалу від 0 до φ:

(12.60)

застосовуючи співвідношення

, Одержуємо наступні вирази для потенційної енергії:

(12.61)

(Q - заряд провідника).

Енергія зарядженого конденсатора

Якщо є система двох заряджених провідників (конденсатор), то повна енергія системи дорівнює сумі власних потенційних енергій провідників і енергії їх взаємодії:

(12.62)

(Q - заряд конденсатора, З - його електроємність.

З урахуванням того, що Δφ \u003d φ 1 -φ 2 \u003d U - різниця потенціалів (напруга) між обкладками), отримаємо формулу

(12.63)

Формули справедливі при будь-якій формі обкладок конденсатора.

Фізична величину, чисельно рівну відношенню потенційної енергії поля, укладеної в елементі обсягу, до цього обсягу, називаютьоб'ємної щільністю енергії.

Для однорідного поля об'ємна щільність енергії

(12.64)

Для плоского конденсатора, обсяг якого V \u003d Sd, де S - площа пластини, d - відстань між пластинами,

але

,

тоді

(12.65)

(12.66)

(Е - напруженість електростатичного поля в середовищі з діелектричної проникністю ε, D \u003d ε ε 0 E - електричне зміщення поля).

Отже, об'ємна щільність енергії однорідного електростатичного поля визначається напруженістю Е або зміщенням D.

Слід зазначити, що вираз

і

справедливі тільки для ізотропного діелектрика, для якого виконується соотношеніеp \u003d ε 0 χE.

вираз

відповідає теорії поля - теорії близкодействия, згідно з якою носієм енергії є поле.

Сегнетоелектрики. Їх особливості. П'єзоефект.

сегнетоелектрики, кристалічні діелектрики, що володіють в певному інтервалі температур спонтанної (мимовільної) поляризацією, яка істотно змінюється під впливом зовнішніх впливів.

п'єзоелектричний ефект - ефект виникнення поляризації діелектрика під дією механічної напруги

Провідники в електричному полі. Розподіл зарядів у провіднику.

Ε \u003d Евнешн - Евнутр \u003d 0

Внесемо пластину провідника в електричне поле, назвемо це поле зовнішнім .

В результаті на лівій поверхні буде негативний заряд, а на правій поверхні буде заряд позитивний. Між цими зарядами виникне своє електричне поле, яке назвемо внутрішнім. Всередині пластини одночасно будуть два електричних поля- зовнішнє і внутрішнє, протилежні за напрямком.

Електроємність провідників. Конденсатор. З'єднання конденсаторів.

Електроємність - фізична величина чисельно рівна величині заряду, який необхідно повідомити даному провіднику для збільшення його потенціалу на одиницю.

конденсатор - пристрій для накопичення заряду і енергії електричного поля.

паралельно з'єднаних

послідовно з'єднаних

Енергія заряджених провідника, конденсатора. Енергія електричного поля. Об'ємна щільність енергії електричного поля.

Енергія зарядженого провідника дорівнює тій роботі, яку необхідно зробити, щоб зарядити цей провідник:

Енергія зарядженого конденсатора

Енергія електростатичного поля

Густина енергії електростатичного поля

16. Сила і щільність електричного поля. ЕРС. Напруга.

Сила струму - скалярна фізична величина, що визначається відношенням заряду Δq, що проходить через поперечний переріз провідника за певний проміжок часу Δt, до цього проміжку часу.

Щільність струму j - це векторна фізична величина, модуль якої визначається відношенням сили струму I в провіднику до площі S поперечного перерізу провідника.

Електрорушійна сила (ЕРС) - фізична величина, що характеризує роботу сторонніх (непотенційного) сил в джерелах постійного або змінного струму. У замкнутому провідному контурі ЕРС дорівнює роботі цих сил по переміщенню одиничного позитивного заряду уздовж контуру.

Електрична напруга - фізична величина, значення якої дорівнює відношенню роботи електричного поля, що здійснюється при перенесенні пробного електричного заряду з точки A в точку B, до величини пробного заряду.

17. Закон Ома для однорідної ділянки кола. Закон Ома для неоднорідної ділянки в інтегральної формі. Закон Ома для повного кола.

сила струму I в однорідному металевому провіднику прямо пропорційна напрузі U на кінцях цього провідника і обернено пропорційна опору R цього провідника

закон Ома для неоднорідної ділянки кола в інтегральній формі IR \u003d (φ1 - φ2) + E12

Закон Ома для повного кола :

18. Диференціальна форма закону Ома.

j-щільність струму, σ - питома електропровідність речовини, з якого зроблений провідник Eст-поле сторонніх сил

19. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній і диференціальній формах.

в диференціальної формі:

щільність теплової потужності -

в інтегральної формі:

20. Нелінійні елементи. Методи розрахунку з нелінійними елементами. Правило Кірхгофа.

нелінійними називаються електричні ланцюги, У яких реакції і вплив пов'язані нелінійно.

Метод простої ітерації

1.Ісходние нелінійне рівняння електричного кола, де -іскомая змінна, представляється у вигляді.

2. Проводиться розрахунок за алгоритмом де

Крок ітерації. лінійними залежностями

Тут - задана похибка

Перше правило Кірхгофа:

алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю

друге правило Кірхгофа:

в будь-якому простому замкненому контурі, довільно вибирати в розгалуженої електричного кола, алгебраїчна сума добутків сил струмів на опору відповідних ділянок дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, наявних в контурі

21. Струм у вакуумі. Емісійні явища і їх технічні застосування.

Вакуум-це такий стан газу в посудині, при якому молекули пролітають від однієї стінки судини до іншої, ні разу не випробувавши зіткнень один з одним.

Вакуум-ізолятор, струм в ньому може виникнути тільки за рахунок штучного введення заряджених частинок, для цього використовують емісію (випускання) електронів речовинами. У вакуумних лампах з нагріваються катодом відбувається термоелектронна емісія, а в фотодіоді - фотоелектронна.

термоелектронна емісія - це випускання електронів нагрітими металами. Концентрація вільних електронів в металах досить висока, тому навіть при середніх температурах внаслідок розподілу електронів за швидкостями (по енергіях) деякі електрони мають енергію, достатню для подолання потенційного бар'єру на кордоні металу. З підвищенням температури число електронів, кінетична енергія теплового руху яких більше роботи виходу, зростає, і явище термоелектронної емісії стає помітним.

Явище термоелектронної емісії використовується в приладах, в яких необхідно отримати потік електронів у вакуумі, наприклад в електронних лампах, рентгенівських трубках, електронних мікроскопах і т. Д. Електронні лампи широко застосовуються в електро- і радіотехніці, автоматики і телемеханіки для випрямлення змінних струмів, посилення електричних сигналів і змінних струмів, генерування електромагнітних коливань в т. д. в залежності від призначення в лампах використовуються додаткові керуючі електроди.

фотоелектронна емісія - це емісія електронів з металу під дією світла, а також короткохвильового електромагнітного випромінювання (наприклад, рентгенівського). Основні закономірності цього явища будуть розібрані під час розгляду фотоефекту.

Вторинна електронна емісія - це випускання електронів поверхнею металів, напівпровідників або діелектриків при бомбардуванні їх пучком електронів. Вторинний електронний потік складається з електронів, відбитих поверхнею (пружно і непружно відображені електрони), і «істинно» вторинних електронів - електронів, вибитих з металу, напівпровідника або діелектрика первинними електронами.

Явище вторинної електронної емісії використовується в фотоелектронних помножувачах.

автоелектронна емісія - це емісія електронів з поверхні металів під дією сильного зовнішнього електричного поля. Ці явища можна спостерігати в відкачаної трубці.

22. Струм в газах. Самостійна і не самостійна провідність газів. ВАХ струму в газах. Види розрядів і їх технічне застосування.

У звичайних умовах гази є діелектриками, тому що складаються з нейтральних атомів і молекул, і в них немає достатньої кількості вільних зарядів. Щоб зробити газ провідним, потрібно тим або іншим способом внести в нього або створити в ньому вільні носії заряду - заряджені частинки. При цьому можливі два випадки: або ці заряджені частинки створюються дією якого-небудь зовнішнього фактора або вводяться в газ ззовні, або вони створюються в газі дією самого електричного поля, існуючого між електродами. У першому випадку провідність газу називається несамостійною, у другому - самостійною.

Вольтамперная характеристика (ВАХ ) - графік залежності струму через двухполюсник від напруги на цьому двухполюсника. Вольтамперная характеристика описує поведінку двухполюсника на постійному струмі.

тліючий розряд спостерігається при зниженому тиску газу. Використовують для катодного розпилення металів.

іскровий розряд , Часто спостерігається в природі, - блискавка. Принцип дії іскрового вольтметра - приладу для вимірювання дуже високих напруг.

дугового розряд можна спостерігати за таких умов: якщо після запалювання іскрового розряду поступово зменшувати опір ланцюга, то сила струму в іскрі буде збільшуватися. Електрична дуга є потужним джерелом світла і широко застосовується в проекційних, прожекторних та інших освітлювальних установках. Внаслідок високої температури дуга широко застосовується для зварювання та різання металів. Високу температуру дуги використовують також при влаштуванні дугових електричних печей, що грають важливу роль в сучасній електрометалургії.

коронний розряд спостерігається при порівняно високому тиску газу (наприклад, при атмосферному тиску) в різко неоднорідному електричному полі. Використовується в техніці для пристрою електрофільтрів, призначених для очищення промислових газів від твердих і рідких домішок.

23. Магнітне поле. Магнітна індукція. Магнітна взаємодія струмів.

Магнітне поле - силове поле, що діє на рухомі електричні заряди і на тіла, що володіють магнітним моментом, незалежно від стану їх руху, магнітна складова електромагнітного поля.

магнітна індукція - векторна величина, що є силовою характеристикою магнітного поля (його дії на заряджені частинки) в даній точці простору. Визначає, з якою силою магнітне поле діє на заряд, що рухається зі швидкістю.

Будемо заряджати плоский конденсатор, переносячи малі порції заряду dq з одного обкладання на іншу (рис. 4.12.) Для того щоб перенести заряд dq між обкладинками з різницею потенціалів (j 1 - j 2) необхідно зробити роботу

dA \u003d (J 1 - j 2) dq (4.11)

З огляду на, що, цю роботу можна записати ще й так

Для того щоб спочатку незарядженому конденсатору повідомити заряд Q, Необхідно зробити роботу

Ця робота дорівнює енергії зарядженого конденсатора

(4.12)

Тут - напруга на конденсаторі, однакову різниці потенціалів на його обкладках.

Продовжимо перетворення рівняння (4.12).

Згадаймо, що ємність плоского конденсатора

а напруга пов'язано з напруженістю електричного поля

U = E ∙ d

Скориставшись цими співвідношеннями, запишемо енергію зарядженого конденсатора в такому вигляді

Ці два вирази енергії конденсатора

призводять до наступного важливого питання: де в конденсаторі розташовується енергія? Де вона «локалізована»?

Якщо вона пов'язана з електричними зарядами, то вона знаходитися на обкладинках конденсатора. Якщо ж це енергія електричного поля, то вона займає простір між обкладинками, обсяг якого дорівнює обсягу конденсатора V = S ∙ d.

Для відповіді на це питання потрібно було б заряд з обкладок прибрати, а поле при цьому залишити. Тоді можна було б подивитися: залишилася енергія - значить, вона пов'язана з полем, зникла - значить, вона розташовувалася разом із зарядом на обкладинках.

Але проблема-то в тому, що при видаленні зарядів зникає, звичайно, і їх електростатичне поле. Тому питання про локалізацію енергії в рамках електростатикине може бути вирішене.

У електродинаміки змінні електричні та магнітні поля, Як відомо, можуть існувати і без електричних зарядів. Причому такі поля мають енергію, що є прямим експериментальним доказом того, що ця енергія пов'язана з електричними полями і локалізована в обсязі, зайнятому полем. Тепер стає зрозуміліше останній вираз енергії зарядженого конденсатора:

Енергія конденсатора пов'язана з його електричним полем і тому пропорційна обсягу конденсатора ( V), Тобто об'єму поля.

Ставлення є середнє значення енергії, що припадає на одиничний обсяг поля.

Ця характеристика енергетичної насиченим поля отримала назву «Об'ємна щільність енергії».

Зазвичай ця характеристика носить точковий, локальний характер. Навколо заданої точки вибирають елементарний об'єм dV і обчислюють енергетичну щільність, ділячи енергію цієї області dW на її обсяг

Об'ємна щільність енергії в заданій точці електричного поля пропорційна квадрату напруженості поля в цій точці. Вимірюється об'ємна щільність енергії, звичайно, в Дж / м 3:

Знаючи, як змінюється щільність енергії в просторі, можна обчислити енергію, зосереджену в обсязі V, Електричного поля:

Проводить куля радіусом R несе заряд Q. Яка енергія електричного поля цієї кулі?

Поле всередині зарядженої кулі відсутній, а поза кулі воно збігається з полем точкового заряду:

, r ³ R

Об'ємна щільність енергії такого поля

Обчислимо енергію, зосереджену в сферичному шарі товщиною dr (Рис. 4.13.)