Входен импеданс на контура. Урок: Хармоници с паралелен контур

Приложение на серийна осцилаторна верига

Енергийни отношения в последователен осцилаторен кръг при резонанс

Влиянието на вътрешното съпротивление на източника на сигнала върху честотната характеристика на веригата

Серийна осцилаторна верига

Резонансни явления в електрически вериги

ПОСЕРИЙНА ОСЦИЛАТОРНА ВЕРИГА

ЛЕКЦИЯ 15

План на лекцията:

Резонансът на електрическа верига се нарича явлението на изчезването на нейното реактивно съпротивление. Честотата, с която се случва този факт, се нарича резонансна. Резонанс може да възникне само във вериги с поне един реактивен елемент различни видовепроводимост.

Резонансите могат да възникнат както в отделни клонове на електрическа верига, така и във вериги. Следователно във вериги с няколко реактивни елемента от различен тип може да има няколко резонансни честоти.

В радиотехниката резонансните явления в електрическите вериги се използват широко за изолиране на честотна лента и усилване на сигнали.

Верига с серийна връзкаелементите се наричат ​​последователна осцилаторна верига. Тъй като реалните индуктивности и капацитети имат загуби, това се взема предвид във веригата от малко еквивалентно съпротивление на загуби, свързано последователно към веригата (фиг. 15.1).

Общото съпротивление на тази верига ще бъде равно на

където - модул и - активни и реактивни компоненти, - импедансна фаза.

Ориз. 15.1. Серийна осцилаторна верига

При резонансната честота реактивният компонент на импеданса изчезва, тоест условието

От тук получаваме формулата за изчисляване на резонансната честота чрез параметрите на серийната осцилаторна верига

При честоти, по-малки от резонансния pe активно съпротивлениеверигата е отрицателна, тоест има капацитивен характер, тъй като съпротивлението на кондензатора повече съпротиваиндуктивност и е доминираща. При честоти, по-високи от резонансната, реактивното съпротивление на последователната осцилаторна верига е положително и има индуктивен характер, тъй като в този случай съпротивлението на индуктивността става по-голямо от съпротивлението на капацитета.

Преобразуваме израз (15.1), като вземем предвид въведеното понятие за резонансната честота:

Величина, която има измерението на съпротивлението, се нарича вълна или характеристичен импеданс на веригата и

Съотношението на характеристичното съпротивление към съпротивлението на загубите се нарича Q-фактор на веригата и се обозначава със символ, а обратната му стойност се нарича затихване:

Контурите с ниско качество имат Q фактор по-малък от 50. За контури със средно качество, съотношението , за контури с добро качество - и за висококачествени контури -.

Изразът в скоби във формула (15.4) означава гръцка букваи се нарича относителна разстройка на контура

По своето значение относителната разстройка характеризира в относителни единици отклонението на честотата на източника на сигнала от резонансната честота на веригата.

Като се вземат предвид въведените обозначения, формулата за съпротивление (15.4) може да бъде написана в по-компактна форма:

Токът във веригата може да се намери според закона на Ом:

където е началната фаза източник на emf, - фазата на импеданса в различна форма на запис.

При резонансната честота токът е максимален и е равен на

Нормализирана амплитудна честота (AFC)

и фазово-честотни характеристики (PFC)

ток са показани на фиг. 15.2.

При резонансната честота относителната разстройка (15.7) е нула. Ето защо

Следователно при резонансната честота амплитудите на напреженията в индуктивността и капацитета са равни една на друга и са пъти по-големи от амплитудата на emf:

Следователно резонансът в последователна осцилаторна верига се нарича резонанс на напрежението. Векторната диаграма на напреженията за веригата при резонансната честота е показана на фиг. 15.3.

Честотният диапазон, в границите на който токът намалява в пъти спрямо максималната си стойност, се нарича честотна лента. На границите на лентата на пропускане, съгласно формула (15.9), условието е изпълнено

Ориз. 15.2. Амплитудно-честотни (а) и фазово-честотни (б) характеристики на тока в сериен осцилатор

Разреждането на кондензатора не може да се случи моментално, т.к това се предотвратява от ЕМП на самоиндукция, възникваща в индуктивния елемент.

В идеална верига, чието активно съпротивление е равно на нула , и следователно няма загуби, енергията, съхранявана в електрическото поле, се превръща напълно в енергия магнитно полеиндуктивност.

След това има обратен трансфер на енергия. След това процесите се повтарят. По този начин електрическите трептения без затихване се появяват под формата на косинусова вълна. Графики и са представени на фигура 1, б.

Честотата, с която енергията се колебае между реактивните елементи, когато източникът е изключен, се нарича честота на свободните (естествени) непрекъснати трептения на веригата. Обозначение: или.

Защото в идеална верига, величината на напреженията върху Ли ° Стогава са еднакви

, ,

или , .

В режим на свободно трептене токът протича през елементите на веригата. Нарича се съпротивлението, което елементите на веригата имат спрямо тока с естествена честота вълна (Характеристика ).

Това съпротивление се обозначава и дефинира, както следва:

, или ... Защото , тогава

(Ом).

От последния израз следва, че при честотата на собствените трептения вълновият импеданс е равен на един от реактивни съпротивления(фиг. 2).

На практика реален СС винаги има загуба на активно съпротивление, неравна на 0, което води до затихване на свободните трептения (фиг. 3).

Ориз. 3

За характеризиране на последното свойство се въвежда понятието качествен фактор контур (качество на контура).

Коефициентът на качество е енергиен параметър и показва колко пъти реактивна мощност(поради което възникват свободни флуктуации) е по-активен:

Отбележи, че това определениесе отнася не само до осцилаторни вериги, но и до отделни части, например индуктори, кондензатори.

Колкото по-висока е реактивната мощност, толкова по-висок е коефициентът на качество и толкова по-бавно е затихването на трептенията и обратно.

Q-факторът на QC, използван в комуникационните технологии, обикновено е десетки до стотици, а в микровълновата технология и специалните устройства Q-факторът може да достигне хиляда или повече.

Общоприето е, че ако: – KK нисък качествен фактор ,

– QC средно качество ,

- QC висок качествен фактор .

Практически прилагайте LCверига с Q фактор над 400 е трудна поради ниския Q фактор на индукторите (те са тези, които определят качеството на веригата).

Изход: Разглежданите параметри, а за осцилаторните вериги са едни от основните, т.к те зависят от първичните параметри и се наричат параметри на вторичната верига .

2. Възможни режими на стационарни хармонични трептения в паралелна осцилаторна верига

Паралелна осцилаторна верига наречена верига, съставена от елементи на индуктивност, капацитет и съпротивление, свързани паралелно. Схемата е показана на фигура 4.

Нека намерим комплексната проводимост на веригата:

където: е активният компонент на проводимостта,

Е реактивният компонент на проводимостта.

От формулата следва, че в зависимост от съотношението и в паралелна верига са възможни 3 режима:

1), т.е. и .

Нека построим векторна диаграма за този случай, като поставим началната фаза на напрежението на веригата равна на 0 (фиг. 5)

Както се вижда от векторната диаграма, токът във веригата изпреварва напрежението с определен ъгъл, което е знак за капацитивен режим .

Изход капацитивен вибрационен режими токът на контура води напрежението.

След като построихме векторна диаграма по подобен начин (фиг. 6), ще се уверим, че токът във веригата сега ще изостава от напрежението с определен ъгъл, което е знак индуктивен режим .

Изход: Когато е в паралелна верига, режим на индуктивно трептене,а токът в контура изостава от напрежението.

В този случай проводимостта на веригата е равна на активната проводимост Г . Контурът е активен, т.е. токът е във фаза с напрежението на веригата и числено равно на токачрез проводимост (фиг. 7).

Този режим се нарича резонансни токовеи е от голямо практическо значение.

Анализът показва, че режимът на трептене в паралелна верига се определя от съотношението на реактивните проводимости и.

Всеки от разглежданите режими може да бъде получен по няколко начина: чрез промяна на честотата, индуктивността и капацитета на генератора.

Изход:Стойностите на режимите на GK във веригата ви позволяват да анализирате качествено процесите, протичащи във веригите, като правите съответните инженерни изчисления.

3 ... Резонанс на токове

1) Резонансна честота

По-горе беше показано, че резонансът на токове възниква при честота, при която:

където .

Тези. резонансната честота е равна на собствената честота на веригата. Промяната се постига чрез промяна Лили ° С(по-често).

2)Характерен импеданс на веригата

На резонансната честота, откъдето (Ом), т.е. характеристичният импеданс на веригата е равен на импеданса на един от реактивните елементи.

Обикновено характерният импеданс на персоналните компютри, използвани в електрически вериги, е от порядъка на няколкостотин ома (100 500).

3)Коефициент на качество на контура

А-приорат , където, следователно .

Защото при резонансната честота, числените стойности на проводимостта и са еднакви, тогава коефициентът на качество може да се изчисли по следната формула:

, тогава. .

4) Резонансно съпротивление на веригата, токове в клоните при резонанс

от тогава в резонанс , т.е. съпротивлението на веригата при резонанс е чисто активно и най-високо по стойност.

Всъщност импедансът на контура е равен на:

в, и.

Нека определим съотношението между тока на източника и тока през реактивния елемент:

, т.е. ...

По същия начин човек може да покаже това.

Изход: При резонанс токовете в клоните на паралелния CC са максимални и в Введнъж по-актуалниизточник. Това обяснява името на режима - резонансни токове .

При резонансната честота главният източник на тока е затворен през проводящия елемент на веригата. Токовете в реактивните елементи на веригата взаимно се компенсират по отношение на външната верига на веригата или по подобен начин при резонансната честота кръговият ток се затваря през реактивните елементи на веригата. Освен това е най-големият по размер. При резонанс напрежението на веригата е максимално (). На тази основа паралелният CC се настройва на резонансната честота.

4. Сложни предавателни функции на паралелната верига

Изразите за честотните характеристики на паралелната осцилаторна верига по отношение на напрежението могат да бъдат получени от следната сложна трансферна функция:

.

Преобразуваме знаменателя:

тогава. .

Тук честотно-зависимият фактор е Наречен относителна разстройка ... Работата се нарича обобщено отстройване на контура .

Имайки това предвид: .

От изражението получаваме

Честотна характеристика : ,

и PFC: .

Честотната характеристика се нарича резонансна характеристикауспоредно на осцилаторния кръг. Тази характеристика има максимална стойност при резонансна честота ( ), .

Резонансната характеристика на веригата обикновено се нормализира спрямо нейната максимална стойност. Нормализиран резонанс характеристика: т.е. съотношението на амплитудата на напрежението при дадена честота към амплитудата на напрежението при резонанс:

.

Нормализираната резонансна характеристика не е нищо друго освен честотната характеристика на веригата спрямо тока в активния съпротивителен елемент.

.

Нека намерим приблизителен израз за честотните характеристики на осцилаторната верига с еквивалентната верига, показана на фигура 8.

Тя се различава от еквивалентната схема на паралелна осцилаторна верига по това, че в нея загубите в индуктивността на реалната верига се отчитат от съпротивлението, свързано последователно с индуктивността. За въпросния контур:

.

В честотния диапазон, в който реактивният компонент на съпротивлението на индуктора леко надвишава активния компонент на неговото съпротивление, членът в числителя на последния израз може да се пренебрегне.

Тогава приблизително:

.

Получената приблизителна формула не се различава от строгата формула за сложната трансферна функция на паралелна верига със същите стойности на индуктивността Ли капацитет Си с активна проводимост:

.

Заключение

Разгледаните режими на стационарни хармонични трептения в паралелна осцилаторна верига дават възможност да се даде физическо обяснение на честотната характеристика и фазовата характеристика. Честотните характеристики на паралелната осцилаторна верига остават приблизително правилни и за други еквивалентни схеми за реални осцилаторни вериги, ако човек се интересува от поведението на характеристиките в относително тясна честотна лента.

Литература, използвана за подготовка на лекцията:Белецки А.Ф. Линейна теория електрически вериги... - М .: Радио и комуникация, 1986. (Учебник); В. П. Бакалов и други Теория на електрическите вериги. - М .: Радио и комуникация, 1998. (Учебник); Качанов Н.С. и други линейни радиотехнически устройства. М.: Военно изд., 1974. (Учебник); В.П. Попов Основи на теорията на веригата - М .: висше училище, 2000. (Учебник)

14 Серийна осцилаторна верига

Както знаете, най-простите резонансни (или осцилаторни) вериги са серийни и паралелни осцилаторни вериги. Да разгледаме верига, състояща се от последователно свързани индуктор и кондензатор (фиг. 1). Когато такава верига е изложена на променливо (в най-простия случай хармонично) напрежение, през бобината и кондензатора ще тече променлив ток, чиято стойност (амплитуда) може да се изчисли според закона на Ом: I = U / | X Σ | , където | X Σ | -модул на сумата от реактивните съпротивления на последователно свързани бобини и кондензатори. На фиг. 2 са показани зависимостите на реактивните съпротивления на бобината XL и кондензатора XC от ъгловата честота ω, както и графика на зависимостта от честотата ω на алгебричната им сума X Σ Последната графика всъщност показва зависимостта от честотата на общото реактивно съпротивление на веригата, показана на фиг. 1. От тази графика се вижда, че при определена честота ω = ω p, при която реактивните съпротивления на бобината и кондензатора са равни по големина, общото съпротивление на веригата изчезва. При тази честота във веригата се наблюдава максимален ток, който е ограничен само от омичните загуби в индуктора (т.е. от съпротивлението на проводника на намотката) и от вътрешното съпротивление на източника на ток (генератора). Честотата, при която се наблюдава разглежданото явление, която във физиката се нарича резонанс, се нарича резонансна честота или собствена честота на трептенията на веригата, а самата верига, показана на фиг. 1 обикновено се нарича последователна осцилаторна верига. Също от фиг. 2 се вижда, че при честоти под резонансната, реактивното съпротивление на последователната трептяща верига има капацитивен характер, а при по-високи честоти е индуктивно. Що се отнася до самата резонансна честота, тя може да се изчисли с помощта на добре познатата формула на Томсън: ω p = 1 / √ (LC).

Ориз. 1 Серийна осцилаторна верига

Ориз. 2 Зависимости на реактивното съпротивление на бобината X L и кондензатора X C от ъгловата честота ω

На фиг. 3 е показана еквивалентна схема на последователна резонансна верига, като се вземат предвид омичните загуби r, свързана към идеален генератор на хармонично напрежение с амплитуда U. Модулът на импеданса (импеданса) на такава верига се определя, както следва: | z | = √ (r 2 + | X Σ | 2), където | X Σ | = ωL-1 / ωC. Очевидно при резонансната честота, когато стойностите на реактивните съпротивления на бобината X L = jωL и кондензатора X C = -j / ωС са равни по големина, стойността | X Σ | се превръща в нула (следователно съпротивлението на веригата е чисто активно), а токът във веригата се определя от съотношението на амплитудата на напрежението на генератора към съпротивлението на омичните загуби: I = U / r. В този случай едно и също напрежение U L = U C = I | X L | = I | X C | пада върху намотката и върху кондензатора, в който се съхранява реактивна електрическа енергия. При всяка друга честота, различна от резонансната, напреженията на бобината и кондензатора не са еднакви - те се определят от амплитудата на тока във веригата и стойностите на модулите на реактивното съпротивление | X L | и | X C | Следователно, резонансът в последователна осцилаторна верига обикновено се нарича резонанс на напрежението. Като се вземе предвид горният запис за импеданса на веригата, може да се цитира често срещана дефиниция на резонансната честота: резонансната честота на веригата е честота, при която съпротивлението на веригата има чисто активен (резистивен) характер.

Ориз. 3 Еквивалентна схема на последователна резонансна верига

Един от най-важните параметри на една трептяща верига (с изключение, разбира се, резонансната честота) са нейният характерен импеданс ρ и качествен фактор Q. Характерният импеданс на веригата ρ е големината на модула на реактивното съпротивление на капацитета и индуктивност на веригата при резонансна честота: ρ = | XL | = | X C | при ω = ω p. Като цяло, характеристичният импеданс може да се изчисли, както следва: ρ = √ (LC). Характеристичното съпротивление ρ е количествена мярка за оценка на енергията, съхранявана от реактивните елементи на веригата - намотка (енергия на магнитно поле) WL = (LI 2) / 2 и кондензатор (енергия на електрическо поле) WC = (CU 2) / 2. Съотношението на енергията, съхранявана от реактивните елементи на веригата, към енергията на омичните (резистивни) загуби за определен период обикновено се нарича качествен фактор Q на веригата, което буквално означава "качество" на английски. Реципрочната стойност на качествения фактор d = 1 / Q се нарича затихване на веригата. За определяне на коефициента на качество обикновено се използва формулата Q = ρ / r, където r е съпротивлението на омичните загуби на веригата, което характеризира мощността на резистивните (активни загуби) на веригата P = I 2 r. Коефициентът на качество на реалните осцилаторни вериги, направени върху дискретни индуктори и кондензатори, варира от няколко единици до стотици или повече. Коефициентът на качество на различни осцилаторни системи, базирани на принципа на пиезоелектричните и други ефекти (например кварцови резонатори), може да достигне няколко хиляди или повече.

Честотните свойства на различните вериги в технологията обикновено се оценяват с помощта на амплитудно-честотни характеристики (AFC). На фиг. 4а и фиг. 4b показва две най-прости мрежи с четири порта, съдържащи последователна осцилаторна верига. Честотната характеристика на тези вериги е показана (показана с плътни линии) на фиг. 5а и фиг. 5b, съответно. Вертикалната ос показва стойността на коефициента на пренос на напрежението на веригата, K, която показва съотношението на изходното напрежение на веригата към входа. За пасивни вериги (т.е. такива, съдържащи усилващи елементи и източници на енергия), стойността на K никога не надвишава единица. Очевидно е, че съпротивлението на веригата на фиг. 4а, променливият ток ще бъде минимален при честота на експозиция, равна на резонансната честота на веригата. В този случай коефициентът на предаване на веригата е близо до единица (определя се от омичните загуби във веригата). При честоти, които са много различни от резонансните, съпротивлението на веригата към променлив ток е доста голямо и следователно коефициентът на предаване на веригата ще падне почти до нула. При резонанс във веригата, показана на фиг. 4b, източникът на входния сигнал се оказва действително късо съединение от малко съпротивление на веригата, поради което коефициентът на пренос на такава верига при резонансната честота пада почти до нула (отново поради наличието на ограничена устойчивост на загуби). Напротив, при честотите на входното действие, които са значително отдалечени от резонансното, коефициентът на предаване на веригата се оказва близък до единица. Свойството на осцилаторната верига да променя значително коефициента на предаване при честоти, близки до резонансните, се използва широко в практиката, когато се изисква отделяне на сигнал с определена честота от набор от ненужни сигнали, разположени на други честоти. Така че във всеки радиоприемник с помощта на осцилаторни вериги се осигурява настройка на честотата на желаната радиостанция. Свойството на осцилаторната верига да избира такава от набор от честоти обикновено се нарича селективност или селективност. В този случай интензитетът на промяната в коефициента на предаване на веригата, когато честотата се отклонява от резонанса, обикновено се оценява с помощта на параметър, наречен лента на пропускане. Най-често честотната лента се приема като честотен диапазон, в който намаляването (или увеличаването - в зависимост от вида на веригата) на коефициента на предаване на неговата относителна стойност при резонансната честота не надвишава 0,707 (3dB).

Пунктираните линии на фиг. 5а и фиг. 5b показва честотната характеристика на точно същите вериги, както на фиг. 4а и фиг. 4b, съответно, чиито осцилаторни вериги имат същите резонансни честоти, както в случая, обсъден по-горе, но с по-нисък Q-коефициент (например, индукторът е навит с проводник с високо съпротивление на постоянен ток). Както се вижда от фиг. 5а и фиг. 5b, докато честотната лента на веригата се разширява и нейните селективни (селективни) свойства се влошават. Въз основа на това при изчисляване и проектиране на осцилаторни вериги трябва да се стремим да увеличим техния качествен фактор. Въпреки това, в някои случаи Q-факторът на веригата, напротив, трябва да бъде подценен (например чрез включване на резистор с малко съпротивление последователно с индуктора), което избягва изкривяването на широколентовите сигнали. Въпреки че, ако на практика е необходимо да се изолира достатъчно широколентов сигнал, селективните схеми по правило се изграждат не върху единични осцилаторни вериги, а върху по-сложни свързани (многоверижни) осцилаторни системи, вкл. многолинкови филтри.