biathlonmordovia.ru → ელექტროგაყვანილობა

პითაგორას რიცხვები. თანამედროვე მაღალი ტექნოლოგიები

ნატურალური რიცხვების თვისებების შესწავლამ პითაგორალები მიიყვანა თეორიული არითმეტიკის კიდევ ერთი "მარადიული" პრობლემისკენ (რიცხვების თეორია) - პრობლემა, რომლის ჩანასახებმა პითაგორას გაცილებით ადრე გაირბინა Უძველესი ეგვიპტე და ძველი ბაბილონი და ზოგადი გამოსავალი დღემდე ვერ მოიძებნა. დავიწყოთ ამოცანა, რომელიც თანამედროვე ტერმინები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ამოხსნა ბუნებრივ რიცხვებში განუსაზღვრელი განტოლება

დღეს ამ ამოცანას ეწოდება პითაგორას პრობლემადა მისი ამოხსნები - ბუნებრივი რიცხვების სამმაგი, რომლებიც აკმაყოფილებენ განტოლებას (1.2.1) - ეწოდება პითაგორას სამეული... პითაგორას თეორემის აშკარა კავშირის გამო ამ უკანასკნელის პითაგორასთან დაკავშირებულ პრობლემასთან დაკავშირებით შეიძლება მოცემული იყოს გეომეტრიული ფორმულირება: იპოვნეთ მართკუთხა სამკუთხედები მთელი ფეხებით x, y და მთელი ჰიპოტენუზა ზ.

პითაგორას პრობლემის განსაკუთრებული გადაწყვეტები ცნობილი იყო ძველად. ფარაონის ამენემჰატ I– ის (ძვ. წ. 2000 წ.) დროინდელ პაპირუსში, რომელიც ბერლინის ეგვიპტის მუზეუმში ინახება, გვხვდება მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის თანაფარდობაა (). მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსის მ. კანტორის (1829 - 1920) თანახმად, ძველ ეგვიპტეში არსებობდა სპეციალური პროფესია harpedonapts - "საბაგირო საკაცეები", რომლებმაც ტაძრებისა და პირამიდების დაგების საზეიმო ცერემონიალის დროს აღნიშნეს მარჯვენა კუთხეები თოკით, რომელსაც აქვს 12 (\u003d 3 + 4 + 5) თანაბრად დაშორებული კვანძი. მართკუთხედის მართკუთხედის აგების გზა აშკარაა სურათი 36-დან.

უნდა ითქვას, რომ ანტიკური მათემატიკის კიდევ ერთი ექსპერტი, ვან დერ ვაერდენი, კატეგორიულად არ ეთანხმება კანტორს, თუმცა ძველი ეგვიპტის არქიტექტურის ძალიან პროპორცია კანტორის სასარგებლოდ მოწმობს. როგორც არ უნდა იყოს, დღეს ეწოდება მართკუთხა სამკუთხედს, თანაფარდობის თანაფარდობით ეგვიპტელი.

როგორც აღნიშნულია გვ. 76, ბაბილონის ეპოქით დათარიღებული თიხის ტაბლეტი გადარჩა და შეიცავს პითაგორას სამეულის 15 ხაზს. გარდა ამისა, ტრივიალური ტრიპლეტისა, რომელიც მიიღეს ეგვიპტისგან (3, 4, 5) 15 – ზე გამრავლებით (45, 60, 75), ასევე არსებობს ძალიან რთული პითაგორას სამეული, როგორიცაა (3367, 3456, 4825) და კიდევ (12709, 13500, 18541)! ეჭვგარეშეა, რომ ეს რიცხვები არა უბრალო ძიებამ, არამედ ზოგიერთმა ერთგვაროვანმა წესმა მოიძია.

ამის მიუხედავად, ბუნებრივ რიცხვებში განტოლების (1.2.1) ზოგადი ამოხსნის საკითხი დასვეს და გადაწყვიტეს მხოლოდ პითაგორალებმა. ნებისმიერი მათემატიკური პრობლემის ზოგადი ფორმულირება უცხო იყო როგორც ძველი ეგვიპტელების, ასევე ძველი ბაბილონელებისთვის. მხოლოდ პითაგორასთან დაიწყო მათემატიკის ჩამოყალიბება, როგორც დედუქციური მეცნიერება და ამ გზაზე ერთ-ერთი პირველი ნაბიჯი იყო პითაგორას სამეული პრობლემის გადაჭრა. უძველესი ტრადიცია განტოლების პირველ ამოხსნებს (1.2.1) უკავშირებს პითაგორას და პლატონის სახელებს. შევეცადოთ აღვადგინოთ ეს გადაწყვეტილებები.

ნათელია, რომ განტოლება (1.2.1) პითაგორა ფიქრობდა არა ანალიტიკური ფორმით, არამედ კვადრატული რიცხვის სახით, რომლის შიგნით საჭირო იყო კვადრატული რიცხვების პოვნა და. რიცხვი ბუნებრივად იყო გამოსახული, როგორც გვერდითი კვადრატი y ერთი ნაკლები მხარე ზ ორიგინალური კვადრატი, ე.ი. შემდეგ, როგორც 37-იანი სურათიდან ჩანს (იხილეთ ზუსტად!), დარჩენილი კვადრატული რიცხვისთვის უნდა დაიცვათ თანასწორობა. ამრიგად, მივდივართ წრფივი განტოლებების სისტემაში

ამ განტოლებების დამატებასა და გამოკლებას ვპოულობთ განტოლების ამოხსნას (1.2.1):

ადვილია იმის გადამოწმება, რომ მიღებული ხსნარი იძლევა ბუნებრივ რიცხვებს მხოლოდ უცნაურთათვის. ამრიგად, საბოლოოდ გვაქვს

ტრადიცია ამ გადაწყვეტილებას პითაგორას სახელს უკავშირებს.

გაითვალისწინეთ, რომ სისტემის (1.2.2) ფორმალურად მიღება ასევე შესაძლებელია განტოლებადან (1.2.1). Ნამდვილად,

საიდანაც, პარამეტრით მივალთ (1.2.2).

აშკარაა, რომ პითაგორას ხსნარი საკმაოდ მკაცრი შეზღუდვის ქვეშ აღმოჩნდა () და შეიცავს პითაგორას ყველა სამგან შორს. შემდეგი ნაბიჯის დასმა შეიძლება, რადგან მხოლოდ ამის შემდეგ იქნება კვადრატული რიცხვი. ამრიგად, სისტემა ასევე იქნება პითაგორას სამეული. ახლა ძირითადი

თეორემა. თუკი გვ და q სხვადასხვა პარიტეტის საავტორო რიცხვები, შემდეგ პრიმატიული პითაგორას სამეული გვხვდება ფორმულებით

ბესკროვინი ი.მ. ერთი

1 OAO Angstrem-M

სამუშაოების მიზანია a2 + b2 \u003d c2 ფორმის პითაგორას სამეულის გამოანგარიშების მეთოდებისა და ალგორითმების შემუშავება. ანალიზის პროცესი განხორციელდა სისტემური მიდგომის პრინციპების შესაბამისად. მათემატიკურ მოდელებთან ერთად გამოყენებულია გრაფიკული მოდელები, რომლებიც აჩვენებენ პითაგორას სამეულის თითოეულ წევრს რთული კვადრატების სახით, რომელთაგან თითოეული შედგება ერთეულის კვადრატების ნაკრებისაგან. დადგენილია, რომ პითაგორას სამმაგი უსასრულო სიმრავლე შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ქვეჯგუფებს, რომლებიც განასხვავებენ b - c მნიშვნელობებს შორის სხვაობის მიხედვით. შემოთავაზებულია პითაგორას სამეულის ფორმირების ალგორითმი ამ განსხვავების ნებისმიერი წინასწარ განსაზღვრული მნიშვნელობით. ნაჩვენებია, რომ პითაგორას სამმაგი არსებობს 3≤a ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის

პითაგორას სამეული

სისტემის ანალიზი

მათემატიკური მოდელი

გრაფიკული მოდელი

1. ანოსოვი დ.ნ. მათემატიკის გადახედვა და ამის რაღაც. - მ.: MTsNMO, 2003 წ. - 24 გვ.: ავად.

2. Iyerland K., Rosen M. კლასიკური შესავალი თანამედროვე თეორია რიცხვები - მ.: მირი, 1987 წ.

3. ბესკროვინი I.М. სისტემის ანალიზი და ინფორმაციული ტექნოლოგია ორგანიზაციებში: სახელმძღვანელო... - მ.: RUDN, 2012 წ. - 392 გვ.

4. სიმონ სინგჰი. ფერმატის ბოლო თეორემა.

5. Fermat P. სწავლობს რიცხვების თეორიასა და დიოფანტინის ანალიზს. - მ .: ნაუკა, 1992 წ.

6. იაპტრო. Ucoz, ხელმისაწვდომია: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

პითაგორას სამეული არის სამი მთელი რიცხვის ჯგუფი, რომელიც აკმაყოფილებს პითაგორას მიმართებას x2 + y2 \u003d z2. ზოგადად რომ ვთქვათ, ეს არის დიოფანტინის განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევა, კერძოდ, განტოლებების სისტემები, რომლებშიც უცნობი რიცხვი უფრო მეტია, ვიდრე განტოლების რაოდენობა. ისინი ცნობილია დიდი ხნის განმავლობაში, ბაბილონის დროიდან, ანუ პითაგორაზე დიდი ხნით ადრე. მათ ეს სახელი მას შემდეგ მოიპოვეს, რაც პითაგორასმა დაადასტურა თავისი ცნობილი თეორემა მათ საფუძველზე. ამასთან, როგორც მრავალი წყაროების ანალიზიდან გამომდინარეობს, რომელშიც პითაგორას სამეულის საკითხი ამა თუ იმ ხარისხზე არის შეხებული, არსებული საკლასო ოთახები ეს სამეული და მათი ფორმირების შესაძლო გზები.

ასე რომ, სიმონ სინგის წიგნში ნათქვამია: - "პითაგორას მოწაფეებმა და მიმდევრებმა ... მსოფლიოს მოუყვეს ე.წ. პითაგორას სამი კ. ამასთან, ამის შემდეგ ვკითხულობთ: - ”პითაგორაელები ოცნებობდნენ სხვის მოძებნაზე პითაგორას სამეული, სხვა კვადრატები, საიდანაც შეიძლება დაიყოს მესამე უფრო დიდი კვადრატი. ... რიცხვების მატებასთან ერთად, პითაგორას სამეული უფრო და უფრო იშვიათია და მათი პოვნა უფრო და უფრო რთულდება. პითაგორალებმა მოიგონეს ასეთი სამეულის პოვნის მეთოდი და მისი გამოყენებით დაამტკიცეს, რომ უსასრულოდ ბევრია პითაგორას სამეული. ”

ზემოთ მოყვანილ ციტირებაში ხაზგასმულია სიტყვები, რომლებიც აღრევას იწვევს. რატომ "პითაგორალები ოცნებობდნენ პოვნაზე ...", თუ "გამოიგონეს ასეთი სამეულის პოვნის მეთოდი ...", და რატომ დიდი რაოდენობით "უფრო და უფრო რთულდება მათი პოვნა ...".

ცნობილი მათემატიკოსი დ.ვ. ანოსოვ, როგორც ჩანს, სასურველი პასუხი გაცემულია. - ”არსებობს ბუნებრივი, ანუ დადებითი მთელი რიცხვების სამმაგი x, y, z ისეთი, რომ ისეთი

x2 + y2 \u003d z2. (ერთი)

… შესაძლებელია ნაპოვნი x2 + y2 \u003d z2 განტოლების ყველა ამონახსნი ნატურალურ რიცხვებში? … დიახ. პასუხი ასეთია: თითოეული ასეთი გამოსავალი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი

x \u003d ლ (მ 2 - n2), y \u003d 2 მლნ, z \u003d ლ (მ 2 + n2), (2),

სადაც l, m, n ბუნებრივი რიცხვებია და m\u003e n, ან მსგავსი ფორმით, რომელშიც x და y ერთმანეთთან არიან შეცვლილი. ცოტა მოკლედ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ x, y, z (2-დან) ყველა შესაძლო ბუნებრივი რიცხვით l და m\u003e n ყველაა შესაძლო გადაწყვეტილებები (1) x და y პერმუტაციამდე. მაგალითად, სამეული (3, 4, 5) მიიღება, როდესაც l \u003d 1, m \u003d 2, n \u003d 1. ... როგორც ჩანს, ბაბილონელებმა იცოდნენ ეს პასუხი, მაგრამ როგორ მივიდნენ ისინი უცნობია ”.

როგორც წესი, მათემატიკოსები ცნობილია თავიანთი ფორმულირებების სიზუსტით. მაგრამ, ამ ციტატაში ასეთი სიმკაცრე არ შეიმჩნევა. რა ზუსტად: იპოვნე ან წარმოიდგინე? ცხადია, ეს სულ სხვა რამეებია. ქვემოთ მოცემულია "ახლად გამომცხვარი" სამმაგი სტრიქონი (მიღებული ქვემოთ აღწერილი მეთოდით):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

ეჭვგარეშეა, რომ თითოეული ეს სამეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მიმართების სახით (2) და შემდეგ შეიძლება გამოითვალოს l, m, n მნიშვნელობები. მაგრამ ეს მას შემდეგ ხდება, რაც სამმაგი ღირებულებები იქნა ნაპოვნი. მაგრამ რა შეიძლება ითქვას მანამდე?

არ შეიძლება გამოირიცხოს, რომ ამ კითხვებზე პასუხები დიდი ხანია ცნობილია. მაგრამ რატომღაც ისინი ჯერ არ არის ნაპოვნი. ამრიგად, ამ სამუშაოს მიზანი არის პითაგორას სამეულის ცნობილი მაგალითების კომპლექსის სისტემატური ანალიზი, სამ ჯგუფის სამ ჯგუფში სისტემის ფორმირების ურთიერთობების ძიება და ამ ჯგუფებისთვის დამახასიათებელი სისტემური მახასიათებლების იდენტიფიკაცია და შემდეგ - მარტივი და ეფექტური ალგორითმების შემუშავება წინასწარ განსაზღვრული კონფიგურაციით სამეულით. კონფიგურაციაში ვგულისხმობთ ურთიერთდამოკიდებულებას სამეულს შორის არსებულ სიდიდეებს შორის.

როგორც ინსტრუმენტარიუმი, მათემატიკური აპარატი გამოყენებული იქნება იმ დონეზე, რომელიც არ სცდება მათემატიკის ფარგლებს უმაღლესი სკოლადა სისტემის ანალიზი მოცემული მეთოდების საფუძველზე.

მოდელის აგება

სისტემური ანალიზის თვალსაზრისით, ნებისმიერი პითაგორას სამეული არის სისტემა, რომელსაც აყალიბებს ობიექტები, რომლებიც სამი რიცხვია და მათი თვისებები. მათი აგრეგატი, რომელშიც ობიექტები მოთავსებულია გარკვეულ ურთიერთობებში და ქმნის სისტემას ახალი თვისებებით, რომლებიც თანდაყოლილი არ არის არც ცალკეულ ობიექტებში, არც მათ რომელიმე სხვა ნაკრებში, სადაც ობიექტები მოთავსებულია სხვა ურთიერთობებში.

განტოლებაში (1), სისტემის ობიექტები არის ბუნებრივი რიცხვები, რომლებიც დაკავშირებულია მარტივი ალგებრული ურთიერთობებით: ტოლობის ნიშნის მარცხნივ არის ორი რიცხვის ჯამი 2-ზე, მარჯვნივ არის მესამე რიცხვი, ასევე გაზრდილი ძალაზე. ცალკეული რიცხვები, ტოლობის მარცხნივ, 2-მდე აიყვანეს, არ დააკისროთ რაიმე შეზღუდვა მათი ჯამიდან მუშაობისას - შედეგად მიღებული ჯამი შეიძლება იყოს ნებისმიერი. მაგრამ, ტოლობის ნიშანი, რომელიც მოთავსებულია შემაჯამებელი ოპერაციის შემდეგ, აწესებს სისტემის შეზღუდვას ამ ჯამის მნიშვნელობაზე: ჯამი უნდა იყოს ისეთი რიცხვი, რომ კვადრატული ფესვის მოპოვების ოპერაციის შედეგი იყოს ბუნებრივი რიცხვი. და ეს პირობა არ არის შესრულებული თანასწორობის მარცხენა მხარეს შეცვლილი ნებისმიერი რიცხვისთვის. ამრიგად, ტოლობის ნიშანი, განლაგების ორ ტერმინსა და მესამეს შორის განთავსებული, სამ ტერმინს აქცევს სისტემად. ამ სისტემის ახალი მახასიათებელია თავდაპირველი რიცხვების მნიშვნელობებზე შეზღუდვების შემოღება.

აღნიშვნის ფორმის საფუძველზე, პითაგორას სამეული შეიძლება განვიხილოთ, როგორც გეომეტრიული სისტემის მათემატიკური მოდელი, რომელიც შედგება სამი კვადრატისგან, რომლებიც დაკავშირებულია შეკრებისა და თანასწორობის ურთიერთობებით, როგორც ნაჩვენებია ნახაზზე. 1. ნახ. 1 არის განსახილველი სისტემის გრაფიკული მოდელი, ხოლო მისი ვერბალური მოდელი არის განცხადება:

გვერდის სიგრძით c კვადრატის ფართობი დანარჩენი გარეშე შეიძლება დაიყოს ორ კვადრატად, გვერდითი სიგრძით a და b, ისე, რომ მათი ფართობების ჯამი უდრის თავდაპირველი კვადრატის ფართობს, ანუ სამივე a, b და c სიდიდეს უკავშირდება თანაფარდობა

კვადრატის დაშლის გრაფიკული მოდელი

სისტემის ანალიზის კანონების ფარგლებში ცნობილია, რომ თუ მათემატიკური მოდელი ადეკვატურად ასახავს გარკვეული გეომეტრიული სისტემის თვისებებს, მაშინ ამ სისტემის თვისებების ანალიზი საშუალებას იძლევა განვმარტოთ მათი მათემატიკური მოდელის თვისებები, მათი უფრო ღრმად გააზრება, გასარკვევად და, საჭიროების შემთხვევაში, გაუმჯობესების მიზნით. ჩვენ ვიცავთ ამ გზას.

განვმარტოთ, რომ სისტემის ანალიზის პრინციპების თანახმად, დამატებისა და გამოკლების მოქმედებები შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ რთულ ობიექტებზე, ანუ ელემენტარული ობიექტების ნაკრებისგან შედგენილ ობიექტებზე. ამიტომ, ჩვენ აღვიქვამთ ნებისმიერ კვადრატს, როგორც ელემენტარული, ან ერთეული კვადრატების კრებულისგან შემდგარი ფიგურა. მაშინ ბუნებრივი რიცხვებით ამონახსნის მიღების პირობა ტოლფასია იმ პირობის მიღებისა, რომ ერთეულის კვადრატი არ არის განუყოფელი.

ერთეულის კვადრატი არის კვადრატი, რომელშიც თითოეული მხარის სიგრძე უდრის ერთს. ანუ, როდესაც ერთეულის კვადრატის ფართობი განისაზღვრება შემდეგი გამოთქმით.

კვადრატის რაოდენობრივი პარამეტრი არის მისი ფართობი, რომელიც განისაზღვრება ერთეულის კვადრატების რაოდენობის მიხედვით, რომელიც შეიძლება განთავსდეს მოცემულ უბანზე. თვითნებური x მნიშვნელობის კვადრატისთვის x2 გამოხატვა განსაზღვრავს x სიგრძის ერთეული სეგმენტებით წარმოქმნილ კვადრატის ფართობს. X2 ერთეული მოედნები შეიძლება განთავსდეს ამ კვადრატის ფართობზე.

ზემოხსენებული განმარტებები შეიძლება იქნას მიღებული როგორც ტრივიალური და აშკარა, მაგრამ ეს ასე არ არის. დ.ნ. ანოსოვი ფართობის ცნებას სხვაგვარად განსაზღვრავს: - „a ფიგურის ფართობი ტოლია მისი ნაწილების ფართობების ჯამის. რატომ ვართ დარწმუნებული, რომ ეს ასეა? ... ჩვენ წარმოვიდგენთ რაიმე სახის ერთგვაროვანი მასალისგან დამზადებულ ფიგურას, მაშინ მისი ფართობი პროპორციულია მასში შემავალი ნივთიერების რაოდენობის - მისი მასისა. შემდგომში იგულისხმება, რომ როდესაც სხეულს ვყოფთ რამდენიმე ნაწილად, მათი მასების ჯამი უდრის თავდაპირველი სხეულის მასას. ეს გასაგებია, რადგან ყველაფერი ატომებისა და მოლეკულებისგან შედგება და რადგან მათი რიცხვი არ შეცვლილა, მათი საერთო მასაც არ შეცვლილა ... მართლაც, სინამდვილეში, ჰომოგენური მასალის ნაჭერი მასის პროპორციულია მისი მოცულობისა; ამიტომ, უნდა იცოდეთ, რომ მოცემული ფიგურის ფორმის "ფურცლის" მოცულობა მისი ფართობის პროპორციულია. ერთი სიტყვით, ... რომ ფიგურის ფართობი ტოლია მისი ნაწილების ფართობების ჯამისა, გეომეტრიაში ამის დამტკიცებაა საჭირო. ... კისელევის სახელმძღვანელოში, იმ ტერიტორიის არსებობა, რომელზეც ჩვენ განვიხილავთ, გულწრფელად ჩამოყალიბდა, როგორც ერთგვარი ვარაუდი, და ითქვა, რომ ეს სინამდვილეში სიმართლეა, მაგრამ ჩვენ ამას არ დავუმტკიცებთ. ასე რომ, პითაგორას თეორემა, თუ ის დადასტურდება ტერიტორიებით, წმინდა ლოგიკური გაგებით არ დარჩება ბოლომდე დამტკიცებული. ”

ჩვენთვის გვეჩვენება, რომ ზემოთ შემოტანილი ერთეულის კვადრატის განმარტებები ამოიღებს D.N- ს მითითებულს. ანოსოვის გაურკვევლობა. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობის ზომა განისაზღვრება ერთეულის კვადრატების ჯამით, რომლებიც ავსებს მათ, მაშინ როდესაც მართკუთხედი იყოფა ერთმანეთის მიმდებარე თვითნებურ ნაწილებად, მართკუთხედის ფართობი ბუნებრივად უდრის მისი ყველა ნაწილის ჯამს.

უფრო მეტიც, შემოტანილი განმარტებები ხსნის ”გაყოფის” და ”დამატების” ცნებების გამოყენების ბუნდოვანებას აბსტრაქტულ გეომეტრიულ ფიგურებთან მიმართებაში. მართლაც, რას ნიშნავს მართკუთხედის ან სხვა ბრტყელი ფორმის დაყოფა ნაწილებად? თუ ეს ქაღალდის ნაჭერია, შეგიძლიათ მაკრატლით გაჭრათ. თუ მიწის ნაკვეთი - განათავსეთ ღობე. ოთახი - განათავსეთ დანაყოფი. და თუ დახატული კვადრატია? დახაზეთ გამყოფი ხაზი და განაცხადეთ, რომ კვადრატი იყოფა? მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, დ.ი. მენდელეევი: "... თქვენ შეგიძლიათ განაცხადოთ ყველაფერი, მაგრამ თქვენ - წადით და დემონსტრირეთ!"

ხოლო შემოთავაზებული განმარტებების გამოყენებისას, ”ფიგურის დაყოფა” ნიშნავს ამ ფიგურის შევსების კვადრატების რაოდენობის ორ (ან მეტ) ნაწილად გაყოფას. თითოეულ ამ ნაწილში ერთეულის კვადრატების რაოდენობა განსაზღვრავს მის არეალს. ამ ნაწილების კონფიგურაცია შეიძლება თვითნებურად იყოს მოცემული, მაგრამ მათი ფართობების ჯამი ყოველთვის ტოლი იქნება ორიგინალური ფიგურის ფართობის. ალბათ, მათემატიკოსებს ეს არგუმენტები არასწორად მიაჩნიათ, შემდეგ ჩვენ მათ ვარაუდად მივიღებთ. თუ კისელევის სახელმძღვანელოში მისაღებია ასეთი ვარაუდები, მაშინ ჩვენთვის ცოდვა იქნება ასეთი ტექნიკის გამოყენება.

სისტემის ანალიზის პირველი ეტაპია პრობლემის სიტუაციის იდენტიფიცირება. ამ ეტაპის დასაწყისში შეისწავლეს სხვადასხვა წყაროებში აღმოჩენილი რამდენიმე ასეული პითაგორას სამეული. ამავდროულად, ყურადღება მიიპყრო იმ ფაქტმა, რომ პითაგორას სამეულის მთელი წყება, რომელიც პუბლიკაციებშია ნახსენები, შეიძლება დაიყოს კონფიგურაციით განსხვავებულ რამდენიმე ჯგუფად. ორიგინალური და გამოკლებული კვადრატების გვერდების სიგრძეებში სხვაობა ჩაითვლება კონკრეტული კონფიგურაციის ნიშნად, c-b მნიშვნელობა... მაგალითად, პუბლიკაციები საკმაოდ ხშირად აჩვენებს სამჯერ, რომლებიც აკმაყოფილებს c-b \u003d 1 პირობას, მაგალითად. მოდით ვივარაუდოთ, რომ ასეთი პითაგორას სამმაგი კომპლექტი ქმნის სიმრავლეს, რომელსაც ჩვენ "c-1 კლასს" დავარქმევთ და გავაანალიზოთ ამ კლასის თვისებები.

განვიხილოთ ნახატზე ნაჩვენები სამი კვადრატი, სადაც c არის შემცირებული კვადრატის გვერდის სიგრძე, b არის გამოკლებული კვადრატის გვერდის სიგრძე და a არის კვადრატის გვერდითი სიგრძე, რომელიც წარმოიქმნება მათი სხვაობისგან. ნახ. 1 გვიჩვენებს, რომ შემცირებული კვადრატის ფართობიდან გამოსაკლები კვადრატის ფართობის გამოკლებისას დანარჩენ ნაწილში რჩება ერთეულის კვადრატების ორი ზოლი:

იმისათვის, რომ ამ ნაშთმა შეძლოს კვადრატის ჩამოყალიბება, პირობა

ეს თანაფარდობები საშუალებას იძლევა განისაზღვროს სამკუთხედის ყველა წევრის მნიშვნელობები ერთი მოცემული რიცხვისთვის c. C ყველაზე მცირე რაოდენობის დამაკმაყოფილებელი მიმართება (6) არის რიცხვი c \u003d 5. ასე რომ, განისაზღვრა კვადრატების სამივე გვერდის სიგრძე, რომელიც აკმაყოფილებს მიმართებას (1). გავიხსენოთ, რომ საშუალო კვადრატის გვერდის b მნიშვნელობა

არჩეულ იქნა მაშინ, როდესაც გადავწყვიტეთ, შუა კვადრატი შეგვექმნა ორიგინალი კვადრატის გვერდის ერთით შემცირებით. შემდეგ ურთიერთობებიდან (5), (6). (7) მივიღებთ შემდეგ დამოკიდებულებას:

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ შერჩეული მნიშვნელობა c \u003d 5 ცალსახად ადგენს მნიშვნელობებს b \u003d 4, a \u003d 3.

შედეგად, მიიღეს ურთიერთობები, რომლებიც საშუალებას იძლევა წარმოადგინონ "c - 1" კლასის ნებისმიერი პითაგორას სამეული ასეთ ფორმაში, სადაც სამივე ტერმინის მნიშვნელობები განისაზღვრება ერთი მითითებული პარამეტრით - c მნიშვნელობით:

დავამატოთ, რომ ზემოთ მოყვანილ მაგალითში 5 გამოჩნდა c- ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობის მინიმუმი, რომლის განტოლებას (6) აქვს ამოხსნა ბუნებრივ რიცხვებში. შემდეგი რიცხვი იგივე თვისებით არის 13, შემდეგ 25, შემდეგ 41, 61, 85 და ა.შ., როგორც ხედავთ, ამ სერიის რიცხვებში, ინტერვალი მეზობელ რიცხვებს შორის ინტენსიურად იზრდება. ასე რომ, მაგალითად, დასაშვები მნიშვნელობის შემდეგ შემდეგი დასაშვები მნიშვნელობა და შემდეგ შემდეგი დასაშვები მნიშვნელობა, ანუ დასაშვები მნიშვნელობა ორმოცდაათ მილიონზე მეტია წინადან!

ახლა უკვე გასაგებია, თუ საიდან გაჩნდა ეს ფრაზა წიგნში: - "რიცხვების მატებასთან ერთად, პითაგორას სამეული უფრო და უფრო ნაკლებად ხვდება და მათი პოვნა უფრო და უფრო რთულდება ...". ამასთან, ეს განცხადება სიმართლეს არ შეესაბამება. მხოლოდ პითაგორას სამკუთხედს უნდა შევხედოთ, რომლებიც შეესაბამება c მეზობელ მნიშვნელობებს ზემოთ მოცემულ წყვილებს, რადგან ერთი თვისება მაშინვე იპყრობს თვალს - ორივე წყვილში, რომელშიც c მნიშვნელობები დაშორებულია ასეთი დიდი ინტერვალებით, აღმოჩნდება, რომ მიმდებარე კენტი რიცხვებია. მართლაც, პირველი წყვილისთვის გვაქვს

და მეორე წყვილისთვის

ასე რომ, "ტრიპლეტები" არ არის "ნაკლებად საერთო", მაგრამ იზრდება ინტერვალი c მიმდებარე მნიშვნელობებს შორის. თავად პითაგორას სამმაგი, როგორც ქვემოთ ნაჩვენები იქნება, არსებობს ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვისთვის.

ახლა განვიხილოთ შემდეგი კლასის სამეული - "კლასი c-2". როგორც ჩანს ნახ. 1, გვერდით c კვადრატიდან გამოყოფისას გვერდითი (c - 2) კვადრატიდან, დარჩენილი ნაწილი წარმოიქმნება, როგორც ორი ერთეული ზოლის ჯამი. ამ ჯამის მნიშვნელობა განისაზღვრება განტოლებით:

(10) განტოლებიდან ვიღებთ ურთიერთობებს, რომლებიც განსაზღვრავს "c-2" კლასის უსასრულო სამკუთხედთაგან რომელიმეს:

ბუნებრივ რიცხვებში (11) განტოლების ამოხსნის არსებობის პირობაა c- ს ნებისმიერი ასეთი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც a არის ბუნებრივი რიცხვი. მინიმალური მნიშვნელობა c, რომლისთვისაც გამოსავალი არსებობს, არის c \u003d 5. შემდეგ ამ კლასის სამკუთხედის "საწყისი" სამეული განისაზღვრება a \u003d 4, b \u003d 3, c \u003d 5. სიმრავლით. ანუ, ისევ იქმნება კლასიკური სამეული, 3, 4, 5 , მხოლოდ ახლა გამოკლებული კვადრატის ფართობი ნაკლებია ვიდრე დარჩენილი ნაწილი.

დაბოლოს, მოდით გავაანალიზოთ C-8 კლასის სამეული. ამ სამეულის კლასისთვის, ორიგინალური კვადრატის c2 ფართობიდან გამოვაკლოთ მოედნის ფართობი, მივიღებთ:

შემდეგ (12) განტოლებიდან შემდეგნაირად მიდის:

C მინიმალური მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ხსნარი არსებობს, არის c \u003d 13. ამ მნიშვნელობით პითაგორას სამეული მიიღებს 12, 5, 13. ფორმას. ამ შემთხვევაში, გამოსაკუთრებული კვადრატის ფართობი კვლავ ნაკლებია დარჩენილი ნაწილის ფართობზე. და ადგილების დანიშნულების ადგილების გადალაგებით მივიღებთ სამმაგ 5, 12, 13-ს, რომელიც თავისი კონფიგურაციით ეკუთვნის კლასს "c - 1". როგორც ჩანს, სხვა შესაძლო კონფიგურაციების შემდგომი ანალიზი ფუნდამენტურად ახალს ვერ გამოავლენს.

დიზაინის კოეფიციენტების წარმოება

წინა ნაწილში ანალიზის ლოგიკა შემუშავდა სისტემის ანალიზის მოთხოვნების შესაბამისად მისი ხუთი ძირითადი ეტაპიდან: პრობლემის სიტუაციის ანალიზი, მიზნების ფორმირება, ფუნქციების ფორმირება და სტრუქტურის ფორმირება. ახლა დროა გადავიდეთ საბოლოო, მეხუთე ეტაპზე - ტექნიკურ-ეკონომიკური დასაბუთების შემოწმება, ანუ შემოწმება, თუ რამდენად მიღწეულია დასახული მიზნები. ...

ცხრილი 1 ნაჩვენებია ქვემოთ. 1, რომელიც აჩვენებს პითაგორას სამეულიანი მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნებიან კლასს "c - 1". სამმაგი ნაწილის უმეტესობა გვხვდება სხვადასხვა პუბლიკაციებში, მაგრამ სამეულები 999, 1001 – ის ტოლი მნიშვნელობებისთვის ცნობილ პუბლიკაციებში არ გვხვდება.

ცხრილი 1

"S-1" კლასის პითაგორას სამეული

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ყველა სამეული აკმაყოფილებს მიმართებას (3). ამრიგად, მიღწეულია ერთ – ერთი დასახული მიზანი. წინა განყოფილებაში მიღებული ურთიერთობები (9), (11), (13) საშუალებას იძლევა შექმნას უსასრულო სამკუთხედი, მითითებული ერთადერთი პარამეტრი c - შემცირებული კვადრატის მხარე. ეს, რა თქმა უნდა, უფრო კონსტრუქციული ვარიანტია, ვიდრე მიმართება (2), რომლის გამოყენებისთვის უნდა დადგეს თვითნებურად სამი რიცხვი l, m, n რაიმე მნიშვნელობით, შემდეგ ეძებო გამოსავალი, იცოდე მხოლოდ ის, რომ საბოლოოდ მიიღება პითაგორას სამეული და რაც წინასწარ უცნობია. ჩვენს შემთხვევაში, სამჯერ ჩამოყალიბებული კონფიგურაცია წინასწარ არის ცნობილი და საჭიროა მხოლოდ ერთი პარამეტრის დაყენება. სამწუხაროდ, ამ პარამეტრის ყველა მნიშვნელობას არ აქვს გამოსავალი. თქვენ წინასწარ უნდა იცოდეთ მისი დასაშვები მნიშვნელობები. შედეგი კარგია, მაგრამ იდეალურიდან შორს. სასურველია მივიღოთ ასეთი ამონახსნი, რომ პითაგორას სამმაგი გამოითვალოს ნებისმიერი თვითნებური მოცემული ბუნებრივი რიცხვი. ამ მიზნით, დავუბრუნდეთ მეოთხე ეტაპს - მიღებული მათემატიკური ურთიერთობების სტრუქტურის ფორმირებას.

ვინაიდან c- ის არჩევა, როგორც ძირითადი პარამეტრი სამეულის დარჩენილი წევრების დასადგენად, მოუხერხებელი აღმოჩნდა, სხვა ვარიანტი უნდა სცადონ. როგორც ცხრილიდან ჩანს. 1, სასურველია a პარამეტრის, როგორც ძირითადი, არჩევანის გაკეთება, რადგან ამ პარამეტრის მნიშვნელობები ზედიზედ არის უცნაური ბუნებრივი რიცხვების ზედიზედ. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ, ურთიერთობები (9) უფრო კონსტრუქციულ ფორმაში მივყავართ:

ურთიერთობები (14) საშუალებას გვაძლევს ვიპოვნოთ პითაგორას სამეული წინასწარ მოცემული ნებისმიერი უცნაური მნიშვნელობისთვის. უფრო მეტიც, b- ს გამოხატვის სიმარტივე იძლევა გამოთვლების შესრულებას კალკულატორის გარეშეც. მართლაც, მაგალითად, ნომრის 13 არჩევისას მივიღებთ:

შესაბამისად, 99 ნომრისთვის მივიღებთ:

ურთიერთობები (15) საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ პითაგორას სიმების სამივე წევრის მნიშვნელობები მოცემული n– სთვის, დაწყებული n \u003d 1 – ით.

ახლა განვიხილოთ პითაგორას სამეული "c - 2" კლასის. მაგიდა დიაგრამა 2 ათი ასეთი სამკუთხედის მაგალითს აჩვენებს. უფრო მეტიც, ცნობილ პუბლიკაციებში მხოლოდ სამი წყვილი სამეული აღმოჩნდა - 8, 15, 23; 12, 35, 36; და 16, 63, 65. აღმოჩნდა, რომ ეს საკმარისი იყო იმ ნიმუშების დასადგენად, რომლითაც ისინი იქმნება. დარჩენილი შვიდი ნაპოვნი იქნა ადრე მიღებული ურთიერთობებიდან (11). გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის, ეს კოეფიციენტები გადაკეთდა ისე, რომ ყველა პარამეტრი გამოხატულია a. (11) -დან ნათლად ჩანს, რომ "c - 2" კლასის ყველა სამეული აკმაყოფილებს შემდეგ ურთიერთობებს:

ცხრილი 2

"C-2" კლასის პითაგორას სამეული

როგორც ცხრილიდან ჩანს. 2, "c - 2" კლასის სამკუთხედის უსასრულო სიმრავლე შეიძლება დაიყოს ორ ქვეკლასად. იმ სამმაგისთვის, რომლებშიც a- ის მნიშვნელობა იყოფა 4-ზე დანარჩენის გარეშე, b და c მნიშვნელობები უცნაურია. GCD \u003d 1 ასეთი სამკუთხედს პრიმიტიულს უწოდებენ. იმ სამეულისთვის, რომელთათვისაც a არ იყოფა 4-ზე მთელ რიცხვში, a, b, c სამეულის სამივე წევრი ლუწია.

ახლა მივმართოთ გამორჩეული კლასების მესამე კლასის - კლასის "გ - 8" შედეგების ანალიზს. (13) -ისგან მიღებული ამ კლასის გამოთვლილ ურთიერთობებს აქვთ ფორმა:

ურთიერთობები (20), (21) არსებითად იდენტურია. განსხვავება მხოლოდ მოქმედებათა თანმიმდევრობის არჩევაშია. ან, (20) -ის შესაბამისად, აირჩევა a- ს სასურველი მნიშვნელობა (ამ შემთხვევაში, საჭიროა ეს მნიშვნელობა იყოფა 4-ზე), შემდეგ განისაზღვრება b და c მნიშვნელობები. ან, თვითნებური რიცხვია არჩეული, შემდეგ კი, ურთიერთობებიდან (21), განისაზღვრება პითაგორას სამეული სამივე წევრი. მაგიდა 3 გვიჩვენებს პითაგორას სამმაგი რაოდენობის, რომლებიც ამ გზით არის გათვლილი. ამასთან, პითაგორას სამმაგი მნიშვნელობების გაანგარიშება კიდევ უფრო ადვილი იქნება. თუ მინიმუმ ერთი მნიშვნელობაა ცნობილი, მაშინ ყველა მომდევნო მნიშვნელობა განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ცხრილი 3

მიმართების ნამდვილობა (22) ყველასთვის შეიძლება შემოწმდეს ცხრილიდან სამჯერ. 2 და სხვა წყაროები. მაგალითად, ცხრილში. 4, პითაგორას სამეულის (10 000 სამეული) ვრცელი ცხრილიდან სამკუთხედის დახრილობა, რომელიც გამოითვლება კომპიუტერული პროგრამის საფუძველზე (2) და თამამი ტიპის მიხედვით - ტრიპლეტები (20). ეს მნიშვნელობები არ იყო მითითებულ ცხრილში.

ცხრილი 4

"C-8" კლასის პითაგორას სამეული

შესაბამისად, შემდეგი მაჩვენებლები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფორმის სამმაგად

და მოსწონს სამეული<\u003e, ჩვენ გვაქვს თანაფარდობა:

ხაზგასმით უნდა აღინიშნოს, რომ სამეულის ზემოთ ჩამოთვლილი კლასები "c - 1", "c - 2", "c - 8" შეადგენენ პირველი ათასი სამეულის 90% -ზე მეტს, მოცემული ცხრილიდან. ეს იძლევა საფუძველს აღვიქვათ ეს კლასები, როგორც ძირითადი. ჩვენ დავამატებთ, რომ ურთიერთობების (22), (23), (24) წარმოებისას არ იქნა გამოყენებული რიცხვების სპეციალური თვისებები, რომლებიც შესწავლილია რიცხვების თეორიაში (პრაიმერი, კოპირება და ა.შ.). პითაგორას სამეულის ფორმირების გამოვლენილი ნიმუშები განპირობებულია მხოლოდ ამ სამეულით აღწერილი გეომეტრიული ფიგურების სისტემური თვისებებით - კვადრატებით, რომლებიც შედგება ერთეული კვადრატების ნაკრებისაგან.

დასკვნა

ახლა, როგორც ენდრიუ უილსმა 1993 წელს თქვა, "ვფიქრობ, აქ უნდა გავჩერდე". ეს მიზანი სრულად იქნა მიღწეული. ნაჩვენებია, რომ მათემატიკური მოდელების თვისებების ანალიზი, რომელთა სტრუქტურას უკავშირდება გეომეტრიული ფორმები, მნიშვნელოვნად გამარტივდება, თუ ანალიზის პროცესში, წმინდა მათემატიკურ გამოთვლებთან ერთად, მხედველობაში მიიღება შესწავლილი მოდელების გეომეტრიული თვისებებიც. გამარტივება მიიღწევა, განსაკუთრებით იმის გამო, რომ მკვლევარი მათემატიკური გარდაქმნების შესრულების გარეშე „ხედავს“ სასურველ შედეგებს.

მაგალითად, თანასწორობა

აშკარა ხდება მარცხენა მხარეს გარდაქმნების გარეშე, საჭიროა მხოლოდ ლეღვის დათვალიერება. 1, რომელიც აჩვენებს ამ თანასწორობის გრაფიკულ მოდელს.

შედეგად, ჩატარებული ანალიზის საფუძველზე ნაჩვენებია, რომ ნებისმიერი კვადრატისთვის, რომელზეც გვერდებია, გვხვდება b და c გვერდების კვადრატები, ისე, რომ მათთვის კმაყოფილდება თანასწორობა და მიიღება ურთიერთობები, რომლებიც უზრუნველყოფს შედეგების მინიმალურ გაანგარიშებას:

უცნაური მნიშვნელობებისთვის,

და - თუნდაც ფასეულობებისთვის.

ბიბლიოგრაფიული ცნობარი

ბესკროვინი ი.მ. PYTHAGOR ხის საკუთრების სისტემის ანალიზი // თანამედროვე სამეცნიერო ინტენსიური ტექნოლოგიები. - 2013. - No 11. - გვ. 135-142;
URL: http: // site / ru / Article / view? Id \u003d 33537 (თარიღი: 03/20/2020). თქვენს ყურადღებას გავეცანით "საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა აკადემიის" მიერ გამოქვეყნებული ჟურნალები საგანმანათლებლო: პითაგორას მთელი რიგი სამეულის შესწავლა, სხვადასხვა სიტუაციებში მათი გამოყენების ალგორითმის შემუშავება, მათი გამოყენების შესახებ მემორანდუმის შედგენა.

საგანმანათლებლო: სწავლისადმი შეგნებული დამოკიდებულების ფორმირება, შემეცნებითი აქტივობის განვითარება, საგანმანათლებლო მუშაობის კულტურა.

ვითარდებაგეომეტრიული, ალგებრული და რიცხვითი ინტუიციის განვითარება, ინტელექტი, დაკვირვება, მეხსიერება.

გაკვეთილების დროს

I. ორგანიზაციული მომენტი

II ახალი მასალის განმარტება

პედაგოგი: პითაგორას სამეულის მიმზიდველი ძალების რიდლი დიდხანს აწუხებს კაცობრიობას. პითაგორას სამეულის უნიკალური თვისებები ხსნის მათ განსაკუთრებულ როლს ბუნებაში, მუსიკაში, მათემატიკაში. პითაგორას შელოცვა, პითაგორას თეორემა, რჩება მილიონობით, თუ არა მილიარდობით ადამიანის გონებაში. ეს არის ფუნდამენტური თეორემა, რომლის დამახსოვრებაც იძულებულია ყველა სტუდენტს. მიუხედავად იმისა, რომ პითაგორას თეორემა გასაგებია ათი წლის ასაკის ბავშვებისთვის, ეს შთამაგონებელი დასაწყისია იმ პრობლემისა, რომელიც ფიასკოს უდიდესი გონება აქვს მათემატიკის ისტორიაში, ფერმას თეორემა. პითაგორა კუნძულ სამოსიდან (იხ. დანართი 1 , სლაიდი 4) მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე გავლენიანი და მაინც იდუმალი ფიგურა იყო. მას შემდეგ, რაც მისი ცხოვრების და მოღვაწეობის შესახებ საიმედო ცნობები არ შემორჩა, მის ცხოვრებას მითები და ლეგენდები მოექცა და ისტორიკოსებს უჭირთ ფაქტის გამოყოფა მხატვრული ლიტერატურისგან. ეჭვგარეშეა, რომ პითაგორასმა ჩამოაყალიბა იდეა ციფრების ლოგიკის შესახებ და სწორედ მას ევალება მათემატიკის პირველი ოქროს ხანა. მისი გენიალურობის წყალობით, რიცხვებს აღარ იყენებდნენ მხოლოდ დათვლისა და გამოთვლებისთვის და პირველად აფასებდნენ. პითაგორასმა შეისწავლა რიცხვების გარკვეული კლასების თვისებები, მათ შორის ურთიერთობა და ციფრები, რომლებიც ქმნიან ციფრებს. პითაგორას ესმოდა, რომ ციფრები არსებობს მატერიალური სამყაროსგან დამოუკიდებლად და ამიტომ ჩვენი გრძნობების უზუსტობა გავლენას არ ახდენს რიცხვების შესწავლაზე. ეს ნიშნავდა, რომ პითაგორას შეეძლო ვინმეს აზრისა და ცრურწმენისგან დამოუკიდებელი ჭეშმარიტების აღმოჩენა. სიმართლე უფრო აბსოლუტურია, ვიდრე ნებისმიერი წინა ცოდნა. პითაგორას სამეულის შესახებ შესწავლილი ლიტერატურის საფუძველზე, ჩვენ დავინტერესდებით ტრიგონომეტრიის პრობლემების გადაჭრისას პითაგორას სამეული გამოყენება. ამიტომ, ჩვენ დავისახავთ მიზანს: შევისწავლოთ პითაგორას მრავალი სამეული, შევიმუშაოთ ალგორითმი მათი გამოყენებისათვის, შევადგინოთ მემორანდუმი მათი გამოყენების შესახებ, ჩავატაროთ კვლევა მათი გამოყენების შესახებ სხვადასხვა სიტუაციაში

სამკუთხედი ( სლაიდი 14), რომლის გვერდები ტოლია პითაგორას რიცხვებისა, მართკუთხაა. უფრო მეტიც, ნებისმიერი ასეთი სამკუთხედი არის ჰერონიკი, ე.ი. ერთი, რომელშიც ყველა მხარე და არეალი მთელი რიცხვია. მათ შორის ყველაზე მარტივი ეგვიპტის სამკუთხედია გვერდებით (3, 4, 5).

მოდით შევადგინოთ პითაგორას სამმაგი სერია რიცხვების (3, 4, 5) გამრავლებით 2, 3, 4-ზე. მივიღებთ პითაგორას სამმაგ რაოდენობას, დავალაგეთ მაქსიმალური რიცხვის ზრდადი თანმიმდევრობით, შეარჩიეთ პრიმიტიული.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III გაკვეთილების დროს

1. მოდით დავაბრუნოთ ამოცანები:

1) იმავე არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის ურთიერთობების გამოყენებით, იპოვნეთ თუ

ცნობილია რომ.

2) იპოვნეთ კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა ?, თუ ცნობილია, რომ:

3) სასწავლო დავალებების სისტემა თემაზე "დამატების ფორმულები"

იმის ცოდნა, რომ ცოდვა \u003d 8/17, cos \u003d 4/5 და პირველი კვარტლის კუთხეებია, იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამის ცოდნა და არის მეორე კვარტლის კუთხეები, sin \u003d 4/5, cos \u003d - 15/17, იპოვნეთ:.

4) სასწავლო დავალებების სისტემა თემაზე "ორმაგი კუთხის ფორმულები"

ა) მოდით ცოდვა \u003d 5/13, იყოს მეორე კვარტლის კუთხე. იპოვნეთ sin2, cos2, tg2, ctg2.

ბ) ცნობილია რომ tg? \u003d 3/4, არის მესამე კვარტლის კუთხე. იპოვნეთ sin2, cos2, tg2, ctg2.

გ) ცნობილია, რომ, 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

დ) ცნობილია, რომ , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

ე) იპოვნეთ tg (+) თუ ცნობილია, რომ cos \u003d 3/5, cos \u003d 7/25, სად და სად არის პირველი მეოთხედის კუთხეები.

ვ) იპოვნე , არის მესამე კვარტლის კუთხე.

ჩვენ პრობლემას ტრადიციული გზით ვაგვარებთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის გამოყენებით, შემდეგ კი იმავე პრობლემებს უფრო რაციონალურად ვწყვეტთ. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ალგორითმს პრობლემების გადასაჭრელად პითაგორას სამეულით. ჩვენ ვადგენთ მემორანდუმს პრობლემების გადასაჭრელად პითაგორას სამეულის გამოყენებით. ამისათვის გაიხსენეთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენცისა და კოტანგენტის განმარტება, მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხე, გამოსახეთ იგი, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე არსებული პრობლემის პირობებიდან გამომდინარე, სწორად მოაწყვეთ პითაგორას სამმაგი ( ლეღვი ერთი) ჩვენ ვიწერთ თანაფარდობას და ვათავსებთ ნიშნებს. შემუშავებულია ალგორითმი.

სურათი 1

პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი

თეორიული მასალის განხილვა (შესწავლა).

ზეპირად იცოდეთ პრიმატიული პითაგორას სამეული და საჭიროების შემთხვევაში შეძლებთ ახლის აგებას.

გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა რაციონალური კოორდინატების მქონე წერტილებისთვის.

იცოდეთ სინუსუსის, კოსინუსის, ტანგენციისა და მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის განმარტება, შეეძლოთ მართკუთხა სამკუთხედის დახაზვა და პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, სწორად მოაწყოთ პითაგორას სამეული სამკუთხედის გვერდებზე.

იცოდეთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენციისა და კოტანგენტის ნიშნები, მათი ადგილმდებარეობიდან გამომდინარე, კოორდინატთა სიბრტყეში.

აუცილებელი მოთხოვნები:

იცოდეთ რა ნიშნები აქვთ სინუსს, კოსინუსს, ტანგენსს, კოტანგენტს კოორდინაციის სიბრტყის თითოეულ მეოთხედში;
იცოდეს მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის განმარტება;
იცოდეთ და შეძლოთ პითაგორას თეორემის გამოყენება;
იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები, დამატების ფორმულები, ორმაგი კუთხის ფორმულები, ნახევრად არგუმენტირებული ფორმულები;
იცოდე ჩამოსხმის ფორმულები.

ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით შეავსეთ ცხრილი ( ცხრილი 1) იგი უნდა შეივსოს სინუსის, კოსინუსის, ტანგენციისა და კოტანგენტის განმარტებების შესაბამისად, ან რაციონალური კოორდინატების მქონე წერტილებისთვის პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ამ შემთხვევაში ყოველთვის საჭიროა დამახსოვრება სინუსის, კოსინუსის, ტანგენციისა და კოტანგენტის ნიშნები, მათი კოორდინაციის სიბრტყეში მდებარეობიდან გამომდინარე.

ცხრილი 1

რიცხვების სამმაგი		ცოდვა	კოს	tg	ctg
(3, 4, 5)	ნაწილი I
(6, 8, 10)	II ნაწილი			-	-
(5, 12, 13)	III ნაწილი	-	-
(8, 15, 17)	IV სთ	-		-	-
(9, 40, 41)	ნაწილი I

წარმატებული სამუშაოსთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შენიშვნა პითაგორას სამეულის გამოყენების შესახებ.

ცხრილი 2


(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. ჩვენ ერთად ვწყვეტთ.

1) პრობლემა: იპოვნეთ cos, tg და ctg თუ sin \u003d 5/13 თუ მეორე კვარტლის კუთხეა.

ვიტალი ჭია

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

სამეცნიერო პროექტების კონკურსი სკოლის მოსწავლეებისთვის

რეგიონული სამეცნიერო და პრაქტიკული კონფერენციის "ევრეკა" ფარგლებში

მცირე მეცნიერებათა აკადემია ყუბანის სტუდენტებისთვის

პითაგორას რიცხვების შესწავლა

განყოფილების მათემატიკა.

ჭია ვიტალი გენადიევიჩი, მე -9 კლასი

MOBU SOSH 14

კორენოვსკის რაიონი

Ხელოვნება. ჟურავსკაია

ხელმძღვანელი:

მანკო გალინა ვასილიევნა

მათემატიკის მასწავლებელი

MOBU SOSH 14

კორენოვსკი 2011 წ

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

პითაგორას რიცხვები

Ანოტაცია.

კვლევის თემა:პითაგორას რიცხვები

კვლევის მიზნები:

მათემატიკური შესაძლებლობების გამოვლენა და განვითარება;
მათემატიკური წარმოდგენის გაფართოება მოცემულ თემაზე;
საგნის მიმართ მდგრადი ინტერესის ფორმირება;
დამოუკიდებელი მუშაობის კომუნიკაციური და ზოგადი საგანმანათლებლო უნარების განვითარება, დისკუსიის წარმართვის უნარი, მიზეზი და ა.შ.
ანალიტიკური და ლოგიკური აზროვნების ფორმირება და განვითარება;

Კვლევის მეთოდები:

ინტერნეტ რესურსების გამოყენება;
საცნობარო ლიტერატურის მითითება;
ექსპერიმენტირება;

დასკვნა:

ეს ნამუშევარი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გეომეტრიის გაკვეთილზე, როგორც დამატებითი მასალა, მათემატიკაში არჩევითი კურსების ან არჩევითი საგნების ჩასატარებლად, ასევე მათემატიკაში კლასგარეშე მუშაობისთვის;

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

სამეცნიერო მრჩეველი: მანკო გალინა ვასილიევნა, MOBU MO14 საშუალო სკოლის მათემატიკის მასწავლებელი

შესავალი ………………………………………………………………… 3
Მთავარი ნაწილი

2.1 ისტორიული გვერდი 4

2.2 ლუწი და უცნაური ფეხების მტკიცებულება ... ... ... ............................. 5-6

2.3 მოძიების ნიმუშის წარმოება

პითაგორას რიცხვები …………………………………………………………… 7

2.4 პითაგორას რიცხვების თვისებები ……………………………………………… 8

3. დასკვნა …………………………………………………………………… 9

4. გამოყენებული წყაროებისა და ლიტერატურის ჩამონათვალი10

პროგრამები ................................................. .................................................. ......თერთმეტი

დანართი I ………………………………………………………………… 11

დანართი II ……………………………………………………………… ..13

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

შესავალი

მათემატიკის გაკვეთილზე გავიგე პითაგორას და მეხუთე კლასში მისი ცხოვრების შესახებ და მაინტერესებდა განცხადება "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით ტოლია". პითაგორას თეორემის შესწავლის დროს დავინტერესდი პითაგორას რიცხვებით.კვლევის მიზანი: შეიტყვეთ მეტი პითაგორას თეორემისა და "პითაგორას რიცხვების" შესახებ.

თემის აქტუალობა... პითაგორას თეორემის და პითაგორას სამეულის ღირებულება მრავალი საუკუნის განმავლობაში დადასტურებულია მსოფლიოს მრავალი მეცნიერის მიერ. პრობლემა, რომელიც ჩემს ნამუშევრებში განიხილება, საკმაოდ მარტივად გამოიყურება, რადგან ის ემყარება მათემატიკურ დებულებას, რომელიც ყველამ იცის - პითაგორას თეორემა: ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი ტოლია ფეხებზე აგებული კვადრატების ჯამის. ახლა ბუნებრივი რიცხვების სამჯერ x, y, z, რისთვისაცx 2 + y 2 \u003d z 2 , ჩვეულებრივია დარეკვაპითაგორას სამეული... გამოდის, რომ პითაგორას სამეული უკვე ცნობილი იყო ბაბილონში. თანდათან ბერძენმა მათემატიკოსებმაც იპოვნეს ისინი.

ამ სამუშაოს მიზანი

შეისწავლეთ პითაგორას რიცხვები;
გაიგეთ, როგორ მიიღება პითაგორას რიცხვები;
გაარკვიეთ რა თვისებები აქვთ პითაგორას რიცხვებს;
ექსპერიმენტულად პითაგორას რიცხვების გამოყენებით მიწაზე ააწყვეთ პერპენდიკულარული სწორი ხაზები;

სამუშაოს მიზნის შესაბამისად, ქვემოთ ჩამოთვლილთა რიცხვიდავალებები:

1. სიღრმისეულად შეისწავლოს პითაგორას თეორემის ისტორია;

2. ანალიზი უნივერსალური თვისებები პითაგორას სამეული.

3. პითაგორას სამეულის პრაქტიკული გამოყენების ანალიზი.

შესწავლის ობიექტი: პითაგორას სამეული.

სასწავლო საგანი: მათემატიკა .

Კვლევის მეთოდები: - ინტერნეტ რესურსების გამოყენება; - მითითება საცნობარო ლიტერატურაზე; -ექპერიმენტის ჩატარება;

თეორიული მნიშვნელობა:როლი მეცნიერებაში პითაგორას სამეულის აღმოჩენამ; პითაგორას აღმოჩენის პრაქტიკული გამოყენება ადამიანის ცხოვრებაში.

გამოყენებული მნიშვნელობა კვლევა მოიცავს ლიტერატურული წყაროების ანალიზს და ფაქტების სისტემატიზაციას.

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

პითაგორას რიცხვების ისტორიიდან.

Ანტიკური ჩინეთი:

ჩუ-პეის მათემატიკის წიგნი:[ 2]

"თუ სწორი კუთხე დაიშალა მის შემადგენელ ნაწილებად, მაშინ მისი გვერდების ბოლოების დამაკავშირებელი ხაზი იქნება 5, როდესაც ფუძე 3 იქნება და სიმაღლე 4".

ძველი ეგვიპტე: [2]

კანტორი (მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსი) თვლის, რომ თანასწორობა3 ² + 4 ² \u003d 5² ეგვიპტელებისათვის ეს უკვე ცნობილი იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2300 წელს. ე., მეფის დროსამენემხეთ (ბერლინის მუზეუმის 6619 პაპირუსის მიხედვით). კანტორის აზრითharpedonapts, ან "თოკის მჭიდები", აშენებული მართი კუთხეები მართკუთხა სამკუთხედების გამოყენებით 3 გვერდებით; 4 და 5.

ბაბილონია: [3]

”პირველი ბერძენი მათემატიკოსების, მაგალითად თალესის, პითაგორას და პითაგორას დამსახურებაა არა მათემატიკის აღმოჩენა, არამედ მისი სისტემატიზაცია და დასაბუთება. მათ ხელში, გაურკვეველ წარმოდგენებზე დაფუძნებული გამოთვლითი რეცეპტები გახდა ზუსტი მეცნიერება ”.

პითაგორას თეორემის ისტორია:

მიუხედავად იმისა, რომ ეს თეორემა ასოცირდება პითაგორას სახელს, იგი ცნობილი იყო მასზე დიდი ხნით ადრე.

ბაბილონის ტექსტებში ის გვხვდება პითაგორაზე 1200 წლით ადრე.

როგორც ჩანს, მან პირველმა იპოვა ამის მტკიცებულება. ამასთან დაკავშირებით გაკეთდა შემდეგი ჩანაწერი: "... როდესაც მან აღმოაჩინა, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზას შესაბამისი აქვს ფეხები, მან შესწირა ხორბლის ცომისგან დამზადებულ ხარს".

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

პითაგორას რიცხვების შესწავლა.

თითოეული სამკუთხედი, გვერდები უკავშირდება როგორც 3: 4: 5, ცნობილი პითაგორას თეორემის თანახმად, - მართკუთხა, რადგან

3 2 + 4 2 = 5 2.

3,4 და 5 რიცხვების გარდა, როგორც ცნობილია, a, b და c დადებითი რიცხვების უსასრულო სიმრავლე აკმაყოფილებს მიმართებას
A 2 + b 2 \u003d c 2.
ამ რიცხვებს უწოდებენპითაგორას რიცხვები

პითაგორას სამეული ცნობილია ძალიან დიდი ხნის განმავლობაში. ძველი სოპოტამიის საფლავის ქვების არქიტექტურაში არის იზოსელური სამკუთხედი, რომელიც შედგება ორი სწორკუთხა ფორმისგან, რომლის გვერდებია 9, 12 და 15 წყრთა. ფარაონის სნეფერუს პირამიდები (ძვ. წ. XXVII საუკუნე) აშენდა სამკუთხედების გამოყენებით 20, 21 და 29 მხარეებით, აგრეთვე 18, 24 და 30 ათეული ეგვიპტური წყრთა.[ 1 ]

მართკუთხა სამკუთხედს 3, 4 და ჰიპოტენუზა 5 ფეხები ეწოდება ეგვიპტის სამკუთხედს. ამ სამკუთხედის ფართობი უდრის სრულყოფილ რიცხვს 6. პერიმეტრია 12 - რიცხვი, რომელიც ითვლებოდა ბედნიერებისა და კეთილდღეობის სიმბოლოდ.

ძველი ეგვიპტელები კვანძებით დაყოფილ 12 ტოლ ნაწილად თოკით ააშენეს მართკუთხა სამკუთხედი და მართკუთხედი. მიწის მკვლევარების მიერ მოსახერხებელი და ძალიან ზუსტი მეთოდი, რომელიც იყენებენ მიწაზე პერპენდიკულარული ხაზების დასახატად. აუცილებელია ტვინისა და სამი ღეროების აღება, ტვინი მოთავსებულია სამკუთხედში ისე, რომ ერთი მხარე შედგება 3 ნაწილისაგან, მეორე 4 წილისაგან და ხუთიდან ასეთი ბოლო წილის ბოლო. ტვინი განლაგდება მართკუთხა სამკუთხედში.

ეს უძველესი მეთოდი, რომელიც აშკარად გამოიყენეს ათასობით წლის წინ ეგვიპტის პირამიდების მშენებლებმა, ემყარება იმ ფაქტს, რომ თითოეული სამკუთხედი, რომლის გვერდები 3: 4: 5-ით არის დაკავშირებული, პითაგორას თეორემის თანახმად, მართკუთხაა.

ევკლიდე, პითაგორა, დიოფანტე და მრავალი სხვა დაკავებული იყვნენ პითაგორას სამეული.[ 1]

გასაგებია, რომ თუ (x, y, z ) არის პითაგორას სამეული, მაშინ ნებისმიერი ბუნებრივიკ სამმაგი (kx, ky, kz) ასევე იქნება პითაგორას სამეული. კერძოდ, (6, 8, 10), (9, 12, 15) და ა.შ. პითაგორას სამეულია.

რიცხვების მატებასთან ერთად, პითაგორას სამეული უფრო და უფრო იშვიათია და მათი პოვნა უფრო და უფრო რთულდება. პითაგორალებმა მოიგონეს მიგნების მეთოდი

ასეთმა სამმაგმა და მათი გამოყენებით დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრია პითაგორას სამეული.

სამეულებს, რომლებსაც 1-ზე მეტი საერთო გამყოფი არ აქვთ, უმარტივესს უწოდებენ.

მოდით განვიხილოთ პითაგორას სამეულის რამდენიმე თვისება.[ 1]

პითაგორას თეორემის თანახმად, ეს რიცხვები შეიძლება ემსახურებოდეს ზოგიერთი მართკუთხა სამკუთხედის სიგრძეს; ამიტომ a და b ეწოდება "ფეხებს", ხოლო c - "ჰიპოტენუზა".
აშკარაა, რომ თუ a, b, c არის პითაგორას რიცხვების სამმაგი, მაშინ pa, pb, pc, სადაც p არის მთელი ფაქტორი, პითაგორას რიცხვებია.
საუბარი ასევე მართალია!
ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ შეისწავლით პითაგორას სადაზღვევო რიცხვების მხოლოდ სამეულს (დანარჩენი მიიღება მათგან p რიცხვის ფაქტორზე გამრავლებით).

მოდით აჩვენოთ, რომ თითოეულ ამ სამეულში a, b, c ერთი "ფეხი" უნდა იყოს ლუწი და მეორე კენტი. ჩვენ ვიკამათებთ "წინააღმდეგობით". თუ a და b ორივე "ფეხი" ლუწია, მაშინ a რიცხვი იქნება ლუწი2 + 2-ში და, შესაბამისად, "ჰიპოტენუზა". მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ ციფრები a, b და c არ აქვთ საერთო ფაქტორები, რადგან სამ ლუწ რიცხვს აქვს საერთო ფაქტორი 2. ამრიგად, a და b "ფეხიდან" ერთი მაინც არის უცნაური.

კიდევ ერთი შესაძლებლობა არსებობს: ორივე "ფეხი" უცნაურია, ხოლო "ჰიპოტენუზა" - ლუწი. ძნელი არ არის იმის დამტკიცება, რომ ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან თუ "ფეხები" ფორმის 2 x + 1 და 2y + 1 ფორმაა, მაშინ მათი კვადრატების ჯამია

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, ე.ი. არის რიცხვი, რომელიც 4-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 2. ამასობაში, ნებისმიერი კვადრატი ლუწი რიცხვი უნდა იყოფა 4-ზე დანარჩენის გარეშე.

ეს ნიშნავს, რომ ორი უცნაური რიცხვის კვადრატების ჯამი არ შეიძლება იყოს ლუწი რიცხვის კვადრატი; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენი სამი რიცხვი არ არის პითაგორასული.

დასკვნა:

ასე რომ, "ფეხებიდან", ერთში ლუწი და მეორე უცნაური. ამიტომ, რიცხვი a2 + 2-ში არის უცნაური, რაც ნიშნავს, რომ "ჰიპოტენუზა" ასევე უცნაურია.

პითაგორასმა იპოვა ფორმულები, რომლებიც თანამედროვე სიმბოლიკაში შეიძლება შემდეგნაირად დაიწეროს: a \u003d 2n + 1, b \u003d 2n (n + 1), c \u003d 2n 2 + 2n + 1, სადაც n არის მთელი რიცხვი.

ეს რიცხვები პითაგორას სამეულია.

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

პითაგორას რიცხვების პოვნის შაბლონების წარმოება.

აქ მოცემულია შემდეგი პითაგორას სამეული:

3, 4, 5; 9+16=25.
5, 12, 13; 25+144=225.
7, 24, 25; 49+576=625.
8, 15, 17; 64+225=289.
9, 40, 41; 81+1600=1681.
12, 35, 37; 144+1225=1369.
20, 21, 29; 400+441=881

ადვილი გასაგებია, რომ პითაგორას სამეული თითოეული რიცხვის გამრავლებით 2, 3, 4, 5 და ა.შ., მივიღებთ შემდეგ სამჯერ.

6, 8, 10;
9,12,15.
12, 16, 20;
15, 20, 25;
10, 24, 26;
18, 24, 30;
16, 30, 34;
21, 28, 35;
15, 36, 39;
24, 32, 40;
14, 48, 50;
30, 40, 50 და ა.შ.

ისინი ასევე პითაგორას რიცხვებია /

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

პითაგორას რიცხვების თვისებები.

პითაგორას რიცხვების დათვალიერებისას, ვნახე მთელი რიგი თვისებები:
1) პითაგორას ერთ-ერთი რიცხვი უნდა იყოს სამის ჯერადი;
2) სხვა მათგანი უნდა იყოს ოთხის ჯერადი;
3) და პითაგორას რიცხვების მესამედი უნდა იყოს ხუთის ჯერადი;

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

დასკვნა

გეომეტრია, ისევე როგორც სხვა მეცნიერებები, წარმოიშვა პრაქტიკის საჭიროებიდან. თვით სიტყვა "გეომეტრია" არის ბერძნული, რაც ნიშნავს "გამოკითხვას".

ხალხი ძალიან ადრე აღმოჩნდა გაზომვის აუცილებლობის წინაშე მიწა... უკვე 3-4 ათასი წელი ჩვ. ნაყოფიერი მიწის ყოველი ნაკვეთი ნილოსის, ევფრატისა და ტიგროსის ხეობებში, ჩინეთის მდინარეები მნიშვნელოვანი იყო ხალხის სიცოცხლისთვის. ამისათვის საჭიროა გარკვეული რაოდენობის გეომეტრიული და არითმეტიკული ცოდნა.

თანდათანობით, ადამიანებმა დაიწყეს უფრო რთული გეომეტრიული ფორმების თვისებების გაზომვა და შესწავლა.

როგორც ეგვიპტეში, ასევე ბაბილონში აშენდა კოლოსალური ტაძრები, რომელთა მშენებლობა მხოლოდ წინასწარი გათვლებით ხდებოდა. აშენდა წყლის მილსადენებიც. ამ ყველაფრისთვის საჭიროა ნახაზები და გამოთვლები. ამ დროისთვის პითაგორას თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევები კარგად იყო ცნობილი, მათ უკვე იცოდნენ, რომ თუ ავიღებთ სამკუთხედებს გვერდებზე x, y, z, სადაც x, y, z მთელი რიცხვია ისეთი, რომx 2 + y 2 \u003d z 2 , მაშინ ეს სამკუთხედები მართკუთხა იქნება.

მთელი ეს ცოდნა პირდაპირ გამოიყენებოდა ადამიანის ცხოვრების მრავალ სფეროში.

ამრიგად, ანტიკურ მეცნიერებისა და ფილოსოფოსის პითაგორას დიდი აღმოჩენა ჩვენს ცხოვრებაში პირდაპირ გამოყენებას პოულობს.

სახლების, გზების, კოსმოსური ხომალდების, მანქანების, ჩარხები, ნავთობსადენების, თვითმფრინავების, გვირაბების, მეტროს მშენებლობა და მრავალი სხვა. პითაგორას სამეულები უშუალო გამოყენებას პოულობენ მრავალი რამის დიზაინში, რომლებიც ყოველდღიურ ცხოვრებაში გვხვდება.

მეცნიერთა გონება განაგრძობს პითაგორას თეორემის მტკიცებულებების ახალ ვერსიებს.

IN ჩემი მუშაობის შედეგად მოვახერხე:
1. შეიტყვეთ მეტი პითაგორას, მისი ცხოვრების, პითაგორას ძმობის შესახებ.
2. გაეცანით პითაგორას თეორემის ისტორიას.
3. გაეცანით პითაგორას რიცხვებს, მათ თვისებებს, ისწავლეთ მათი პოვნა და პრაქტიკაში გამოყენება.

ვიტალი გენადიევიჩი ვორმიაკი

კრასნოდარის მხარე, სოფელი ჟურავსკაია, MOBU No 14 საშუალო სკოლა, მე -9 კლასი

პითაგორას რიცხვები

ლიტერატურა.

საინტერესო ალგებრა. ᲛᲔ ᲓᲐ. პერელმანი (გვ. 117-120)
www.garshin.ru
image.yandex.ru

4. ანოსოვი დ.ვ. მათემატიკის გადახედვა და ამის რაღაც. - მ .: MTsNMO, 2003 წ.

5. საბავშვო ენციკლოპედია. - მ.: RSFSR- ის პედაგოგიურ მეცნიერებათა აკადემიის გამომცემლობა, 1959 წ.

6. სტეპანოვა ლ.ლ. ელემენტარული რიცხვის თეორიის თავები. - მ .: პრომეთე, 2001 წ.

7. V. სერპინსკიის პითაგორას სამკუთხედები. - მ.: უჭპედგიზი, 1959. გვ .111

კვლევის მიმდინარეობა ისტორიული გვერდი; Პითაგორას თეორემა; დაამტკიცეთ, რომ ერთი "ფეხი" უნდა იყოს ლუწი და მეორე უცნაური; პითაგორას რიცხვების პოვნის შაბლონების წარმოება; გამოავლინეთ პითაგორას რიცხვების თვისებები;

შესავალი გავიგე პითაგორას და მეხუთე კლასში მისი ცხოვრების შესახებ მათემატიკის გაკვეთილზე და დამაინტერესა განცხადება "პითაგორას შარვალი ყველა მიმართულებით ტოლია". პითაგორას თეორემის შესწავლის დროს დავინტერესდი პითაგორას რიცხვებით. მე დავისახე კვლევის მიზანი: მეტი გაეცნო პითაგორას თეორემასა და "პითაგორას რიცხვებს".

სიმართლე მარადიული იქნება, რამდენად მალე გაიგებს სუსტი ადამიანი მას! ახლა კი პითაგორას ვერნის თეორემა, როგორც მის შორეულ საუკუნეში

პითაგორას რიცხვების ისტორიიდან. ძველი ჩინეთის მათემატიკური წიგნი ჩუ-პეი: "თუ სწორი კუთხე დაიშალა მის შემადგენელ ნაწილებად, მაშინ მისი გვერდების ბოლოების დამაკავშირებელი ხაზი იქნება 5, როდესაც ფუძე 3 და სიმაღლე 4".

პითაგორას რიცხვები ძველ ეგვიპტელებს კანტორში (მათემატიკის უდიდესი გერმანელი ისტორიკოსი) თვლის, რომ თანასწორობა 3 ² + 4 ² \u003d 5² ეგვიპტელებისათვის უკვე ცნობილი იყო ძვ. ძვ.წ. მეფე ამენემჰატის დროს (ბერლინის მუზეუმის 6619 პაპირუსის მიხედვით). კანტორის თანახმად, არფედონაპტებმა, ანუ "საბაგიროებმა" მართი კუთხეები ააშენეს 3 გვერდითი მართკუთხა სამკუთხედების გამოყენებით; 4 და 5.

პითაგორას თეორემა ბაბილონიაში „პირველი ბერძენი მათემატიკოსების ღვაწლი, როგორიცაა თალესი, პითაგორა და პითაგორაელები, იყო არა მათემატიკის აღმოჩენა, არამედ მისი სისტემატიზაცია და დასაბუთება. მათ ხელში, გაურკვეველ წარმოდგენებზე დაფუძნებული გამოთვლითი რეცეპტები გახდა ზუსტი მეცნიერება ”.

თითოეულ სამკუთხედს, გვერდები უკავშირდება როგორც 3: 4: 5, პითაგორას ცნობილი თეორემის თანახმად, - მართკუთხა, რადგან 3 2 + 4 2 \u003d 5 2. რიცხვების გარდა 3,4 და 5, არსებობს, როგორც მოგეხსენებათ, დაუსრულებელი დადებითი მთლიანი რიცხვი a , в და с, რომლებიც აკმაყოფილებენ А 2 + в 2 \u003d с მიმართებას. ამ რიცხვებს პითაგორას რიცხვებს უწოდებენ

პითაგორას თეორემის თანახმად, ეს რიცხვები შეიძლება ემსახურებოდეს ზოგიერთი მართკუთხა სამკუთხედის სიგრძეს; ამიტომ a და b ეწოდება "ფეხებს", ხოლო c - "ჰიპოტენუზა". აშკარაა, რომ თუ a, b, c არის პითაგორას რიცხვების სამმაგი, მაშინ pa, pb, pc, სადაც p არის მთელი ფაქტორი, არის პითაგორას რიცხვები. საუბარი ასევე მართალია! ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ შეისწავლით პითაგორას სადაზღვევო რიცხვების მხოლოდ სამეულს (დანარჩენი მიიღება მათგან p რიცხვის ფაქტორზე გამრავლებით)

დასკვნა! A და ერთი რიცხვებიდან არის ლუწი, ხოლო მეორე კენტი, რაც ნიშნავს რომ მესამე რიცხვიც კენტია.

აქ მოცემულია შემდეგი პითაგორას სამეული: 3, 4, 5; 9 + 16 \u003d 25. 5, 12, 13; 25 + 144 \u003d 169. 7, 24, 25; 49 + 576 \u003d 625. 8, 15, 17; 64 + 225 \u003d 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 \u003d 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 \u003d 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 \u003d 841

ადვილი გასაგებია, რომ პითაგორას სამეული თითოეული რიცხვის გამრავლებით 2, 3, 4, 5 და ა.შ., მივიღებთ შემდეგ სამჯერ. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 და ა.შ. ისინი ასევე პითაგორას რიცხვებია.

პითაგორას რიცხვების თვისებები პითაგორას რიცხვების განხილვისას, ვნახე მთელი რიგი თვისებები: 1) ერთ-ერთი პითაგორას რიცხვი უნდა იყოს სამის ჯერადი; 2) ერთი მათგანი უნდა იყოს ოთხის ჯერადი; 3) და პითაგორას სხვა რიცხვები უნდა იყოს ხუთიანის ჯერადი;

პითაგორას რიცხვების პრაქტიკული გამოყენება

დასკვნა: ჩემი მუშაობის შედეგად, მე მოვახერხე 1. შეიტყვეთ მეტი პითაგორას, მისი ცხოვრების, პითაგორას ძმობის შესახებ. 2. გაეცანით პითაგორას თეორემის ისტორიას. 3. გაეცანით პითაგორას რიცხვებს, მათ თვისებებს, ისწავლეთ მათი პოვნა. ექსპერიმენტულად - ექსპერიმენტულად გადადეთ სწორი კუთხე პითაგორას რიცხვების გამოყენებით.