Понятие о зонной теории твердого тела. Зонная теория твердых тел

В рамках модели электронного газа невозможно ответить на вопрос о том, почему одни вещества являются проводниками, вторые полупроводниками, а третьи изоляторами. Следует учесть взаимодействие между атомами и атомами и электронами. Допустим, что кристаллическая решетка металла или полупроводника образована в результате сближения атомов. Валентные электроны атомов металлов существенно слабее связаны с атомными ядрами, чем подобные электроны полупроводников. При сближении атомов электроны приходят во взаимодействие. Как следствие, валентные электроны отрываются от атомов металла и становятся свободными, имеющими возможность перемещаться по всему металлу. В полупроводниках из-за более сильной связи электронов с ядрами атомов для того чтобы валентный электрон оторвать необходимо сообщить ему энергию, которую называют энергией ионизации. Для различных полупроводников энергия ионизации различна от 0,1 до 2 эВ, тогда как средняя кинетическая энергия теплового движения атома порядка 0,04 эВ. Количество атомов, энергия которых больше или равна энергии ионизации относительно не велико. Следовательно, немного свободных электронов в полупроводниках. С повышением температуры, число атомов с энергией ионизации растет, значит, повышается электрическая проводимость полупроводника.

Процесс ионизации сопровождается обратным процессом -- рекомбинацией. В состоянии равновесия среднее число актов ионизации равно, количеству актов рекомбинации.

Понятие о зонной теории

В основе квантовой теории электропроводности твердых тел лежит зонная теория, которая основывается на изучении энергетического спектра электронов. Этот спектр делится на зоны, которые разделены запрещенными промежутками. В том случае, если в верхней зоне, где присутствуют электроны, они заполняют не все квантовые состояния (в пределах зоны имеется возможность для перераспределения энергии и импульса), то данное вещество -- проводник. Такая зона называется зоной проводимости, вещество -- проводник электрического тока, тип его проводимости -- электронный. Если в зоне проводимости много электронов и свободных квантовых состояний, то электропроводность большая. Электроны в зоне проводимости являются носителями заряда при прохождении электрического тока. Движение таких электронов описывается законами квантовой механики. Количество таких электронов невелико по сравнению с общим числом электронов.

Энергетические уровни

Энергетические уровни валентного электрона в одном изолированном атоме можно представить, как изображено на рис.1. По вертикали снизу вверх на рис.1 отложены: значения полной энергии электрона и отмечены минимальная энергия электронов проводимости $E_c\ $и наибольшая энергия связанных электронов $E_v.$ Возможные значения энергий электронов заполняют некоторую область или зону энергии $W\ge E_c$. Эта зона называется зоной проводимости. Энергии электронов связи образуют другую зону с $W\le E_v$. Данная зона называется зоной валентных электронов (валентной зоной). Эти зоны разделены энергетическим промежутком шириной:

Этот энергетический промежуток называется зоной запрещенных энергий. Если нет примесных атомов, и дефектов решетки, то стационарные движения электронов с энергией внутри запрещенной зоны невозможны.

Рисунок 1

Разрыв химической связи, который ведет к возникновению электрона проводимости и положительной дырки -- это электронный переход валентная зона -- зона проводимости (см. рис.1 цифра 1). Обратный процесс -- рекомбинация электрона проводимости и положительной дырки - электронный переход 2 (рис.1). При существовании атомов примеси возможно образование дискретных разрешенных уровней энергии (например, на рис.1 это уровень $E_d$). Эти уровни могут существовать не во всем объеме кристалла, а только в тех местах, где находится атомы примеси (эти уровни называют локальными). Каждый локальный уровень дает энергию электрона, когда он находится на примесном атоме. Локальные энергетические уровни делают возможными дополнительные электронные переходы. Так, ионизация донора с образованием электрона проводимости отражена на рис.1 электронным переходом 3. Обратный ему процесс захвата электрона на атом донора -- электронный переход 4 из зоны проводимости на незаполненный уровень донора.

Формирование энергетических зон

Решение задачи о движении электрона в поле периодического потенциала показывает, что существует систем зон разрешённых энергий (рис.2). Каждая зона ограничивается снизу некоторой энергией $W_{min}$ (дно зоны), а сверху имеет $W_{max}$ -- потолок зоны. Эти зоны отделены полосами запрещенных энергий. Ширина разрешенных зон увеличивается при увеличении энергии. Широкие верхние зоны могут перекрывать друг друга, так образуется единая сложная зона.

Допустим, что имеется N изолированных атомов, которые не взаимодействуют. В каждом из них энергия электронов может меняться только скачком, следовательно, характеризуется совокупностью резких, дискретных уровней энергии. В такой системе невзаимодействующих атомов вместо каждого атомного энергетического уровня существует N совпадающих уровней энергии. Сблизим атомы, до образования кристаллической решетки. Атомы начинают взаимодействовать, уровни энергии изменяются. Ранее совпадавшие N уровней энергии становятся различными. Такая система несовпадающих уровней энергии -- разрешенная зона энергий. Получается, что энергетические зоны появляются как результат расщепления дискретных уровней энергии электрона в атомах под действием атомов решетки.

Количество энергетических уровней в каждой зоне очень большое (порядка числа атомов в кристалле), энергетические уровни расположены близко. Значит, в некоторых случаях можно принять, что внутри зон энергия электрона изменяется непрерывно (как в классической теории). Но то, что количество уровней конечно, имеет принципиальное значение.

Итак, совокупность энергетических уровней, на которые расщепляется кратный уровень, называют энергетической зоной (зоной кристалла). Зона, появляющаяся в результате расщепления N- кратного вырожденного основного уровня, называется основой зоной, все остальные зоны являются зонам возбуждения.

Энергетические зоны нельзя отождествлять с пространственными зонами, областями пространства, где находится электрон. В зонной теории полагается, что электрон движется в постоянном электрическом поле, которое создается ионами и остальными электронами. Ионы имеют относительно большие массы и считаются неподвижными. Электроны учитываются суммарно. Они представляются как отрицательно заряженная жидкость, которая заполняет пространство между ионами. Роль электронов в такой модели сводится к компенсации заряд ионов. Электрическое поле модели периодично в пространстве, периодами являются пространственные периоды решетки. Задача сводится к задаче о движении одного электрона в постоянном периодическом поле. Решение такой задачи в квантовой механике ведет к зонной структуре энергетических уровней.

Пример 1

Задание: Опишите зонные структуры металлов, диэлектриков и полупроводников.

Электрические свойства тел связаны с шириной запрещенной энергетической зоны и различиями в заполнении разрешенных зон. Необходимое условие проводимости -- наличие в разрешенной зоне свободных энергетических уровней. На этот уровень поле сторонних сил может перевести электрон. Зону, которая заполнена частично или пустая называют зоной проводимости. Зона, заполненная электронами целиком, называется валентной. Металлы, диэлектрики и полупроводники различаются степенью заполнения валентной зоны электронами и шириной запретной зоны.

1. У металлов зона проводимости заполнена частично, имеет свободные верхние уровни. При T=0 валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Электронам, которые локализованы на верхних уровнях, достаточно сообщить энергию ${10}^{-23}-\ {10}^{-22}эВ$ для того, чтобы перевести их на более высокие уровни.
2. У диэлектриков первая, незаполненная зона, отделена от нижней целиком заполненной зоны широкой запрещенной зоной. Для перевода электрона в свободную зону ему требуется сообщить энергию большую или равную ширине запретной зоны. У диэлектриков ширина запрещенной зоны равна нескольким электрон вольтам. Тепловое движение не может переслать в свободную зону большое число электронов.
3. У кристаллических полупроводников ширина запрещенной зоны между полностью заполненной валентной зоной и первой незаполненной зоной не велика. Если ширина запретной зоны равна несколько десятых эВ, энергии теплового движения хватает для того, чтобы доставить электроны в свободную зону проводимости. При этом возможен переход электрона внутри валентной зоны на освободившиеся уровни.

Пример 2

Задание: Перечислите основные предположения зонной теории.

К основным предположениям зонной теории можно отнести:

1. Ионы в узлах кристаллической решетки рассматриваются как неподвижные, так как они имеют относительно большую массу. Ионы являются источниками электрического поля. Это поле действует на электроны.
2. Размещение положительных ионов является периодическим, так как они находятся в узлах идеальной кристаллической решетки.
3. Взаимодействие электронов заменяют эффективным внешним полем. Электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона. Это предположение позволяет заменить многоэлектронную задачу задачей с одним электроном.

Элементы физики твердого тела

§ 240. Понятие о зонной теории твердых тел

Используя уравнение Шредингера - ос­новное уравнение динамики в нерелятиви­стской квантовой механике,- в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энерге­тические состояния. Однако как в класси­ческой, так и в квантовой механике отсут­ствуют методы точного решения динами­ческой задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближен­но сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче - задаче об одном электроне, движущемся в заданном внеш­нем поле. Подобный путь приводит к зон­ной теории твердого тела.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово-механическая система разделя­ется на тяжелые и легкие частицы - ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Счи­тая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодиче­ском поле ядер.

Далее используется приближение са­мосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими элек­тронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обла­дающего периодичностью кристалличе­ской решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех дру­гих электронов и всех ядер. Таким образом, в рамках зонной теории много­электронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле - усредненном и со­гласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим мысленно процесс образо­вания твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т. е. на­ходятся друг от друга на макроскопиче­ских расстояниях, они имеют совпадаю­щие схемы энергетических уровней (рис. 313). По мере «сжатия» нашей моде­ли до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равны­ми межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется так называемый зонный энергетический спектр.

Из рис. 313; на котором показано рас­щепление уровней как функция расстоя­ния r между атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уров­ни внешних, валентных электронов, наибо-

лее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высо­кие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепля­ются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валент­ные же электроны «коллективизирова­ны» - принадлежат всему твердому телу.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кри­сталле валентные электроны атомов, свя­занные слабее с ядрами, чем внутрен­ние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т. е. перемещаться без изменений полной энергии (туннель­ный эффект, см. § 221). Это приводит к то­му, что среднее время жизни т валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10 -1 5 с (для изолированного атома оно примерно 10 -8 с). Время же жизни элек­трона в каком-либо состоянии связано с неопределенностью его энергии (шири­ной уровня) соотношением неопределенно­стей E~h/ (см. (215.5)). Следователь­но, если естественная ширина спектраль­ных линий составляет примерно 10 -7 эВ, то в кристаллах E1 - 10 эВ, т. е. энер­гетические уровни валентных электронов расширяются в зону дозволенных значе­ний энергии.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашен­ных на рис. 313 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетиче­скими уровнями в зоне составляет при­близительно 10 -2 2 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практи­чески непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важ­ную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В запрещенных зонах электроны находиться не могут. Ши­рина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разре­шенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Понятие о зонной теории твердых тел

В рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле -- усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Рассмотрим «процесс образования» твердого тела из изолированных атомов.

Пока атомы изолированы, т. е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 1).

Рисунок 1 Энергетические уровни изолированных атомов

По мере «сжатия» модели до кристаллической решетки, т. е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуется зонный энергетический спектр.

Заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо.

Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» -- принадлежат всему твердому телу.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 1 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10 -22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям.

Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами.

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком.

Валентная зона полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов.

З о на проводимости (свободн ая зон а) либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая (рис. 2).

Рисунок 2 Энергетические зоны

На рис. 2, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT 10 -4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10 -22 эВ). Таким образом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 2, б). Это имеет место для щелочно-земельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn,...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочно-земельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны E.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком , оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 2, в).

Если запрещенная зона достаточно узка (Е порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию Е, и кристалл является полупроводником (рис. 2, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl Е = 6 эВ), для полупроводников -- достаточно узка (например, для германия E = 0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.

Собственная проводимость полупроводников

зонный твердый энергетичекий электрон

Полупроводниками являются твердые тела, которые при Т = 0 характеризуются полностью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости сравнительно узкой (Е порядка 1 эВ) запрещенной зоной. Электропроводность полупроводников меньше электропроводности металлов и больше электропроводности диэлектриков.

В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IV, V и VI групп таблицы Менделеева), например Si, Ge, As, Se, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элементов различных групп.

Различают собственные и примесные полупроводники.

Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью (химически чистые Ge, Se, многие химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.)

При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости II (рис. 3,а). При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. Таким образом, зона II из-за ее частичного «укомплектования» электронами становится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или проводимостью n-т и па (от лат. negative -- отрицательный).

Рисунок 3 Собственная проводимость полупроводников

В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место -- дырку -- может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами -- дырками, называется дырочной проводимостью или проводимостью р-типа (от лат. positive -- положительный).

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно n е и n р , то

n е = n р . (1)

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т. е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны (рис. 3,б). Для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны E. При появлении же электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.

Удельная проводимость собственных полупроводников

где 0 -- постоянная, характерная для данного полупроводника.

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры является их характерной особенностью (у металлов с повышением температуры проводимость уменьшается). С точки зрения зонной теории с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости. Поэтому удельная проводимость собственных полупроводников с повышением температуры растет.

Наиболее распространенным из полупроводниковых элементов является германий, имеющий решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными связями с четырьмя ближайшими соседями. Упрощенная плоская схема расположения атомов в кристалле Ge дана на рис. 4, где каждая черточка обозначает связь, осуществляемую одним электроном. В идеальном кристалле при 0 К такая структура представляет собой диэлектрик, так как все валентные электроны участвуют в образовании связей и, следовательно, не участвуют в проводимости. При повышении температуры (или под действием других внешних факторов) тепловые колебания решетки могут привести к разрыву некоторых валентных связей, в результате чего часть электронов отщепляется и они становятся свободными. В покинутом электроном месте возникает дырка (она изображена белым кружком), заполнить которую могут электроны из соседней пары. В результате дырка, так же как и освободившийся электрон, будет двигаться по кристаллу. Движение электронов проводимости и дырок в отсутствие электрического поля является хаотическим. Если же на кристалл наложить электрическое поле, то электроны начнут двигаться против поля, дырки -- по полю, что приведет к возникновению собственной проводимости германия, обусловленной как электронами, так и дырками.

Рисунок 4 Кристаллическая решетка германия

В полупроводниках наряду с процессом генерации электронов и дырок идет процесс рекомбинация: электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке и испуская кванты электромагнитного излучения. В результате для каждой температуры устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Объединение изолированных атомов в кристалл. Схема локальных энергетических уровней электронов. Основные элементы зонной теории. Особенность состояний электронов в кристаллах. Уменьшение сопротивления металлов. Физические основы квантовой электроники.

контрольная работа , добавлен 09.01.2012


Описание зонной теории твердого тела. Трансляционная симметрия в кристаллах. Потенциальная яма. Освобождение электрона. Обобществление валентных электронов в кристалле. Потенциальные ямы в кристалле. Зонная структура кристалла. Свободный электронный газ.

презентация , добавлен 03.04.2019


Главные приближения, лежащие в основе зонной теории. Кристаллическая решетка полупроводника, его энергетические уровни. Наличие электронов в зоне проводимости или наличие вакантных мест в валентной зоне, необходимое для возникновения электропроводности.

реферат , добавлен 30.06.2015


курсовая работа , добавлен 09.06.2015


Особенности определения зонной структуры по заданным направлениям в зоне Брюллюэна. Определение на ней положения примесных акцепторных состояний EA и значений эффективных масс. Составление блока численных значений для основных параметров полупроводников.

контрольная работа , добавлен 23.12.2009


Электронное строение атомов переходных элементов. Физические свойства редкоземельных металлов, их применение. Решение уравнения Шредингера для кристалла. Современные методы расчета зонной структуры. Расчет электрона энергетического спектра неодима.

дипломная работа , добавлен 27.08.2012


Эволюция представлений о строении атомов на примере моделей Эрнеста Резерфорда и Нильса Бора. Стационарные орбиты и энергетические уровни. Объяснение происхождения линейчатых спектров излучения и поглощения. Достоинства и недостатки теории Н. Бора.

реферат , добавлен 19.11.2014


Электрофизические свойства полупроводников. Структура полупроводниковых кристаллов. Элементы зонной теории твердого тела. Микроструктурные исследования влияния электронного облучения на электрофизические характеристики полупроводниковых приборов.

курсовая работа , добавлен 18.09.2015


Особенности электростатического взаимодействия между электронами в атомах. Уравнение полной потенциальной энергии электрона. Понятие и примеры электронных конфигураций атома. Расчет энергии состояний. Последовательность заполнения электронных оболочек.

презентация , добавлен 19.02.2014


Поиск эффективных методов преподавания теории вращательного движения в профильных классах с углубленным изучением физики. Изучение движения материальной точки по окружности. Понятие динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основываясь лишь на модели электронного газа невозможно объяснить тот факт, что одни вещества представляют собой проводники, вторые полупроводники, а третьи изоляторы. Стоит принимать во внимание взаимодействие между атомами и электронами. Предположим, что кристаллическая решетка металла или полупроводника сформирована как результат сближения атомов. Связь с атомными ядрами валентных электронов атомов металлов проявляет себя гораздо слабее, чем связь с подобными электронами полупроводников. При условии сближения атомов электроны приходят во взаимодействие. В результате валентные электроны разрывают свою связь с атомами металла, что делает их свободными, обладающими возможностью перемещаться по всему металлу.

Определение 1

В полупроводниках, по причине существенно более сильной связи электронов с ядрами атомов, для того, чтобы разорвать связь валентного электрона нужно сообщить ему так называемую энергию ионизации .

Для разных полупроводников величина энергии ионизации может колебаться от 0 , 1 до 2 э В, в то же время средняя кинетическая энергия теплового движения атома близка к 0 , 04 э В. Количество атомов, энергия которых выше или эквивалентна энергии ионизации, относительно невелико. Соответственно, свободных электронов в полупроводниках не много. С увеличением температуры, число атомов с энергией ионизации повышается, а это значит, что растет и электрическая проводимость полупроводника.

За процессом ионизации всегда идет сопровождение в виде обратного процесса, а именно рекомбинация. В условиях состояния равновесия среднее число актов ионизации эквивалентно количеству актов рекомбинации.

Понятие о зонной теории

Определение 2

Квантовая теория электропроводности твердых тел основывается на так называемой зонной теории твердых тел, которая заключается в изучении энергетического спектра электронов.

Определение 3

Данный спектр подразделяется на разделенные запрещенными промежутками зоны. В случае, если в верхней зоне, где определяется присутствие электронов, они не заполняют каждое из квантовых состояний (в пределах зоны может быть проведено перераспределение энергии и импульса), то данное вещество представляет собой проводник. Подобная зона носит название зоны проводимости , вещество - проводника электрического тока , тип проводимости такого вещества является электронным .

Если в зоне проводимости находится большое количество электронов и свободных квантовых состояний, то значение электропроводности велико. Электроны в условиях зоны проводимости при прохождении электрического тока определяются как носители заряда. Процесс движения подобных электронов может быть описан с помощью законов квантовой механики. Если проводить сравнение с общим количеством электронов, то число таких электронов может считаться малым.

Энергетические уровни валентного электрона в одном изолированном атоме могут быть представлены таким образом, как это проиллюстрировано на рисунке 1 . Снизу вверх по вертикали на рисунке 1 откладываются: величины полной энергии электрона, а также отмечаются минимальная энергия электронов проводимости E c с наибольшим значением энергии связанных электронов E v . Вероятные значения энергий электронов заполняют собой некоторую область или же так называемую зону энергии W ≥ E c . Такая зона представляет собой зону проводимости. Энергии электронов связи формируют другую зону с W ≤ E v . Приведенная зона носит название зоны валентных электронов или, другими словами, валентной зоны. Данные зоны разделены энергетическим промежутком с шириной, определяемой с помощью следующего выражения: E g = E c − E v .

Такой энергетический промежуток представляет собой зону запрещенных энергий. В условиях отсутствующих примесных атомов, а также дефектов решетки, стационарные движения электронов с энергией внутри запрещенной зоны не представляются возможными.

Рисунок 1

Определение 4

Процесс разрыва химической связи, который провоцирует возникновение электрона проводимости и положительной дырки, носит название электронного перехода .

Определение 5

Валентная зона - зона проводимости (смотрите рисунок 1 цифра 1).

Обратный процесс определяется как рекомбинация электрона проводимости и положительной дырки (электронный переход 2 , рисунок 1). В условиях существования атомов примеси вероятно возникновение дискретных разрешенных уровней энергии как,например, уровень E d , проиллюстрированный на рисунке 1 . Данные уровни могут существовать не во всем объеме кристалла, а лишь в местах нахождения атомов примеси (такие уровни определяются как локальные). Каждый из локальных уровней производит энергию электрона, в случае его нахождения на примесном атоме. Локальные электронные уровни дают возможность дополнительных электронных переходов. Как пример, ионизация донора с образованием электрона проводимости проиллюстрирована на рисунке 1 в виде электронного перехода 3 . Роль обратного ему процесса захвата электрона на атом донора играет электронный переход 4 из зоны проводимости на незаполненный уровень донора.

Образование энергетических зон

Из решения задачи о движении электрона в поле периодического потенциала можно сделать вывод, что имеет место система зон разрешённых энергий (рисунок 2). Каждая из зон ограничивается снизу некоторой энергией W m i n или, другими словами, дном зоны, а сверху так называемым потолком зоны W m a x . Данные зоны разделены полосами запрещенных энергий. Ширина разрешенных зон в условиях увеличения энергии возрастает. Возможно перекрытие друг друга широкими зонами, такое явление провоцирует образование единой сложной зоны. Предположим, что существует N изолированных атомов, которые никоим образом не взаимодействуют. В каждом из таких атомов энергия электронов может претерпевать изменения только в виде скачка, таким образом, она характеризуется совокупностью резких, дискретных уровней энергии. В данной системе невзаимодействующих атомов роль каждого атомного энергетического уровня играет N совпадающих уровней энергии. Сократим расстояние между атомами до формирования кристаллической решетки. Атомы начинают взаимодействовать друг с другом, а уровни энергии изменяются. Ранее совпадающие N уровней энергии начинают разниться. Подобная система несовпадающих уровней энергии носит название разрешенной зоны энергий.

Выходит, что энергетические зоны возникают в качестве результата расщепления дискретных уровней энергии электрона в атомах, вызванного действием атомов решетки. Количество энергетических уровней в каждой из зон крайне большое (порядка числа атомов в кристалле), энергетические уровни расположены довольно близко. Таким образом, в некоторых случаях можно принять, что внутри зон энергия электрона претерпевает непрерывные изменения (как это происходит в классической теории). Однако тот факт, что количество уровней конечно, имеет принципиальное значение. Совокупность энергетических уровней, на которые расщепляется кратный уровень, представляет собой так называемую энергетическую зону или, другими словами, зону кристалла. Зона,возникающая как результат расщепления N -кратного вырожденного основного уровня, носит название основной зоны, все остальные зоны определяются как зоны возбуждения.

Замечание 1

Энергетические зоны не могут быть отождествлены с пространственными зонами, областями пространства, в которых находится электрон.

В рамках зонной теории принимается тот факт, что электрон движется в постоянном электрическом поле, которое формируется ионами и остальными электронами. Ионы обладают сравнительно большими массами и считаются неподвижными. Электроны учитываются суммарно. Они определяются в виде отрицательно заряженной жидкости, которая заполняет пустующее пространство между ионами. В подобной модели роль электронов заключается в компенсации заряда ионов. Электрическое поле модели периодично в пространстве, место периодов занимают пространственные периоды решетки. Задание сводится к задаче о движении одного электрона в постоянном периодическом поле. Решение данной задачи в квантовой механике приводит к зонной структуре энергетических уровней.

Пример 1

Дайте описание зонных структур металлов, диэлектриков и полупроводников.

Решение

Электрические свойства тел зависимы от ширины запрещенной энергетической зоны и различий в заполнении разрешенных зон. Существование в разрешенной зоне свободных энергетических уровней является необходимым условием возникновения проводимости. На данный уровень поле сторонних сил может перенести электрон. Зону, которая является пустой или же заполнена лишь частично определяется как зона проводимости. В свою очередь, зона, заполненная электронами полностью, носит название валентной. Металлы, диэлектрики и полупроводники отличаются в области степени заполнения валентной зоны электронами, а также шириной запретной зоны. У металлов зона проводимости является частично заполненной и обладает свободными верхними уровнями. При условии T = 0 валентные электроны попарно заполняют нижние уровни валентной зоны. Локализованным на верхних уровнях электронам для того, чтобы перевести их на более высокие уровни достаточно подвести энергию 10 - 23 - 10 - 22 э В. У диэлектриков первая, являющаяся незаполненной зона, отделена от целиком заполненной нижней зоны с помощью широкой запрещенной зоны. Чтобы перевести электрон в свободную зону необходимо сообщить энергию большую или же эквивалентную ширине запретной зоны. Ширина запрещенной зоны диэлектриков является равной нескольким электрон вольтам. Тепловое движение не имеет возможности перевести в свободную зону большое количество электронов. У кристаллических полупроводников ширина запрещенной зоны между полностью заполненной валентной зоной и первой незаполненной зоной довольно мала. Если ширина запретной зоны эквивалентна нескольким десятым э В, энергии теплового движения хватает для того, чтобы перевести электроны в свободную зону проводимости. При этом вероятен переход электрона внутри валентной зоны на освободившиеся уровни.

Пример 2

Перечислите основные предположения зонной теории.

Решение

В качестве основных предположений зонной теории можно привести следующие:

• Ионы в узлах кристаллической решетки рассматриваются как неподвижные, так как они имеют относительно большую массу.
• Ионы являются источниками электрического поля. Это поле действует на электроны. Размещение положительных ионов является периодическим, так как они находятся в узлах идеальной кристаллической решетки.
• Взаимодействие электронов заменяют эффективным внешним полем. Электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона. Это предположение позволяет заменить многоэлектронную задачу задачей с одним электроном.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Зонная теория твердых тел

1. Металлы, хорошо проводят электрический ток.

Диэлектрики (изоляторы) плохо проводят ток.

Электропроводность металлов 10 6 – 10 4 (Ом×см) -1

Электропроводность диэлектриков менее 10 -10 (Ом×см) -1

Твердые тела с промежуточной электропроводностью называются полупроводниками.

2. Различие полупроводников и металлов проявляется в характере зависимости электропроводности от температуры.

Рис.1

С понижением температуры проводимость металлов возрастает, и для чистых металлов стремится к бесконечности при приближении к абсолютному нулю. У полупроводников, напротив, с понижением температуры проводимость убывает, а вблизи абсолютного нуля полупроводник становится изолятором.

3. Ни классическая электронная теория электропроводности, ни квантовая теория, основанная на модели свободных фермианов, не может дать ответа на вопрос, почему одни тела являются полупроводниками, а другие проводниками или диэлектриками.

4. Для ответа на вопрос необходимо методами квантовой механики рассмотреть вопрос взаимодействия валентных электронов с атомами кристаллической решетки.

5. Решить уравнение Шредингера с числом переменных порядка 10 23 – это математическая задача безнадежной трудности.

Поэтому современная квантовая теория твердого тела основывается на ряде упрощений. Такой теорией является теория твердого тела. Название связано с характерной группировкой энергетических уровней электронов в кристаллах в зоны уровней.

В основе зонной теории лежат следующие предположения:

1) При изучении движения валентных электронов положительные ионы кристаллической решетки, ввиду их большой массы, рассматриваются как неподвижные источники поля, действующего на электроны.

2) Расположение положительных ионов в пространстве считается строго периодическим: они размещаются в узлах идеальной кристаллической решетки данного кристалла.

3) Взаимодействие электронов друг с другом заменяется некоторым эффективным силовым полем.

Задача сводится к рассмотрению движения электрона в периодическом силовом поле кристалла.

Потенциальная энергия электрона U(r) периодически изменяется.

§2. Простейшая модель кристаллического тела

Это модель одномерная Кронига - Пенни, периодическое электрическое поле положительных ионов кристалла апроксимируется потенциалом типа «зубчатой стенки».

Рис.2

На рисунке изображено чередование потенциальных ям и барьеров.

Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямы:

Решение для потенциального барьера:

где ;

, .

X n – координата отсчитывается от начала n го участка. Записывают для каждой ямы и барьера, потом «сшивают» решения и получают основное уравнение для определения энергетических уровней в периодическом поле кристалла.

(3)

где -площадь зубца.

Рис.3

Графическое изображение решения уравнения Шредингера по Кронигу – Пенни.

Cos k′a может меняться в пределах от –1 до +1.

Провели параллельные прямые оси абсцисс и находим точки пересечения этих прямых с графиком, опускаем перпендикуляры и находим корни уравнения (3). Эти участки обозначены жирными линиями. Таким образом допустимые значения Е(к) имеют дискретный характер (зонный). Если ось (Ка) перевернуть в вертикальное положение, то получим картину расположения энергетических зон, разрешенных и запрещенных.

Рис.4

На рис.4 энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру.

L – длина кольца цепочки.

Значения волновых векторов . α - постоянная решетки.

Зону, произошедшую от валентных уровней атомов, образующих кристалл, называют валентной зоной.

Зоны, произошедшие от внутренних уровней, всегда полностью заполнены электронами.

Частично заполненной или незаполненной может быть внешний валентный уровень (зона проводимости).

Рис.5 Рис.6

Наиболее слабо связаны 3S-электроны. При образовании твердого тела из отдельных атомов происходит перекрытие волновых функций этих электронов.

Пространственная протяженность электронных волновых функций зависит от квантовых чисел. Для больших квантовых чисел электронные волновые функции простираются на большие расстояния от ядра, для этих уровней взаимное влияние атомов будет проявляться при больших расстояниях между атомами. Что хорошо видно на рис.7, на примере уровней атомов натрия. На уровнях 1S, 2S, 2P практически не сказывается влияние соседних атомов, тогда как для уровней 3S, 3P и более высоких уровней это влияние существенно и эти уровни превращаются в энергетические зоны. Для 3S – электронов имеется энергетический минимум, обеспечивающий устойчивую твердотельную конфигурацию атомов натрия при средней межатомной расстоянии R~ 3А. В атоме натрия на энергии 3S – электрона сказывается влияние соседних атомов, означает также заметное перекрытие волновых функций этих электронов. Поэтому уже нельзя говорить о том, что конкретный 3S – электрон связан с каким-то конкретным атомом. Когда присутствие других атомов изменяет потенциальную яму отдельного атома (рис.5, рис.6), результирующий кулоновский потенциал уже не будет удерживать 3S – электроны около конкретных атомов, так что они могут находиться в твердом теле где угодно в результате перекрытия волновых функций 3S – электронов. Но 3S – электроны не могут свободно покидать твердое тело, так как их волновые функции не «выходят» за пределы вещества. Энергия связи электронов в твердом теле равна работе выхода φ.

Твердое тело из четырех атомов будет иметь всего четыре уровня, распределенные по некоторому энергетическому интервалу.

Рис.8

Например: в основном состоянии атома водорода электрон может находиться в одном из двух состояний – со спином вверх или вниз. В системе четырех протонов имеется восемь возможных состояний. Но если добавить еще три электрона, чтобы получить четыре атома водорода, то занятыми окажутся четыре состояния и на каждый электрон будет приходиться по два состояния. Эффект сближения атомов проявляется в изменении энергии отдельных состояний

где - энергия изолированного атома, - изменения энергии, связанные с влиянием соответствующих протонов 2, 3, 4. R – расстояние между атомами.

Эффект сближения атомов проявляется в увеличении общего числа уровней. В реальном теле содержится порядка 10 23 отдельных уровней, которые непрерывно распределяются внутри некоторого интервала, образуя зону разрешенных значений энергии (рис.9). Такая же ситуация в основном имеет место для валентных электронов любого атома.

Рис.9

В твердом натрии зона 3S – электронов является внешней, наполовину заполненной. Верхняя граница заполненных уровней приходится на середину зоны. Электрон может перейти на более высокий свободный уровень в этой зоне за счет теплового или электрического возбуждения. Следовательно, твердый натрий обладает хорошей электропроводностью и теплопроводностью. На рис.10 зонная структура проводников (натрия). Верхняя зона – частично заполненная зона. Нижние зоны - заполненные электронами.

Если число энергетических уровней в зоне больше числа электронов в ней, то электроны легко возбуждаются, обеспечивая тем самым проводимость, если же все уровни в зоне заполнены, то проводимость невозможна или затруднена.

Например: в кремнии, германии, углероде (алмаз) на P – оболочке имеются два электрона и возникает смешанная конфигурация S и P – орбиталей (орбиталь – волновая функция, описывающая данное квантовое состояние), которая делает особенно благоприятной конфигурацию из четырех атомов, изображенную на рис.11 (энергия кулоновского отталкивания электронов минимальна).

Рис.11

Волновые функции S и P – электронов образуют одну совершенно пустую гибридную SP – зону и одну заполненную гибридную SP – зону. Заполненная и пустая зоны разделены довольно значительным энергетическим интервалом или зоной запрещенных значений энергии. Для изоляторов типичное значение ширины запрещенной зоны ~ 5 эв и больше. Ширина запрещенной зоны для полупроводников (германия 0,67 эв, кремния 1,12 эв) находится в пределах 0,1 ¸ 3 эв.

Полупроводники и изоляторы отличаются друг от друга только шириной запрещенной зоны.

§ Теорема Блоха

Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны

На функцию , которая является периодической функцией в кристаллической решетке:

Индекс в указывает, что эта функция зависит от волнового вектора .

Волновую функцию называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бегущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами.

Рис.13

Форма волнового пакета при t=0 для дебройлевских волн . Амплитуда указана штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плоской волны вдоль оси Х можно описать функцией

(1)

Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы.

(2)

Если время изменится на величину ∆t, то для того, чтобы соблюдалось условие (2), координата должна измениться на величину ∆х, которая может быть найдена из равенства

т.е. (3)

Отсюда скорость распространения постоянной фазы, получившей название фазовой скорости:

(4)

Фазовая скорость фотонов (m 0 = 0) равна скорости света

(5)

Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V, можно написать

(7)

, (7)

т.е. она становится больше скорости света, поскольку V< с. Это говорит о том, что фазовая скорость не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.

Реальный процесс не может быть чисто монохроматическим (k = const). Он всегда обладает определенной шириной, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.

С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнового пакета распространятся со скоростью, которая получила название групповой скорости.

Амплитуда В волнового пакета

где A – амплитуда постоянная каждой из этих волн.

В распространяется со скоростью

Для фотонов (m 0 = 0)

Для дебройлевских волн

т.е. групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы.

В точках и т.д.

Квадрат амплитуды обращается в нуль.

Область локализации волнового пакета

,

где - ширина волнового пакета.

где - время расплывания волнового пакета.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Чем меньше , тем шире . Для монохроматической волны

где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай.

Для нерелятивистского случая (m = m 0) время расплывания волнового пакета

если m = 1г, ,то

время расплывания чрезвычайно велико. В случае электрона m 0 ~ 10 -27 г (размеры атома),

т.е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение, т.к. волновой пакет расплывается практически мгновенно.

Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времени, т.к. фотон всегда релятивистская частица.

Движение электрона в кристалле

Закон движения, сравнивая с

где

где m* - эффективная масса, она учитывает совместное действие потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле.

В зоне проводимости,

В валентной зоне

В валентной зоне, но в зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Эффективные массы всегда выражаются в долях истинной массы m 0 = 9·10 -28 г

Эффективная масса – тензорная величина, в различных направлениях она различна, что является следствием анизотропных свойств кристаллов.

Е к – уравнение эллипсоида вращения и описывается двумя значениями масс и

Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е и K

Е(К) – функция квазиимпульса. Энергия электрона в идеальной решетке есть периодическая функция квазиимпульса.

Импульс электрона

Дырки – квазичастицы с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергии вглубь валентной зоны. Для дырок и электронов отсчет энергий в противоположных направлениях.

Электроны и дырки, обладающие волновым вектором , могут сталкиваться с другими частицами или полями, как если бы они имели импульс

Называется квазиимпульсом.

Обозначение	Название
	Электрон	-
	Фотон	Электромагнитная волна
	Фонон	Упругая волна
	Плазмон	Коллективная электронная волна
	Магнон	Волна перемагничивания
---	Полярон	Электрон + упругая деформация
---	Экситон	Волна поляризации

На фононах рассеиваются рентгеновские лучи, нейтроны.

Импульсу в квантовой механике отвечает оператор .

т.е. плоская волна Ψ к является собственной функцией оператора импульса , причем собственными значениями оператора импульса служат

Энергия Ферми определяется как энергия электронов на высшем заполненном уровне

где n F – квантовое число наивысшего занятого энергетического уровня.

где N – число электронов в объеме

Энергия - квадратичная функция квантового числа n F .

Волновые функции, удовлетворяющие уравнения Шредингера, для свободной частицы в периодическом поле представляют собой бегущие плоские волны:

при условии, что компоненты волнового вектора принимают значения

аналогичные наборы для K y и K z . Любая компонента вектора имеет вид

n – целое положительное или отрицательное число. Компоненты являются квантовыми числами наряду с квантовыми числами

задающим направление спина.

т.е. собственные значения энергии состояний с волновым вектором

В основном состоянии (1S) системы из N свободных электронов занятые состояния можно описывать точками внутри сферы в К – пространстве. Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы, «упирающиеся» в поверхность этой сферы, имеют длины, равные K F , а сама поверхность называется поверхностью Ферми (в данном состоянии она является сферой). K F - радиус этой сферы

где – энергия электрона с волновым вектором , оканчивающимся на поверхности сферы.

Каждой тройке квантовых чисел K x , K y , K z отвечает элемент объема в К – пространстве величиной . поэтому в сфере объемом число точек, описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек объемом , и поэтому число разрешенных состояний равно

где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых значения спинового квантового числа

для каждого разрешенного значения

Полное число состояний равно числу электронов N.

Радиус сферы Ферми K F зависит лишь от концентрации частиц и не зависит от массы m

Энергию Ферми можно определять как энергию таких квантовых состояний, вероятность заполнения которых частицей равна 1/2.

если Е=Е F , то

значение ее можно рассчитать при Т=0 по формуле

Но абсолютный нуль температуры понимается как предел

имея в виду, что абсолютный нуль не достижим и плюс принцип Паули.

Обычно рассматриваются системы не только при Т = 0, но и при любой температуре, если граничная энергий , это условие вырождения, функция распределения таких частиц близка к «ступеньке»

Для таких систем, где можно пренебречь зависимостью Е F от температуры и считать

Существуют таблицы параметров поверхности Ферми для ряда металлов, вычисленных для модели свободных электронов для комнатной температуры (Т = 300 0 К).

Концентрация электронов определяется произведением валентности металла на число электронов в 1 см 3 .

то получим:

Или, если ,

Например: Li

Валентность – 1,

*r 0 – радиус сферы, содержащей один электрон.

L н – боровский радиус 0,53×10 -8 см.

* безразмерный параметр

Волновой вектор К F = 1,11×10 8 см -1 ;

Скорость Ферми V F = 1,29×10 8 см/с;

Энергия Ферми .

Температура Ферми

Т F не имеет никакого отношения к температуре электронного газа.

Определим – число состояний на единичный энергетический интервал, части называемый плотностью состояний при

;

Плотность состояний равна:

Вариант 5 № 2. Число электронов с кинетической энергией от Е F /2 до Е F определяется соотношением

По аналогии:

Этот же результат можно получить из

в более простой форме:

С точностью порядка единицы число состояний на единичный энергетический интервал вблизи энергии Ферми равно отношению числа электронов проводимости к энергии Ферми.

Выводы

1. Эффективные массы: германий

кремний

т.е. в валентной зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Валентные зоны состоят из трех подзон.

2. Поверхность Ферми есть поверхность постоянной энергии в пространстве. Поверхность Ферми при абсолютном нуле отделяет заполненные электронами состояния от незаполненных состояний. Сфера Ферми. Все состояния с К<К F являются занятыми.

3. Разнообразие свойств твердых тел и есть свидетельство разнообразия квазичастиц.

4. До последнего времени считалось, что электроны похожи друг на друга. Когда хотят подчеркнуть отличие электронов железа от электронов меди, то говорят, что они обладают различными поверхностями Ферми.

На всемирной выставке в Брюсселе здание отдает дань веку физики. Представляет правильную систему связанных между собой сфер, внутри которых выставочные помещения. Каждая из которых (сфера) представляет ион железа, потерявший одни электрон. Это поверхность уровня Ферми.

У каждого металла только своя ему присущая форма поверхности Ферми, она ограничивает область импульсного пространства, занятого электронами проводимости при абсолютном нуле. Это визитные карточки различных металлов.

... ій зоні. Для тіл, у яких ширина забороненої зони не перевищує 1 еВ, уже при кімнатній температурі в зоні провідності виявляється достатнє число електронів, а у валентній зоні – вакансій, щоб обумовити відносно високу електропровідність. Такі тіла звичайно називають напівпровідниками. Звідси стає ясним, що розподіл твердих тіл другої групи, на діелектрики й напівпровідників є чисто умовним. У...

По миру. Если в 1900 г. в год получали около 8 тысяч тонн легкого металла, то через сто лет объем его производства достиг 24 миллионов тонн. 2. Металлические проводниковые и полупроводниковые материалы, магнитные материалы 2.1 Классификация электротехнических материалов Электротехнические материалы представляют собой совокупность проводниковых, электроизоляционных, магнитных и...

Видам обработки при изготовлении из них необходимых изделий. Поэтому для различных случаев применения приходится выбирать и разные материалы. Электроизоляционные материалы образуют наиболее многочис­ленный раздел электротехнических материалов вообще; количество отдельных видов конкретных электроизоляционных материалов, применяемых в современной электропромышленности, исчисляется многими тысячами...