Вхідний опір контуру. Навчальний посібник: Гармонічні коливання у паралельному контурі

Застосування послідовного коливального контуру

Енергетичні співвідношення у послідовному коливальному контурі при резонансі

Вплив внутрішнього опору джерела сигналу на контур АЧХ

Послідовний коливальний контур

Резонансні явища в електричних ланцюгах

Послідовний КОЛИВАЛЬНИЙ КОНТУР

лекція 15

План лекції:

Резонансом електричного ланцюга називають явища звернення на нуль її реактивного опору. Частоту, де має місце цей факт, називають резонансною. Резонанс може виникати лише в ланцюгах, що мають хоча б по одному реактивному елементу різного типупровідності.

Резонанси можуть мати місце як в окремих гілках електричного кола, так і в контурах. Тому в ланцюгах із кількома реактивними елементами різного типу може бути кілька резонансних частот.

У радіотехніці резонансні явища в електричних ланцюгах широко використовують виділення смуги частот і посилення сигналів.

Ланцюг з послідовним з'єднаннямелементів називають послідовним коливальним контуром. Оскільки реальні індуктивності та ємності мають втрати, це враховано на схемі послідовно включеним у ланцюг малим еквівалентним опором втрат (рис. 15.1).

Повний опір цього ланцюга дорівнюватиме

де – модуль, та – активна та реактивна складові, – фаза повного опору.

Мал. 15.1. Послідовний коливальний контур

На резонансній частоті реактивна складова повного опору перетворюється на нуль, тобто виконується умова

Звідси отримуємо формулу для розрахунку резонансної частоти через параметри послідовного коливального контуру

На частотах менше резонансної ре активний опірланцюги негативно, тобто носить ємнісний характер, оскільки опір ємності більше опоруіндуктивності та є переважним. На частотах більше резонансної опір послідовного коливального контуру позитивно і має індуктивний характер, так як в цьому випадку опір індуктивності стає більше опору ємності.

Перетворимо вираз (15.1) з урахуванням введеного поняття резонансної частоти:

Величину , що має розмірність опору, називають хвильовим або характеристичним опором контуру, причому

Ставлення характеристичного опору до опору втрат називають добротністю контуру і позначають символом, а зворотну величину – загасанням:

Контури низької якості мають добротність менше 50. Для контурів середньої якості виконується співвідношення , для контурів гарної якості – та для контурів високої якості – .

Вираз у круглих дужках у формулі (15.4) позначають грецькою літероюі називають відносним розладом контуру

За змістом, відносна розлад характеризує у відносних одиницях відхилення частоти джерела сигналу від резонансної частоти контуру.

З урахуванням введених позначень формулу опору (15.4) можна записати у більш компактній формі:

Струм у ланцюгу можна знайти за законом Ома:

де - Початкова фаза джерела едс, - Фаза повного опору в іншій формі запису.

На резонансній частоті струм максимальний і дорівнює

Нормована амплітудно-частотна (АЧХ)

та фазочастотна характеристики (ФЧХ)

струму наведено на рис. 15.2.

На резонансній частоті відносна розлад (15.7) дорівнює нулю. Тому

Отже, на резонансній частоті амплітуди напруги на індуктивності та ємності рівні один одному і в раз більше амплітуди едс:

Тому резонанс у послідовному коливальному контурі називають резонансом напруги. Векторна діаграма напруги для контуру на частоті резонансу наведена на рис. 15.3.

Область частот, на межах якої струм зменшується в раз щодо свого максимального значення, називають смугою пропускання. На межах смуги пропускання згідно з формулою (15.9) виконується умова

Мал. 15.2. Амплітудно-частотна (а) та фазочастотна (б) характеристики струму в послідовному коливальному контурі

Розряд конденсатора неспроможна статися миттєво, т.к. цьому перешкоджає ЕРС самоіндукції, що у елементі індуктивності.

В ідеальному контурі, активний опір якого дорівнює нулю , і, отже, відсутні втрати, запасена в електричному полі енергія повністю перетворюється на енергію магнітного поляіндуктивності.

Потім відбувається зворотний перехід енергії. Далі процеси повторюються. Таким чином, виникають незатухаючі електричні коливання, що мають форму косінусоїди. Графіки представлені малюнку 1, б.

Частота, з якою відбувається коливання енергії між реактивними елементами при відключенні джерела, називається частотою вільних (власних) коливань контуру. Позначення: або .

Т.к. в ідеальному контурі величини напруги на Lі Cоднакові, то

, ,

або , .

У режимі вільних коливань через елементи контуру протікає струм. Опір, який надають елементи контуру струму на частоті власних коливань, називається хвильовим (характеристичним ).

Цей опір позначається і визначається так:

, або . Т.к. , то

(Ом).

З останнього виразу випливає, що на частоті власних коливань хвильовий опір дорівнює одному з реактивних опорів(Рис. 2).

Насправді реальний КК завжди має втрати активний опір однаково 0, що зумовлює загасаючому характеру вільних коливань (рис. 3).

Мал. 3

Для характеристики останньої властивості вводиться поняття добротність контуру (Якість контуру).

Добротність є енергетичним параметром та показує у скільки разів реактивна потужність(за рахунок якої і відбуваються вільні коливання) більш активною:

Відмітимо, що дане визначеннявідноситься не тільки до коливальних контурів, але і до окремих деталей, наприклад, до котушок індуктивності, конденсаторів.

Чим більша реактивна потужність, тим вища добротність і тим повільніше відбувається загасання коливань і навпаки.

Добротність КК, застосовуваних у техніці зв'язку, зазвичай становить десятки-сотні, а техніці НВЧ і спеціальних пристроях добротність може досягати тисячі і більше.

Прийнято вважати, що якщо: – KK низької добротності ,

– КК середньої добротності ,

- КК високої добротності .

Практично реалізувати LCконтур із добротністю понад 400 важко через низьку добротність котушок індуктивності (саме вони й визначають якість контуру).

Висновок: Розглянуті параметри і для коливальних контурів є одним з основних, т.к. вони залежать від первинних параметрів, і їх називають вторинними параметрами контуру .

2. Можливі режими гармонійних коливань, що встановилися, в паралельному коливальному контурі.

Паралельним коливальним контуром називають ланцюг, складений з елементів індуктивності, ємності та опору, з'єднаних паралельно. Схема контуру показано малюнку 4.

Знайдемо комплексну провідність контуру:

де: – активна складова провідності,

- Реактивна складова провідності.

З формули випливає, що в залежності від співвідношення та в паралельному контурі можливі 3 режими:

1), тобто. та .

Побудуємо для цього випадку векторну діаграму, поклавши початкову фазу напруги на контурі, що дорівнює 0 (рис. 5)

Як видно з векторної діаграми, струм у контурі випереджає напругу на деякий кут, що є ознакою ємнісного режиму .

Висновок ємнісний режим коливаньі струм у контурі випереджає напругу.

Побудувавши аналогічним чином векторну діаграму (рис. 6), переконаємося в тому, що струм у контурі тепер відставатиме від напруги на деякий кут, що є ознакою індуктивного режиму .

Висновок: При паралельному контурі встановлюється індуктивний режим коливань,і струм у контурі відстає від напруги.

Провідність контуру в цьому випадку дорівнює активній провідності G . Контур має активний характер, тобто. Струм збігається по фазі з напругою на контурі і чисельно дорівнює струмучерез провідність (рис. 7).

Такий режим називається резонансом струмівта має важливе практичне значення.

Проведений аналіз показує, що режим коливань у паралельному контурі визначається співвідношенням реактивних провідностей та .

Будь-який із розглянутих режимів може бути отриманий декількома способами: зміною частоти генератора, індуктивності та ємності.

Висновок:Значення режимів ГК у контурі дозволяє якісно аналізувати процеси, які у контурах, здійснивши відповідні інженерні розрахунки.

3 . Резонанс струмів

1) Резонансна частота

Вище показано, що резонанс струмів настає на частоті, за якої:

звідки .

Тобто. резонансна частота дорівнює частоті своїх коливань контуру. Зміна досягається зміною Lабо C(Чаще).

2)Хвильовий опір контуру

На резонансній частоті, звідки (Ом), тобто. хвильовий опір контуру дорівнює опору одного з реактивних елементів.

Зазвичай хвильовий опір ПК, що використовуються в електричних ланцюгах, має поряд кілька сотень Ом (100500).

3)Добротність контуру

За визначенням , де, отже .

Т.к. на резонансній частоті чисельні значення провідностей і однакові, то добротність можна обчислити за такою формулою:

, т.ч. .

4) Резонансний опір контуру, струми у гілках при резонансі

т.к. при резонансі, то й , тобто. опір контуру при резонансі суто активний і найбільший за величиною.

Справді, повний опір контуру дорівнює:

при , і .

Визначимо співвідношення між струмом джерела та струмом через реактивний елемент:

, тобто. .

Аналогічно можна показати що.

Висновок:При резонансі струми у гілках паралельного КК максимальні і Qраз більше струмуджерела. Цим і пояснюється назва режиму – резонанс струмів .

При резонансній частоті токісточника, що задає, замикається через елемент провідності контуру. Струми ж у реактивних елементах контуру взаємно компенсують один одного щодо зовнішнього ланцюга контуру, або, аналогічно, що при резонансній частоті круговий струм замикається через реактивні елементи контуру. У цьому , а найбільше за величиною. При резонансі напруга на контурі максимальна (). Саме за цією ознакою паралельний КК налаштовується на резонансну частоту.

4. Комплексні передавальні функції паралельного контуру

Вирази для частотних характеристик паралельно коливального контуру щодо напруги можна отримати з наступної комплексної передавальної функції:

.

Перетворюємознаменник:

т.ч. .

Тут частотно-залежним є множник званий відносним розладом . Твір називають узагальненим розладом контуру .

З огляду на це: .

З виразу отримуємо

АЧХ : ,

і ФЧХ: .

АЧХ називають резонансною характеристикоюпаралельно коливального контуру. Максимальне значення ця характеристика має при резонансній частоті ( ), .

Резонансну характеристику контуру прийнято нормувати щодо її максимального значення. Нормована резонансна характеристика: тобто. відношення амплітуду напруги при заданій частоті до амплітуди напруги при резонансі:

.

Нормована резонансна характеристика є нічим іншим, як АЧХ контуру щодо струму елементі активного опору.

.

Знайдемо наближений вираз для частотних характеристик коливального контуру зі схемою заміщення, показаної на малюнку 8.

Вона відрізняється від схеми заміщення паралельного коливального контуру тим, що в ній втрати в індуктивності реального контуру враховуються опором, послідовно включеним з індуктивністю. Для контуру, що розглядається:

.

В області частот, в якій реактивна складова опору котушки індуктивності трохи перевищує за величиною активну складову опору, можна знехтувати доданком в чисельнику останнього виразу.

Тоді приблизно:

.

Отримана наближена формула не відрізняється від строгої формули для комплексної передавальної функції паралельного контуру з тими ж значеннями індуктивності Lта ємності Зта з активною провідністю:

.

Висновок

Розглянуті режими гармонійних коливань у паралельному коливальному контурі дозволяють дати фізичне пояснення АЧХ і ФЧХ. Частотні властивості паралельного коливального контуру залишаються приблизно вірними також і для інших схем заміщення справжніх коливальних контурів, якщо цікавитися поведінкою параметрів у порівняно тонкій смузі частот.

Література, що використовується для підготовки до лекції:Білецький О.Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986. (Підручник); Бакалов В.П. та ін. Теорія електричних кіл. - М.: Радіо і зв'язок, 1998. (Підручник); Качанов Н.С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воєніздат, 1974. (Підручник); В.П. Попов Основи теорії ланцюгів - М.: вища школа, 2000. (Підручник)

14 Послідовний коливальний контур

Як відомо, найпростішими резонансними (або коливальними) ланцюгами є послідовний та паралельний коливальні контури. Розглянемо ланцюг, що складається з послідовно включених котушки індуктивності та конденсатора (рис. 1). При дії на такий ланцюг змінної (у найпростішому випадку гармонійного) напруги через котушку і конденсатор протікатиме змінний струм, величина (амплітуда) якого може бути обчислена згідно із законом Ома: I = U/|Х Σ | , Де | Х Σ | -модуль суми реактивних опорів послідовно включених котушки та конденсатора. На рис. 2 наведено залежності реактивних опорів котушки X L і конденсатора Х C від кругової частоти ω, а також графік залежності від частоти їх алгебраїчної суми Х Σ Останній графік, по суті, показує залежність від частоти загального реактивного опору ланцюга, зображеної на рис. 1. З цього графіка видно, що на деякій частоті ω=ω р, на якій реактивні опори котушки і конденсатора дорівнюють модулю, загальний опір ланцюга звертається в нуль. На цій частоті в ланцюзі спостерігається максимум струму, який обмежений тільки омічними втратами в котушці індуктивності (тобто опором обмотки котушки котушки) і внутрішнім опором джерела струму (генератора). Таку частоту, при якій спостерігається розглянуте явище, зване у фізиці резонансом, називають резонансною частотою або власною частотою коливань ланцюга, а саму ланцюг, зображену на рис. 1, прийнято називати послідовним коливальним контуром. Також із рис. 2 видно, що на частотах нижче за частоту резонансу реактивний опір послідовного коливального контуру носить ємнісний характер, а на більш високих частотах - індуктивний. Що стосується самої резонансної частоти, то вона може бути обчислена за допомогою відомої формули Томсона: ω р = 1/√(LC).

Мал. 1 Послідовний коливальний контур

Мал. 2 Залежності реактивних опорів котушки X L та конденсатора Х C від кругової частоти ω

На рис.3 зображено еквівалентну схему послідовного резонансного контуру з урахуванням омічних втрат r, підключеного до ідеального генератора гармонійної напруги з амплітудою U. Модуль повного опору (імпедансу) такого ланцюга визначається наступним чином: |z| = √(r 2 +|X Σ | 2), де | X Σ | = ωL-1/ωC. Вочевидь, що у резонансної частоті, коли величини реактивних опорів котушки X L = jωL і конденсатора Х C = -j/ωС рівні по модулю, величина |X Σ | перетворюється на нуль (отже, опір ланцюга суто активне), а струм у ланцюгу визначаться ставленням амплітуди напруги генератора до опору омічних втрат: I= U/r. При цьому на котушці та на конденсаторі, в яких запасена реактивна електрична енергія, падає однакова напруга U L =UC = I|X L |=I|X C |. На будь-якій іншій частоті, відмінної від резонансної, напруги на котушці та конденсаторі неоднакові - вони визначаються амплітудою струму в ланцюзі та величинами модулів реактивних опорів | XL | та |X C | .Тому резонанс у послідовному коливальному контурі прийнято називати резонансом напруг. З урахуванням наведеного запису для імпедансу ланцюга можна навести визначення резонансної частоти, що часто зустрічається: резонансною частотою контуру називають таку частоту, на якій опір контуру має суто активний (резистивний) характер.

Мал. 3 Еквівалентна схема послідовного резонансного контуру

Одними з найважливіших параметрів коливального контуру (крім, зрозуміло, резонансної частоти) є його характеристичний опір і добротність Q. Характеристичним опором контуру називається величина модуля реактивного опору ємності та індуктивності контуру на резонансній частоті: ρ = | Х L | = | Х C | при ω = ω р. У випадку характеристичний опір може бути обчислено наступним чином: ρ = √(LC). Характеристичний опір ρ є кількісним заходом оцінки енергії, запасеної реактивними елементами контуру - котушкою (енергія магнітного поля) W L = (LI 2)/2 та конденсатором (енергія електричного поля) W C = (CU 2)/2. Відношення енергії, запасеної реактивними елементами контуру, до енергії омічних (резистивних) втрат за період прийнято називати добротністю Q контуру, що в буквальному перекладі з англійської означає "якість". Величину, зворотну добротності d=1/Q називають згасанням контуру. Для визначення добротності зазвичай користуються формулою Q=ρ/r, де r-опір омічних втрат контуру, що характеризує потужність резистивних (активних втрат) контуру Р=I 2 r. Добротність реальних коливальних контурів, виконаних на дискретних котушках індуктивності та конденсаторах, становить від кількох одиниць до сотні та більше. Добротність різних коливальних систем, побудованих на принципі п'єзоелектричних та інших ефектів (наприклад, кварцові резонатори), може досягати кількох тисяч і більше.

Частотні властивості різних ланцюгів у техніці прийнято оцінювати за допомогою амплітудно-частотних характеристик (АЧХ). На рис. 4а та рис. 4б представлені два найпростіші чотириполюсники, що містять послідовний коливальний контур. АЧХ цих ланцюгів наведено (показано суцільними лініями) на рис. 5а та рис. 5б відповідно. По вертикальній осі відкладена величина коефіцієнта передачі ланцюга по напрузі До, що показує відношення вихідної напруги ланцюга до вхідного. Для пасивних ланцюгів (не тобто містять підсилювальних елементів та джерел енергії), величина До ніколи не перевищує одиницю. Очевидно, що опір ланцюга на рис. 4а змінному струму буде мінімально при частоті впливу, що дорівнює резонансній частоті контуру. У цьому випадку коефіцієнт передачі ланцюга близький до одиниці (визначається омічні втрати в контурі). На частотах, що сильно відрізняються від резонансної, опір контуру змінному струму досить великий, а отже, і коефіцієнт передачі ланцюга падатиме практично до нуля. При резонансі ланцюга, зображеної на рис. 4б, джерело вхідного сигналу виявляється фактично замкнутим коротко малим опором контуру, завдяки чому коефіцієнт передачі такого ланцюга на резонансній частоті падає практично до нуля (знову-таки в силу наявності кінцевого опору втрат). Навпаки, при частотах вхідного впливу, що значно віддаляються від резонансної, коефіцієнт передачі ланцюга виявляється близьким до одиниці. Властивість коливального контуру значною мірою змінювати коефіцієнт передачі на частотах, близьких до резонансної, широко використовується на практиці, коли потрібно виділити сигнал з конкретною частотою з безлічі непотрібних сигналів, розташованих на інших частотах. Так, у будь-якому радіоприймачі за допомогою коливальних ланцюгів забезпечується налаштування на частоту потрібної радіостанції. Властивість коливального контуру виділяти з множини частот одну прийнято називати селективністю або вибірковістю. При цьому інтенсивність зміни коефіцієнта передачі ланцюга при відбудові частоти впливу резонансу прийнято оцінювати за допомогою параметра, званого смугою пропускання. Найчастіше смугу пропускання приймається діапазон частот, не більше якого зменшення (чи збільшення - залежно від виду ланцюга) коефіцієнта передачі відносного значення на резонансної частоті, вбирається у величини 0,707 (3дБ).

Пунктирними лініями на рис. 5а та рис. 5б показані АЧХ точно таких ланцюгів, як на рис. 4а та рис. 4б відповідно, коливальні контури яких мають такі ж резонансні частоти, як і для випадку розглянутого вище, але мають меншу добротність (наприклад, котушка індуктивності намотана проводом, що має великий опір постійному струму). Як видно із рис. 5а та рис. 5б, при цьому розширюється смуга пропускання ланцюга та погіршуються її селективні (виборчі) властивості. Виходячи з цього, при розрахунку та конструюванні коливальних контурів необхідно прагнути до підвищення їх добротності. Однак, у ряді випадків, добротність контуру, навпаки, доводиться занижувати (наприклад, включаючи послідовно з котушкою індуктивності резистор невеликої опору), що дозволяє уникнути спотворень широкосмугових сигналів. Хоча, якщо на практиці потрібно виділити досить широкосмуговий сигнал, селективні ланцюги, як правило, будуються не на одиночних коливальних контурах, а на складніших пов'язаних (багатоконтурних) коливальних системах, в т.ч. багатоланкових фільтрах.