Объемная плотность электрического поля

Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью ρ(r→). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд

dq = ρ(r→)dV,

а формула (39′) приобретает такой вид W = 1 2 ∫ ρ(r→)ϕ(r→)dV. (16.1)

Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода (39′)→(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать

ρ(r→)ϕ′(r→),

понимая под ϕ′(r→) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда ρdV . Мысленно представим заряд ρdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса δ с центром в точке r→ и с плотностью заряда ρ(r→). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q δ = 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ = 2πδ2 ⋅ ρ(r→), и следовательно,

ϕ′(r→) = ϕ(r→) − 2πρ(r→)δ2.

Отсюда видно, что при δ → 0 ϕ′→ ϕ(r→) и замена ϕ′(r→) на ϕ(r→), таким образом, действительно допустима.

Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем ρ, согласно уравнению Пуассона (13), на −1 4πΔϕ и используя формулу векторного анализа

div(ϕgradϕ) = ϕΔϕ + gradϕ)2;

в результате получим

W = − 1 8π ∫ div(ϕgradϕ)−gradϕ)2]dV = 1 8π ∮ SϕEndS+ 1 8π ∫ V E2dV,

где S - поверхность, ограничивающая объем V . Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R →∞ интеграл по поверхности

так как на больших расстояниях ϕ и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.

Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу W = ∫ E2 8πdV (16.2)

в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве W = E2 8π. (16.3)

В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i≠j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) - только часть этой энергии.

Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».

Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно – силы, действующие на заряды поверхности проводника.

Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E→ действует сила

где E→ – напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E→ по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью σ (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной δ, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.

Итак, рассмотрим выделенный на рис. 34 участок поверхности dS проводника. Имея ввиду, что толщина слоя очень мала, кривизной поверхности можно пренебречь и считать поверхность проводника и рассматриваемый слой плоскими.

По внешней нормали к поверхности проводника проведем ось x и пусть слой, где распределены заряды, занимает область (рис. 35). Можно считать, что поле E→ внутри и вблизи слоя не зависит от координат y,z и имеет только x-компоненту Ex(x), а объемная плотность заряда характеризуется функцией ρ(x). Левее этого слоя электрическое поле равно нулю (поле внутри проводника). Следовательно, Ex(x) внутри слоя удовлетворяет уравнению

dEx dx = 4πρ(x),(∗)

граничному условию E(0) = 0 и имеет решение

Ex(x) = 4π ∫ 0xρ(ξ)dξ.

Теперь нетрудно найти силу, действующую на слой,

f→ = fxe→x,fx = ∫ 0δρ(x)E x(x)dx,

приходящуюся на единицу поверхности проводника. Подставив сюда вместо ρ(x) выражение из (*), получаем

fx = 1 4π ∫ 0δE x(x)dEx dx dx = 1 8π ∫ 0δ d dx2dx,

где E0 = Ex(δ) = 4π ∫ 0δρ(x)dx = 4πσ – напряженность поля на внешней поверхности проводника.

Таким образом,сила, действующая на поверхность проводника, определяется суммарным зарядом σ = ∫ 0δρ(x)dx, приходящимся на единицу площади поверхности, и не зависит от распределения ρ(x). Обратим внимание, что при любом знаке заряда σ, т.е. при любом направлении поля E→0, сила f→ направлена вдоль внешней нормали, т.е. f→ = E02 8π n→. (16.4)

Заметим, что результат (45) справедлив для любой заряженной поверхности, если только по одну сторону от поверхности напряженность поля равна нулю.

Теперь обратимся к примеру, призванному служить иллюстрацией к выражению

W = 1 8π ∫ E2dV.

Пример 1. Пусть сферическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с суммарным зарядом q. Рассмотрев процесс расширения сферы до радиуса R + dR найти выражение для плотности энергии электрического поля.

в начальном состоянииEr = q r2 приr > R 0приr < R

в конечном состоянииEr = q r2 приr > R + dR 0приr < R + dR

Поля изображены на рисунке 36.

Со стороны электрического поля на сферу действуют силы с плотностью

fr = 1 8πE02,E 0 = q R2.

Эти силы совершают работу

δA = fr ⋅ 4πR2dR = 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR.(а)

В процессе расширения сферы электрическое поле в пространстве r > R + dR осталось без изменения, а в сферическом слое (R,R + dR) исчезло полностью, т.е. энергия электрического поля изменилась на величину

dW = −W ⋅ 4πR2dR,(б)

где W – искомая объемная плотность энергии.

Согласно закону сохранения энергии

т.е. работа δA электрических сил совершена за счет убыли энергии электрического поля. Подставляя сюда выражения (а) и (б), после сокращения на объем слоя 4πR2dR получаем W = 1 8πE02 – то, что мы хотели увидеть.

Замечание. Этой сферой можно воспользоваться для решения обратной задачи: считая, что плотность энергии W нам известна, найти поверхностную силу fr, отнесенную к единице поверхности заряженной сферы со стороны электрического поля. Решение очевидно.

В качестве второго примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса a

Er = q r2 при r ≥ R q a3 r при r < a

W = 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr = 3 5 q2 a .

Воспользуемся полученным результатом для введения понятия «классический радиус частицы».

По теории относительности поле с энергией W обладает массой m = W∕c2. Следовательно, любая частица с массой m и зарядом q не может иметь размер, меньший

т.к. масса частицы не может быть меньше массы ее поля (при выписывании этой формулы константа 3/5 не принимается во внимание).

Например, для электрона

re = e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10−13см.

Пусть два заряда q 1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим

П 1 =W 1 =q 1 φ 12 П 2 =W 2 =q 2 φ 21

(φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы поля заряда q 2 в точке нахождения заряда q 1 и заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2).

Согласно определению потенциала точечного заряда

Следовательно.

или

Таким образом,

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(12.59)

(φ і - потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q i) в точке, в которой находится заряд q i).

Энергия уединённого заряженного проводника

Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на

(С – электроёмкость проводника).

Следовательно,

т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на

dП = dW =δA= Cφdφ

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:

(12.60)

Применяя соотношение

, получаем следующие выражения для потенциальной энергии:

(12.61)

(q - заряд проводника).

Энергия заряженного конденсатора

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

(12.62)

(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.

Сучётом того, что Δφ=φ 1 –φ 2 = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу

(12.63)

Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.

Для однородного поля объёмная плотность энергии

(12.64)

Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,

Но

,

тогда

(12.65)

(12.66)

(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0 E - электрическое смещение поля).

Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.

Следует отметить, что выражение

и

справедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношениеp= ε 0 χE.

Выражение

соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.

Сегнетоэлектрики. Их особенности. Пьезоэффект.

Сегнетоэлектрики, кристаллические диэлектрики, обладающие в определённом интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий.

Пьезоэлектри́ческий эффе́кт - эффект возникновения поляризации диэлектрика под действием механических напряжений

Проводники в электрическом поле. Распределение зарядов в проводнике.

Ε = Евнешн - Евнутр = 0

Внесем пластину проводника в электрическое поле, назовем это поле внешним.

В результате на левой поверхности будет отрицательный заряд,а на правой поверхности будет заряд положительный. Между этими зарядами возникнет свое электрическое поле, которое назовём внутренним. Внутри пластины одновременно будут два электрических поля- внешнее и внутреннее, противоположные по направлению.

Электроёмкость проводников. Конденсатор. Соединение конденсаторов.

Электроёмкость - физическая величина численно равная величине заряда, который необходимо сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу.

Конденсатор - устройство для накопления заряда и энергии электрического поля.

параллельно соединенных

последовательно соединенных

Энергия заряжённого проводника, конденсатора. Энергия электрического поля. Объёмная плотность энергии электрического поля.

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

Энергия заряженного конденсатора

Энергия электростатического поля

Объемная плотность энергии электростатического поля

16. Сила и плотность электрического поля. ЭДС. Напряжение.

Сила тока - скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

Плотность тока j - это векторная физическая величина, модуль которой определяется отношением силы тока I в проводнике к площади S поперечного сечения проводника.

Электродвижущая сила (ЭДС) - физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура.

Электри́ческое напряже́ние - физическая величина, значение которой равно отношению работы электрического поля, совершаемой при переносе пробного электрического заряда из точки A в точку B, к величине пробного заряда.

17. Закон Ома для однородного участка цепи. Закон Ома для неоднородного участка в интегральной форме. Закон Ома для полной цепи.

сила тока I в однородном металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению U на концах этого проводника и обратно пропорциональна сопротивлению R этого проводника

закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме IR = (φ1 - φ2) + E12

Закон Ома для полной цепи :

18. Дифференциальная форма закона Ома.

j-плотность тока, σ - удельная электропроводность вещества, из которого сделан проводник Eст-поле сторонних сил

19. Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

в дифференциальной форме:

плотность тепловой мощности -

в интегральной форме:

20. Нелинейные элементы. Методы расчёта с нелинейными элементами. Правило Кирхгофа.

нелинейными называются электрические цепи, у которых реакции и воздействие связаны нелинейно.

Метод простой итерации

1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи, где -искомая переменная, представляется в виде .

2. Производится расчет по алгоритму где

Шаг итерации. Линейными зависимостями

Здесь - заданная погрешность

Первое правило Кирхгофа:

алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю

второе правило Кирхгофа:

в любом простом замкнутом контуре, произвольно выбираемом в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, имеющихся в контуре

21. Ток в вакууме. Эмиссионные явления и их технические применения.

Вакуум-это такое состояние газа в сосуде, при котором молекулы пролетают от одной стенки сосуда к другой, ни разу не испытав соударений друг с другом.

Вакуум-изолятор, ток в нем может возникнуть только за счет искусственного введения заряженных частиц, для этого используют эмиссию (испускание) электронов веществами. В вакуумных лампах с нагреваемыми катодами происходит термоэлектронная эмиссия, а в фотодиоде - фотоэлектронная.

Термоэлектронная эмиссия - это испускание электронов нагретыми металлами. Концентрация свободных электронов в металлах достаточно высока, поэтому даже при средних температурах вследствие распределения электронов по скоростям (по энергиям) некоторые электроны обладают энергией, достаточной для преодоления потенциального барьера на границе металла. С повышением температуры число электронов, кинетическая энергия теплового движения которых больше работы выхода, растет, и явление термоэлектронной эмиссии становится заметным.

Явление термоэлектронной эмиссии используется в приборах, в которых необходимо получить поток электронов в вакууме, например в электронных лампах, рентгеновских трубках, электронных микроскопах и т. д. Электронные лампы широко применяются в электро- и радиотехнике, автоматике и телемеханике для выпрямления переменных токов, усиления электрических сигналов и переменных токов, генерирования электромагнитных колебаний в т. д. В зависимости от назначения в лампах используются дополнительные управляющие электроды.

Фотоэлектронная эмиссия - это эмиссия электронов из металла под действием света, а также коротковолнового электромагнитного излучения (например, рентгеновского). Основные закономерности этого явления будут разобраны при рассмотрении фотоэлектрического эффекта.

Вторичная электронная эмиссия - это испускание электронов поверхностью металлов, полупроводников или диэлектриков при бомбардировке их пучком электронов. Вторичный электронный поток состоит из электронов, отраженных поверхностью (упруго и неупруго отраженные электроны), и «истинно» вторичных электронов - электронов, выбитых из металла, полупроводника или диэлектрика первичными электронами.

Явление вторичной электронной эмиссии используется в фотоэлектронных умножителях.

Автоэлектронная эмиссия - это эмиссия электронов с поверхности металлов под действием сильного внешнего электрического поля. Эти явления можно наблюдать в откачанной трубке.

22. Ток в газах. Самостоятельная и не самостоятельная проводимость газов. ВАХ тока в газах. Виды разрядов и их техническое применения.

В обычных условиях газы являются диэлектриками, т.к. состоят из нейтральных атомов и молекул, и в них нет достаточного количества свободных зарядов. Чтобы сделать газ проводящим, нужно тем или иным способом внести в него или создать в нем свободные носители заряда - заряженные частицы. При этом возможны два случая: либо эти заряженные частицы создаются действием какого-нибудь внешнего фактора или вводятся в газ извне, либо они создаются в газе действием самого электрического поля, существующего между электродами. В первом случае проводимость газа называется несамостоятельной, во втором - самостоятельной.

Вольтамперная характеристика (ВАХ ) - график зависимости тока через двухполюсник от напряжения на этом двухполюснике. Вольтамперная характеристика описывает поведение двухполюсника на постоянном токе.

Тлеющий разряд наблюдается при пониженных давлениях газа. Используют для катодного распыления металлов.

Искровой разряд , часто наблюдаемый в природе, - молния. Принцип действия искрового вольтметра - прибора для измерения очень высоких напряжений.

Дуговой разряд можно наблюдать при следующих условиях: если после зажигания искрового разряда постепенно уменьшать сопротивление цепи, то сила тока в искре будет увеличиваться. Электрическая дуга является мощным источником света и широко применяется в проекционных, прожекторных и других осветительных установках. Вследствие высокой температуры дуга широко применяется для сварки и резки металлов. Высокую температуру дуги используют также при устройстве дуговых электрических печей, играющих важную роль в современной электрометаллургии.

Коронный разряд наблюдается при сравнительно высоких давлениях газа (например, при атмосферном давлении) в резко неоднородном электрическом поле. Используется в технике для устройства электрофильтров, предназначенных для очистки промышленных газов от твердых и жидких примесей.

23. Магнитное поле. Магнитная индукция. Магнитное взаимодействие токов.

Магни́тное по́ле - силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения, магнитная составляющая электромагнитного поля.

Магни́тная инду́кция - векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой магнитное поле действует на заряд , движущийся со скоростью .

Будем заряжать плоский конденсатор, перенося малые порции заряда dq с одной обкладки на другую (рис. 4.12.) Для того чтобы перенести заряд dq между обкладками с разностью потенциалов (j 1 – j 2) необходимо совершить работу

dA = (j 1 – j 2) dq (4.11)

Учитывая, что , эту работу можно записать ещё и так

Для того чтобы первоначально незаряженному конденсатору сообщить заряд Q , необходимо совершить работу

Эта работа равна энергии заряженного конденсатора

(4.12)

Здесь - напряжение на конденсаторе, равное разности потенциалов на его обкладках.

Продолжим преобразования уравнения (4.12).

Вспомним, что ёмкость плоского конденсатора

а напряжение связано с напряжённостью электрического поля

U = E ∙ d

Воспользовавшись этими соотношениями, запишем энергию заряженного конденсатора в таком виде

Эти два выражения энергии конденсатора

приводят к следующему принципиальному вопросу: где в конденсаторе располагается энергия? Где она «локализована»?

Если она связана с электрическими зарядами, то она находиться на обкладках конденсатора. Если же это энергия электрического поля, то она занимает пространство между обкладками, объем которого равен объему конденсатора V = S ∙ d .

Для ответа на этот вопрос нужно было бы заряд с обкладок убрать, а поле при этом оставить. Тогда можно было бы посмотреть: осталась энергия - значит, она связана с полем, исчезла - значит, она располагалась вместе с зарядом на обкладках.

Но проблема-то в том, что при удалении зарядов исчезает, конечно, и их электростатическое поле. Поэтому вопрос о локализации энергии в рамках электростатики не может быть решён.

В электродинамике переменные электрические и магнитные поля, как известно, могут существовать и без электрических зарядов. Причем такие поля обладают энергией, что является прямым экспериментальным доказательством того, что эта энергия связана с электрическими полями и локализована в объёме, занятом полем. Теперь становиться понятнее последнее выражение энергии заряженного конденсатора:

Энергия конденсатора связана с его электрическим полем и поэтому пропорциональна объёму конденсатора (V ), то есть объёму поля.

Отношение представляет собой среднее значение энергии, приходящейся на единичный объём поля .

Эта характеристика энергетической насыщённости поля получила название «объёмная плотность энергии».

Обычно эта характеристика носит точечный, локальный характер. Вокруг заданной точки выбирают элементарный объём dV и вычисляют энергетическую плотность, деля энергию этой области dW на её объём

Объёмная плотность энергии в заданной точке электрического поля пропорциональна квадрату напряжённости поля в этой точке. Измеряется объёмная плотность энергии, конечно, в Дж/м 3:

Зная, как меняется плотность энергии в пространстве, можно вычислить энергию, сосредоточенную в объёме V , электрического поля:

Проводящий шар радиусом R несет заряд Q . Какова энергия электрического поля этого шара?

Поле внутри заряженного шара отсутствует, а вне шара оно совпадает с полем точечного заряда:

, r ³ R

Объёмная плотность энергии такого поля

Вычислим энергию, сосредоточенную в сферическом слое толщиной dr (рис. 4.13.)