Tensioni i sinusit. Rryma sinusoidale dhe karakteristikat e saj kryesore

Leksioni 2 Rryma sinusoidale.dok

AKTUALI SINUSOIDAL. FORMAT E PREZANTIMIT TTS TIJ.
Në praktikën e inxhinierisë elektrike, rryma sinusoidale përdoret gjerësisht si rrymë alternative. Kjo është për shkak të një numri përparësish:

Gjeneratorët sinusoidë janë dukshëm më të lirë për t’u prodhuar sesa gjeneratorët DC;

Rryma AC konvertohet lehtësisht në DC;

Transformimi dhe transmetimi energji elektrike rryma alternative është më ekonomike sesa rryma e drejtpërdrejtë;

Motorët AC janë me dizajn të thjeshtë, besueshmëri të lartë dhe kosto të ulët.

Aktualisht rryma alternative përdoret në ndezjen industriale dhe ndriçimin elektrik, në bujqësia dhe në transport, në teknologjinë e komunikimit dhe në jetën e përditshme. Prodhimi i energjisë elektrike kryhet gjithashtu në rrymë alternative. Shkencëtarët rusë P.N. Yablochkov dhe M.O.Dolivo-Dobrovolsky luajtën një rol të madh në futjen e rrymës alternative.
^ 1. Parametrat kryesorë të rrymës sinusoidale
Një variabël është një rrymë (tension, EMF), e cila ndryshon me kalimin e kohës në madhësi dhe drejtim. Rryma sinusoidale mund të përfaqësohet nga një funksion real i kohës - sinusit dhe kosinusit, për shembull:

(2.1)
ku Une m - amplituda maksimale e rrymës (vlera e pikut);

 - frekuenca këndore, dhe;

f - frekuenca e dridhjeve [Hz];

T - periudha [C];

 unë - faza fillestare, përcakton vlerën aktuale në momentin e kohës t\u003d 0, d.m.th.

unë(t=0) = Une m  mëkat  unë .
Në fig. 2.1 tregon një grafik të dy lëkundjeve me faza të ndryshme fillestare  1 dhe  2, dhe  1  2 Amplituda e harmonikave kalon nëpër zero kur:

 t  =  n (n \u003d 0,1,2 ...), d.m.th. në momente


.
Si  1  2, pra t 1 ndodh më herët t 2:

Figura 2.1
Faza fillestare shpesh jepet në gradë. Prandaj, kur përcaktohet vlera e menjëhershme e rrymës, argumenti i sinusit (termat  t dhe  ) duhet të reduktohet në një njësi matëse (rad. ose shkallë).

Ndonjehere lëkundja harmonike përfaqësohet në formë kosinusi. Easyshtë e lehtë të shohësh që për kalimin në një formë të tillë në (2.1), mjafton të ndryshosh vetëm fazën fillestare, dmth .:

Frekuenca industriale e rrymës alternative në Rusi dhe të gjitha vendet evropiane është 50 Hz, në SHBA dhe Japoni - 60 Hz, në aviacion - 400 Hz. Ulja e frekuencës nën 50 Hz do të degradojë cilësinë e ndriçimit. Një rritje e frekuencës përkeqëson kushtet për transmetimin e energjisë elektrike në distanca të gjata.

Shprehja për tensionin sinusoidal është e ngjashme me (2.1), d.m.th .:
u(t) = U m  mëkat (  t  u) (2.2)
Në mënyrë të ngjashme me (2.1), përcaktohen parametrat kryesorë të tensionit.

Përveç parametrave të përmendur tashmë, në praktikën e inxhinierisë elektrike ata shpesh përdorin konceptet e vlerave mesatare dhe efektive të rrymës dhe tensionit. Le t'i shqyrtojmë ato.

Vlera mesatare e një rryme sinusoidale kuptohet si vlera e saj mesatare gjatë gjysmës së një periudhe:


(2.3)
Ne shohim se vlera mesatare e rrymës sinusoidale është 2 /  64 0.64 e amplitudës. Në mënyrë të ngjashme, përcaktohet vlera mesatare e tensionit sinusoidal
.
Vlera rms e rrymës sinusoidale (tensionit) për periudhën quhet efektive:
.
Si:

,
atëherë:

.
Shohim se vlera efektive e rrymës sinusoidale është 0.707 e amplitudës. Vlera rms e tensionit sinusoidal përcaktohet në të njëjtën mënyrë:
.
Nëse ata flasin për vlerat e rrymës alternative ose tensionit, atëherë, si rregull, ata i nënkuptojnë ato vlera efektive... Për shembull, voltazhi në rrjeti njëfazor rryma alternative 220 V - rryma. Në këtë rast, vlera e amplitudës U m 310  V.

^ 2. Përfaqësimi i rrymës (tensionit) sinusoidal nga rrezja - vektori.
Kur analizohet shteti qarqet elektrike rryma alternative, bëhet e nevojshme të llogaritet shuma ose ndryshimi i lëkundjeve të frekuencave të njëjta, por me amplituda dhe faza fillestare të ndryshme. Rathershtë mjaft e vështirë për të zgjidhur një problem të tillë duke përdorur formën e konsideruar të përfaqësimit (d.m.th., duke përdorur funksione trigonometrike).

Le të gjendet nevoja aktuale unë(t) = unë 1 (t) unë 2 (t), dhe:
unë 1 (t) = Une m 1  mëkat (  t  1),
unë 2 (t) = Une m 2  mëkat (  t  2).
Meqenëse frekuencat e dridhjeve janë të njëjta, problemi reduktohet në gjetjen e vlerës totale të amplitudës Une m dhe faza fillestare  ... Nëse zbatojmë transformimet e njohura trigonometrike për tretësirën, fitojmë:
,
.
Ne shohim që edhe rezultati përfundimtar ka një formë të rëndë dhe të dashur.

Thjeshtimi i dukshëm arrihet duke përdorur metodën grafike. Paraqitja vektoriale e madhësive sinusoidale njihet nga trigonometria. Rryma sinusoidale (voltazhi) përshkruhet si një vektor rrezesh që rrotullohet në drejtim të akrepave të orës me një frekuencë  ... Gjatësia e vektorit është e barabartë me vlerën e amplitudës - Une m ... Vektori bën një revolucion gjatë periudhës (Fig.2.2).

Pozicioni i vektorit të rrezes në raport me boshtin X në fillim të numërimit mbrapsht t\u003d 0 përcaktohet nga këndi  ... Projeksion vektorial në një bosht Y përcaktohet nga shprehja (2.1).

Një diagram vektorial mund të tregojë vektorë të disa lëkundjeve, për shembull unë 1 (t) dhe unë 2 (t) (fig. 2.3). Për të thjeshtuar analizën, të gjithë vektorët shfaqen në atë kohë t\u003d 0 Atëherë shuma e dy vektorëve përcaktohet nga rregulli paralelogram. Vektori rrezes që rezulton gjithashtu rrotullohet rreth origjinës me një frekuencë  , dhe projeksionin e tij në bosht Y përcaktohet nga shprehja
unë(t) = Une m  mëkat (  t  ),
ku  - pozicioni i vektorit total në raport me boshtin X për momentin t=0.

Thjeshtësia e zgjidhjes është e qartë. Sidoqoftë, metoda grafike ka një pengesë të konsiderueshme - saktësi të ulët. Prandaj, përdoret më shpesh për analizën cilësore të qarqeve elektrike duke përdorur skema të tensionit vektorial topografik.

Për të ndërtuar një skemë vektoriale topografike në qarkun elektrik të analizuar, disa seksione dallohen në drejtim të bajpasit. Rënia e tensionit në secilin seksion mund të përcaktohet nga një vektor. Vendosja e secilit vektor pasues (në drejtim të bajpasit) në pikën përfundimtare të vektorit të mëparshëm, marrim një diagram të stresit të vektorit topografik. Vektori ndërmjet dy pikave të kësaj diagrami karakterizon tensionin ndërmjet pikave përkatëse të qarkut elektrik.

1. 
   ^ Imazh kompleks i rrymës sinusoidale.

Përfaqësimi kompleks i rrymave dhe tensioneve sinusoidale ju lejon të kombinoni thjeshtësinë dhe qartësinë e përfaqësimit të vektorit me saktësinë e përfaqësimit të funksioneve reale të kohës. Për të kaluar nga paraqitja grafike në atë komplekse, ne zëvendësojmë boshtet e sistemit koordinativ Kartezian (Figura 2.2) si më poshtë:

Boshti ^ X në boshtin real R e ;

Boshti Y në boshtin imagjinar J m (Figura 2.4).

Në këtë rast, gjatësia e vektorit të rrymës (tensionit) përcaktohet ende nga vlera e amplitudës, por shënohet si një vlerë komplekse, d.m.th.

... Këndi i pjerrësisë së vektorit në boshtin e numrave realë R e për momentin t\u003d 0 mbetet i njëjtë, d.m.th.  .

Shënojmë projeksionin vektorial për bosht numrat realë unë / = Une m .Cos  , dhe projeksioni në boshtin e numrave imagjinarë \u003d Une m  mëkat  ... Atëherë është e qartë se:

, (2.5)
Ku j është një njësi imagjinare, dhe -

Shprehja (2.5) përcakton një formë komplekse algjebrike për përfaqësimin e një rryme sinusoidale. Convenientshtë i përshtatshëm për kryerjen e mbledhjes dhe zbritjes së rrymave (tensioneve).

Në të vërtetë, për të shtuar dy numra kompleksë, mjafton të shtoni numrat realë dhe imagjinarë veç e veç.

Le të zëvendësojmë në (2.5) në vend të vlerave të tyre. Pastaj kemi:
İ

, (2.6)
ku është moduli i paraqitjes komplekse të rrymës, numerikisht i barabartë me vlerën e amplitudës.

Shprehja (2.6) përcakton një formë komplekse trigonometrike të përfaqësimit të një rryme sinusoidale. Fik. 2.4 është e qartë se:


, një

. (2.7)
Ne shohim që shprehjet (2.7) karakterizojnë parametrat e rrymës sinusoidale që nuk varen nga koha - amplituda aktuale dhe faza fillestare. Ato e bëjnë të lehtë kalimin nga një formë komplekse e përfaqësimit në një përfaqësim të funksioneve reale të kohës.

Le të prezantojmë varësinë nga koha në (2.5). Pastaj:
İ

, (2.8)
ku
Tani është e qartë se pjesa reale (2.8) karakterizon një lëkundje ekzistuese të përshkruar nga një funksion i vërtetë kosinus, pjesa imagjinare është e njëjta lëkundje në një formë sinus.

Me ndihmën e formulës së Euler, nga (2.6) kalohet në formën eksponenciale të paraqitjes komplekse të rrymës:
İ

, (2.9)
dhe duke marrë parasysh varësinë nga koha:

İ m İ m

. (2.10)
Forma eksponenciale komplekse është e dobishme për kryerjen e shumëzimit, pjesëtimit, eksponentimit ose nxjerrjes së rrënjës. Në të vërtetë, për të shumëzuar dy numra kompleksë në formë eksponenciale (2.9), mjafton të shumëzojmë modulet e tyre dhe të shtojmë argumentet (eksponentët).

Imagjinoni rrymat dhe tensionet në elementet pasive me rezistenca aktive, kapaciteti dhe induktanca në formë komplekse. Le të kemi:

İ

İ

;


Për një element me rezistencë aktive, barazia është e vërtetë:


.
Le ta rishkruajmë këtë barazi në formë eksponenciale:





(2.11)

Por barazia (2.11) është e mundur vetëm në rastin kur. Kështu, kemi arritur në një përfundim të rëndësishëm se në një element me një rezistencë aktive, rryma dhe voltazhi janë në fazë, d.m.th. kulmet e rrymës dhe tensionit ndodhin në të njëjtin moment në kohë, vektorët e rrymës dhe tensionit do të përkojnë (Fig. 2.5).

Për një element me një kapacitet, shprehja është e njohur:



Duke aplikuar një formë komplekse të përfaqësimit të rrymës dhe tensionit, ne marrim:


.
Duke marrë parasysh se kemi ardhur në shprehjen:


,

Kështu, ne shohim se voltazhi nëpër kondensator mbetet prapa rrymës me 90 o (shih Fig. 2.6)

Për një element me induktancë, ne përdorim shprehjen (1.11). Pastaj:

(2.13)
Ne shohim se voltazhi në induktor është përpara rrymës me 90 rreth (shih Fig. 2.7).

Në përfundim të leksionit, vërejmë se shprehjet (2.11), (2.12) dhe (2.13) nuk kanë asnjë varësi kohore. Kjo thjeshton llogaritjet e qarqeve elektrike, duke i reduktuar ato në veprime algjebrike me numra kompleksë. Kjo është arsyeja pse pamja komplekse përdoret gjerësisht në analizën e qarqeve elektrike AC.

Rryma sinusoidale

Vlera e menjëhershme e rrymës sinusoidale përcaktohet nga shprehja


ku - vlera maksimale oseamplituda e rrymës ... Argumenti i sinusit quhet fazë. Këndi y është e barabartë me fazën në momentin fillestar të kohës (t \u003d 0) dhe prandaj quhetfaza fillestare ... Faza rritet vazhdimisht me kalimin e kohës. Pasi e rriti atë nga2 f përsëritet i gjithë cikli i ndryshimit të rrymës. Prandaj, kur flasim për fazën për çdo moment në kohë, ata zakonisht hedhin numrin e plotë2 f në mënyrë që vlera e fazës të jetë brenda ose brenda, nga0 deri në 2 f ... Gjatë periudhësT faza rritet me2 f. Vlera 2 p / T tregon shkallën e ndryshimit të fazës dhe tregohet me shkronjëw ... Duke marrë parasysh atëf \u003d 1 / T, mund të shkruash

Kjo është shprehja që lidhw dhe f , shërbeu si bazë për thirrjew frekuenca këndore... Matur w numri i radianëve me të cilët rritet faza në sekondë. Kështu, për shembull, përf \u003d 50 Hz kemi w \u003d 314 rad / s. Futja në (3.1) e shënimitw për frekuencën këndore, marrim


Në fig. 3.3 është një grafik i rrymave sinusoidale me të njëjtën frekuencë, por me amplituda dhe faza fillestare të ndryshme:

Abscissa tregon kohën t dhe proporcionale me kohënw t .
Faza fillestare llogaritet gjithmonë nga momenti që korrespondon me fillimin e sinusoidit (vlera zero e vlerës sinusoidale kur kalon nga vlerat negative në pozitive), deri në momentin kur fillon koha t \u003d 0 (origjina). Kur fillimi i sinusoidit të rrymës zhvendosur në të majtë, dhe në për rrymën - në të djathtë të origjinës.
Vlera e menjëhershme e rrymës sinusoidale mund të paraqitet gjithashtu si një funksion kosinus i kohës

ku
Nëse disa funksione sinusoidale ndryshojnë me të njëjtën frekuencë, fillimet e sinusoidëve nuk përkojnë, atëherë ata thonë se atozhvendosur në lidhje me njëri-tjetrin në fazë. Zhvendosja e fazës matet me ndryshimin e fazës, e cila është padyshim e barabartë me ndryshimin fillestar të fazës. Në fig. 3.3, për shembull, d.m.th. aktual jashtë fazës rryma e këndit , ose, e cila është e njëjtë, aktualembetet prapa rrymës me një kënd .
Nëse funksionet sinusoidale të së njëjtës frekuencë kanë të njëjtat faza fillestare, atëherë ata thonë se atonë fazënëse ndryshimi i tyre në fazë ështëatëherë ata thonë se atae kundërt në fazë, dhe, së fundmi, nëse ndryshimi midis fazave të tyre ështëatëherë ata thonë se atajanë në shesh.

Aktualisht, rryma alternative përdoret gjerësisht në teknologji, pasi transformohet dhe transmetohet lehtësisht në distanca të gjata me tension të lartë dhe humbje të ulëta.

Në inxhinierinë elektrike, më e përhapura është rryma alternative sinusoidale, domethënë një rrymë madhësia e së cilës ndryshon sipas ligjit të sinusit.

Prandaj, vlera e menjëhershme e rrymës sinusoidale shprehet me formulën

ku - amplituda aktuale,

T - periudha - koha gjatë së cilës ndodh një lëkundje e plotë, s;

f \u003d 1 / T - frekuencë e barabartë me numrin e lëkundjeve në 1 sekondë (njësia e frekuencës - Hertz (Hz) ose s -1);

ω - frekuenca këndore (e shprehur në rad / s ose s -1).

Argumenti sinus, d.m.th.

quhet fazë. Faza karakterizon gjendjen e lëkundjes (vlera e saj numerike) në një kohë të caktuar t.

Çdo funksion i ndryshueshëm sinusoidal përcaktohet nga tre madhësi: amplituda, frekuenca këndore dhe faza fillestare.

Nëse frekuenca është shumë e ulët, atëherë dimensionet rriten makina elektrike dhe, rrjedhimisht, konsumi i materialeve për prodhimin e tyre.

Në frekuenca shumë të larta, humbjet e energjisë në bërthamat e makinave elektrike dhe transformatorëve rriten.

Vlerat mesatare dhe efektive të një sasie të ndryshueshme sinusoidale

Vlera mesatare e një vlere të ndryshueshme sinusoidale kuptohet si vlera mesatare e saj gjatë një periudhe gjysmë.

Kjo është, vlera mesatare e rrymës sinusoidale është

nga vlera e amplitudës.

Rryma AC zakonisht karakterizohet nga vlera e saj rms .

Kjo do të thotë që vlera efektive e rrymës sinusoidale është 0.707 e amplitudës.

Marrja e një EDC sinusoidale

Në qarqet elektrike lineare, një rrymë sinusoidale lind nën ndikimin e një EMF sinusoidale. Një varësi sinusoidale mund të merret duke rrotulluar me një shpejtësi konstante në një fushë magnetike uniforme një përcjellës në formën e një kornize drejtkëndëshe me sipërfaqen S. Pastaj fluksi magnetik përmes kornizës

ku - këndi midis normales me kornizën dhe vektori i induksionit magnetik .

Meqë me rrotullim uniform të kornizës, shpejtësia këndore

atëherë këndi do të ndryshojë sipas ligjit

=>

Që kur korniza rrotullohet, fluksi magnetik që e kalon atë ndryshon gjatë gjithë kohës, atëherë sipas ligjit induksioni elektromagnetik E.DS. do të induktohet në të. induksion

ku E 0 është amplituda e EMF sinusoidale.

Kështu, një EMF sinusoidal lind në kornizë, dhe nëse korniza është e mbyllur në ngarkesë, atëherë një qark sinusoidal do të rrjedhë në qark.

Mënyrat e shfaqjes së madhësive sinusoidale

Paraqitja grafike e vlerave sinusoidale.

Për të krahasuar sasitë elektrike që ndryshojnë në mënyrë sinusoidale, është e nevojshme të dihet ndryshimi midis fazave të tyre fillestare. Nëse, për shembull, në ndonjë seksion rryma unë dhe tensioni u kanë të njëjtat faza fillestare, thuhet se janë në fazë. Nëse grafiku i tensionit ndryshon me kalimin e kohës u në një pjesë të qarkut kalon koordinatën kohore t para grafikut aktual unë, atëherë ata thonë se voltazhi është përpara rrymës në kohë.

Në fig. 3.2 për një element të dhënë të qarkut, paraqiten grafikët e ndryshimit në kohë të dy madhësive elektrike: voltazhi u dhe aktuale unë... Nga këto dy grafikë mund të shihet se ato janë zhvendosur në fazë në raport me njëri-tjetrin nga një kënd φ .