Найти общее сопротивление цепи онлайн. Последовательное соединение резисторов

Бондаров Михаил Николаевич

Учитель физики лицея №1501 и ГОУ ЦО «Технологии обучения» г. Москвы.

Расч¸т сопротивления электрической цепи

В статье на примерах решения конкретных задач показано применение различных способов расч¸та сопротивления электриче- ской цепи. Рассмотрены некоторые методы преобразования электрических схем к эквивалентным схемам.

Введение

Задачи на расч¸т сопротивления электрической цепи можно встретить среди экзаменационных и олимпиадных задач, а также в заданиях ЕГЭ. В данной статье мы рас-

смотрим некоторые при¸мы, позволяющие достаточно эффективно определять сопротивления различных цепей. Напомним основные закономерности.

1. Последовательное и параллельное соединения проводников

В электрических цепях, с которыми можно встретиться на практике, проводники соединяются различными способами. Наиболее простые соединения известны как последовательное и параллельное соединения.

При последовательном соединении один проводник следует за другим так, что конец одного служит началом другого (рис. 1). Обратите внимание, что при этом между проводниками нет разветвлений проводов.

Из курса физики 8 класса известно, что общее сопротивление R последовательно соедин¸нных про-

При параллельном соединении проводники подключаются к одной и той же паре точек А и В (рис. 2).

2. Распознавание типов соединений

3. Смешанное соединение проводников

Приступим теперь к расч¸ту сопротивления при смешанном соединении проводников. Начн¸м с простых цепей.

Задача 1. Определите общее сопротивление цепи, схема которой изображена на рис. 3, если все проводники имеют сопротивление по 4 Ом.

Решение. Учитывая анализ, провед¸нный в примере 1, выделим три последовательно соедин¸нных проводника R 2 ,R 4 èR 6 (ðèñ. 5).

На эквивалентной схеме (рис. 6) их можно заменить одним проводником сопротивлением

R 246R 2R 4R 612 Îì.

Теперь ясно видно, что проводник сопротивлением R 246 соедин¸н

параллельно с проводником сопротивлением R 3.

Определим их общее сопротивление R 2463:

На эквивалентной схеме (рис. 7) видно, что исчезли узлы между

проводниками R 1 ,R 2463 èR 5 , поэтому эти проводники оказались соедин¸нными последовательно, и их общее сопротивление

R R 1R 2463R 511 Îì.

Ответ: 11 Ом.

Задача 2. В цепи, схема которой изображена на рис. 8, все проводни-

ки имеют сопротивление по 10 Ом. Чему равно общее сопротивление цепи между точками А и В?

Решение. Обратите внимание, что точки В и D соединены проводом с нулевым сопротивлением, следовательно, их можно объединить в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь вид, изобра- ж¸нный на рис. 9.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится в три этапа.

1) Сначала вычисляем сопротивление параллельно соедин¸нных проводников R 2è R 4:

На преобразованной схеме вместо проводников R 2 èR 4 рисуем эквивалентный им проводникR 24 (ðèñ. 10 a).

2) Затем определяем сопротивление последовательно соедин¸нных проводников R 24 è R1 :

R 241R 24R 115 Îì.

На рис. 10 б показана новая эквивалентная схема.

3) Наконец, находим общее сопротивление цепи:

Ответ: 6 Ом.

Заметим, что преобразуя цепь к более простой эквивалентной, можно на схемах изгибать, удлинять или укорачивать провода, перемещать узлы вдоль проводов, поскольку провода, соединяющие элементы схемы, считаются идеальными, т. е. имеющими нулевое сопротивление.

Рассмотрим теперь, как может видоизмениться цепь, состоящая из тр¸х последовательно соедин¸нных проводников, если к ним добавить другие проводники. Сначала добавим два проводника с нулевым сопротивлением, соединив ими точку А с точ- кой С, а В – с D (рис. 11).

Задача 3. Найдите сопротивление между точками А и D цепи (рис. 11), если каждый проводник имеет сопротивление 3 Ом.

Решение. Так как точки А и С соединены проводом с нулевым сопротивлением, то их потенциалы равны, а значит, эти точки имеют одинаковый потенциал, и их можно собрать в один общий узел. Аналогично поступим с точками В и D. Таким образом, полу- чилось, что каждый проводник оказался подключенным к одним и тем же точкам, т. е. все три проводника соединены параллельно. Теперь уже легко найти общее сопротивление цепи, учи- тывая, что все проводники имеют одинаковое сопротивление:

Ответ: 1 Ом.

Заменим теперь один из идеальных проводников реальным – с ненулевым сопротивлением.

Задача 4. Определите сопротивление между точками А и D цепи (рис. 12), если каждый проводник имеет сопротивление 6 Ом.

Заметим, что точки В и D попрежнему соединены проводником с нулевым сопротивлением. Следовательно, они имеют одинаковый потенциал. Соединив их в один узел, получим эквивалентную схему (рис. 13 а). Если же затем «распрямить» е¸, то участки с параллельно и последовательно соедин¸н- ными проводниками станут хорошо видны (рис. 13 б).

После этого останется лишь произвести расч¸т сопротивления для эквивалентной схемы в три этапа:

4. Мостиковая схема

Заменив второй идеальный проводник в цепи, схема которой показана на рис. 11, реальным, получим новую цепь, схема которой изображена на рис. 14.

Задача 5. Определите сопротивление между точками А и D цепи, схема которой изображена на рис. 14, если сопротивление каждого проводника равно 2 Ом.

Решение. На этот раз все попытки обнаружить хотя бы одну пару последовательно или параллельно соедин¸нных проводников оказываются безуспешными. И вс¸ же попробуем немного видоизменить схему так, чтобы можно было увидеть в ней элементы симметрии. Немного потренировавшись, можно получить следующую схему – она носит название «мостиковая схема» (рис. 15).

Поскольку все проводники имеют одинаковое сопротивление, то по

ветвям ABD и ACD текут одинаковые токи, а через выделенную красным цветом перемычку ВС ток идти не будет. Поэтому перемычку можно безболезненно удалить из цепи, не изменив при этом общее сопротивление цепи (рис. 16).

Заметим кстати, что ток через перемычку не будет идти при любом е¸ сопротивлении , если для остальных проводников выполняется соотношение:

Теперь же ясно видно, что цепь состоит из двух параллельно соеди- н¸нных участков, в которых находится по два последовательно соеди- н¸нных проводника. Определим сна- чала сопротивление каждого из этих участков: R ABD R AСD (2 2) Ом

4 Ом. Затем находим общее сопротивление цепи:

Ответ: 2 Ом.

Задача 6. Каково сопротивление

между точками N и M цепи, схема которой показана на рис. 17, если сопротивления проводников

R 1 1 Ом,R 2 2 Ом,R 3 4 Ом,R 4 2 Ом,R 5 5 Ом?

Решение. В данном случае не очевидно, что ток через выделенный красным цветом проводник 5 идти не будет. И вс¸ же, проделав несколько манипуляций с цепью, можно полу- чить мостиковую схему (этапы преобразований показаны на рис. 18 a–ã).

Обратим внимание, что по условию задачи

R 1R 2,

R 4R 3

то есть выполняется соотношение (*). Следовательно, потенциалы точек С и D одинаковы, через проводник 5 ток не ид¸т, и его можно удалить, не изменяя сопротивление цепи. После этого эквивалентная схема выглядит совсем просто (рис. 18 д).

5. Метод исключения участков цепи

Задача 7. Определите сопротивление между точками А и С цепи (рис. 19), если каждый проводник имеет сопротивление 3 Ом.

Решение. Из симметрии схемы (рис. 20) следует, что по выделенным зел¸ным цветом проводникам будут идти одинаковые токи, следовательно, потенциалы точек В, О и D будут одинаковы. Тогда по проводникам, выделенным красным цветом, токи идти не будут, и их можно удалить из цепи, не изменив при этом е¸ общее сопротивление.

В результате схема упростится (рис. 21), выделенные одинаково проводники тр¸х ветвей окажутся соедин¸нными последовательно, а сами ветви соединены между собой параллельно.

Теперь уже дальнейший расч¸т несложен: сопротивление каждой ветви равно 6 Ом, а общее сопротивление цепи составляет 2 Ом.

Ответ: 2 Ом.

Заметим, что именно этот при¸м был использован при решении задач 5 и 6.

получим более простую схему (рис. 24).

Заменим теперь параллельно соедин¸нные проводники 2 и 56 проводником с эквивалентным сопротивлением R 256 :

Поступим аналогично и с проводниками 78 и 4: эквивалентное сопротивление R 784 также равно 4 Ом.

Теперь схема ещ¸ более упрощается (рис. 25).

Дальнейший расч¸т несложен:

Этот метод является обратным по отношению к предыдущему.

Задача 9. В каждое из р¸бер куба включ¸н проводник сопротивлением 6 Ом. Чему равно сопротивление получившейся конструкции между вершинами А и В, находящимися на концах большой диагонали куба?

Решение. Используем теперь метод склеивания узлов.

Изобразим на чертеже схему включения проводников (рис. 26). Учитывая симметрию схемы, заметим, что токи через проводники, выделенные зел¸ным, одинаковы. Следовательно, потенциалы точек 1, 2 и 3 равны. Тогда, если их соединить идеальными проводниками, то по этим проводникам ток идти не будет, а значит общее сопротивление цепи не изменится. Таким образом, точки 1, 2 и 3 оказались собранными в один узел, а выделенные зел¸ным проводники стали соедин¸нными параллельно.

Поступив аналогично с проводниками, выделенными синим, полу- чим три других параллельно соеди- н¸нных проводника.

Обратим внимание, что шесть оставшихся проводников (они выделены ж¸лтым цветом) теперь оказываются соедин¸нными параллельно. Действительно, каждый из них одним концом подключ¸н к узлу, выделенному зел¸ным цветом, а другим – к узлу, выделенному синим цветом.

Таким образом, эквивалентная схема состоит из тр¸х последовательно соедин¸нных участков: 1) три параллельно соедин¸нных проводника; 2) затем ещ¸ шесть; 3) и, наконец, снова три (рис. 27).

Аналогично произвед¸нному в задаче 3 расч¸ту сопротивление тр¸х параллельно соедин¸нных проводников равно 2 Ом, а у шести таких же проводников – вдвое меньше: 1 Ом. Теперь эквивалентная схема состоит из тр¸х последовательно соедин¸нных проводников, и их общее сопротивление

R (2 1 2) Ом 5 Ом.

Ответ: 5 Ом.

Заключение

Итак, подвед¸м краткий итог. При определении общего сопро-

1. Метод склеивания узлов. Если два или более узлов имеют одинаковый потенциал, то их можно соединить в один узел.

2. Метод исключения участков цепи. Проводник можно удалить, если через него не теч¸т ток (узлы, которые он соединяет, имеют одинаковый потенциал).

3. Метод разрезания узлов. Действие, противоположное склеиванию узлов.

А что делать в том случае, если число проводников в цепи стремится

ê бесконечности или не уда¸тся найти не только последовательно или параллельно соедин¸нные проводники, но и симметрию в схеме? Об этом будет рассказано в другой статье.

Ответ на пример 2

Ж¸лтым цветом выделены последовательно соедин¸нные проводники, зел¸ным – параллельно соедин¸нные.

Задачи для самостоятельного решения

Если не использовать специальные технические решения по увеличению проводимости сопротивление имеют все проводники электротока. Даже провод может оказаться не пригодным при большой силе тока и его придётся заменять, например, медной шиной. Определить величины тока в источнике питания, и в нагрузках позволяет расчет сопротивления электрической цепи .

Два вида соединений элементов может быть в электрической схеме:

• последовательное;
• параллельное.

На изображении выше показаны четыре нагрузки. Из них R1 и R2 соединены последовательно, так же, как и нагрузка R3 c R4. Но в этой схеме есть и параллельное соединение: R1и R2 параллельны R3 и R4.

В любых электрических цепях элемент с функциями сопротивления именуется как «резистор». Если в электрической схеме n резисторов соединены последовательно величины их сопротивлений суммируются. Следовательно, общее сопротивление электрической цепи Rобщ.

• Rобщ.=R1+R2+…+Rn

При параллельном соединении n резисторов для Rобщ. справедливо выражение

Сколько бы ни было резисторов в электрической схеме их можно заменить одним элементом эквивалентного сопротивления и определить ток в этом элементе по закону Ома. Для этого шаг за шагом выполняется замена нескольких резисторов одним в соответствии с их соединением – параллельным или последовательным. На примере первого изображения с резисторами R1, R2, R3 и R4 получится следующее. Сначала заменяем R1 и R2 на R5:

• R5= R1+R2

Затем заменяем R3 и R4 на R6:

• R6=R3+ R4

В результате получается новая эквивалентная схема из R5 и R6, соединённых параллельно

А конечный результат определить легко:

• 1/Rобщ.=1/R5 + 1/R6,
• Rобщ.= R5*R6/(R5+R6)

В том случае, когда не удаётся сразу сделать замену нескольких элементов одним, как например, на схеме, показанной ниже

следует сделать её анализ. В приведенном изображении, очевидно, что сумма токов в нагрузках R1 и R2 равна сумме токов в нагрузках R4 и R5. Следовательно, потенциалы точек А и В равны, и могут быть объединены. Ток через нагрузку R3 не течёт. Получаются такие соединения

Эти соединения нагрузок легко преобразуется сначала в два последовательно соединённых элемента, а затем в одно эквивалентное сопротивление. Для более сложных и разветвлённых цепей применяется такой же метод.

Последовательное соединение – это соединение двух или более резисторов в форме цепи, в которой каждый отдельный резистор соединяется с другим отдельным резистором только в одной точке.

Параллельное соединение – это соединение, при котором резисторы соединяются между собой обоими контактами. В результате к одной точке (электрическому узлу) может быть присоединено несколько резисторов.

2) Общее сопротивление R общ

При таком соединении, через все резисторы проходит один и тот же электрический ток. Чем больше элементов на данном участке электрической цепи, тем «труднее» току протекать через него. Следовательно, при последовательном соединении резисторов их общее сопротивление увеличивается, и оно равно сумме всех сопротивлений.

Общее сопротивление R общ

При таком соединении, через каждый резистор потечет отдельный ток. Сила данного тока будет обратно пропорциональна сопротивлению резистора. В результате общая проводимость такого участка электрической цепи увеличивается, а общее сопротивление в свою очередь уменьшается.

Таким образом, при параллельном подсоединении резисторов с разным сопротивлением, общее сопротивление будет всегда меньше значения самого маленького отдельного резистора.

Формула эквивалентного общего сопротивления при параллельном соединении резисторов:

Для двух одинаковых резисторов общее сопротивление будет равно половине одного отдельного резистора:

Соответственно, для n одинаковых резисторов общее сопротивление будет равно значению одного резистора, разделенного на n.

3)Электропроводность, электрическая проводимость, проводимость, способность тела пропускать электрический ток под воздействием электрического поля, а также физическая величина, количественно характеризующая эту способность. Тела, проводящие электрический ток, называются проводниками, в отличие от изоляторов.. .
Основная единица измерения сопротивления - Ом. Удельная проводимость - величина обратная сопротивлению, она измеряется в Сименсах, ранее назывшихся mho. Применительно к сыпучим веществам удобнее говорить об особой проводимости, обычно называемой удельной проводимостью.
Удельная проводимость - это проводимость, измеренная между противоположными сторонами куба вещества со стороной 1 см. Единицей данного типа измерений является Сименс/см. При измерении проводимости воды чаще используются более точные мкС/см (микросименс) и мС/см (миллисименс) .
Соответствующие единицы измерения сопротивления (или удельного сопротивления) - Ом/см, МегаОм/см и килоОм/см. При измерении сверхчистой воды чаще используют МегаОм/см, так как это дает более точные результаты. Сопротивление менее чистой воды, как например, водопроводной, измеряют в килоОм/см.

4) Общее сопротивление при последовательном соединении равно сумме сопротивлений Rсумм=R1+R2+R3...
Ток через все сопротивления протекает один (I). Поэтому ток вычисляешь как Отношение напряжения источника U к Rсумм.

Мощность

P=U*I или P=I*I*R (так как U=I*R).

P1=I*I*R1
P2=I*I*R2
P3=I*I*R3

5) мощность электрического тока в цепи, состоящей из параллельно соединенных участков,
равна сумме мощностей на отдельных участках:

При параллельном соединении каждая лампа подсоединяется на своё номинальное напряжение 220 В. при этом в каждой лампе появляется свой номинальный ток, обеспечивающий заданное свечение в соответствии с номинальной мощностью. мощность зависит от сопротивления нити накаливания. чем больше сопротивление нити, тем меньше ток и соответственно меньше номинальная мощность.
при последовательном соединении ток идёт один и тот же в каждой лампе. а напряжение распределяется в зависимости от доли сопротивления каждой лампы по отношению к сопротивлению всей цепи.
для цепи из двух ламп общее напряжение делится.
напряжение на лампе 40 Вт будет 220Х60:(40+60)=132; В.
напряжение на лампе 60 Вт будет 220Х40:(40+60)=80; В.