Входное сопротивление контура. Учебное пособие: Гармонические колебания в параллельном контуре

Применение последовательного колебательного контура

Энергетические соотношения в последовательном колебательном контуре при резонансе

Влияние внутреннего сопротивления источника сигнала на АЧХ контура

Последовательный колебательный контур

Резонансные явления в электрических цепях

Последовательный КОЛЕБАТЕЛЬНЫй КОНТУР

ЛЕКЦИЯ 15

План лекции:

Резонансом электрической цепи называют явление обращения в нуль её реактивного сопротивления. Частоту, на которой имеет место этот факт, называют резонансной. Резонанс может возникать только в цепях, имеющих хотя бы по одному реактивному элементу разного типа проводимости.

Резонансы могут иметь место как в отдельных ветвях электрической цепи, так и в контурах. Поэтому в цепях с несколькими реактивными элементами разного типа может быть несколько резонансных частот.

В радиотехнике резонансные явления в электрических цепях широко используют для выделения полосы частот и усиления сигналов.

Цепь с последовательным соединением элементов называют последовательным колебательным контуром. Так как реальные индуктивности и ёмкости имеют потери, то это учтено на схеме последовательно включенным в цепь малым эквивалентным сопротивлением потерь (рис. 15.1).

Полное сопротивление этой цепи будет равно

где – модуль, и – активная и реактивная составляющие, – фаза полного сопротивления.

Рис. 15.1. Последовательный колебательный контур

На резонансной частоте реактивная составляющая полного сопротивления обращается в нуль, то есть выполняется условие

Отсюда получаем формулу для расчёта резонансной частоты через параметры последовательного колебательного контура

На частотах меньше резонансной реактивное сопротивление цепи отрицательно, то есть носит ёмкостный характер, так как сопротивление ёмкости больше сопротивления индуктивности и является преобладающим. На частотах больше резонансной реактивное сопротивление последовательного колебательного контура положительно и имеет индуктивный характер, так как в этом случае сопротивление индуктивности становится больше сопротивления ёмкости.

Преобразуем выражение (15.1) с учётом введённого понятия резонансной частоты:

Величину , имеющую размерность сопротивления, называют волновым или характеристическим сопротивлением контура, причём

Отношение характеристического сопротивления к сопротивлению потерь называют добротностью контура и обозначают символом , а обратную ему величину – затуханием:

Контуры низкого качества имеют добротность меньше 50. Для контуров среднего качества выполняется соотношение , для контуров хорошего качества – и для контуров высокого качества – .

Выражение в круглых скобках в формуле (15.4) обозначают греческой буквой и называют относительной расстройкой контура

По смыслу, относительная расстройка характеризует в относительных единицах отклонение частоты источника сигнала от резонансной частоты контура.

С учётом введённых обозначений формулу сопротивления (15.4) можно записать в более компактной форме:

Ток в цепи можно найти по закону Ома:

где – начальная фаза источника эдс, – фаза полного сопротивления в другой форме записи.

На резонансной частоте ток максимален и равен

Нормированная амплитудно-частотная (АЧХ)

и фазочастотная характеристики (ФЧХ)

тока приведены на рис. 15.2.

На резонансной частоте относительная расстройка (15.7) равна нулю. Поэтому

Следовательно, на резонансной частоте амплитуды напряжений на индуктивности и ёмкости равны друг другу и в раз больше амплитуды эдс:

Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений. Векторная диаграмма напряжений для контура на частоте резонанса приведена на рис. 15.3.

Область частот, на границах которой ток уменьшается в раз относительно своего максимального значения, называют полосой пропускания. На границах полосы пропускания согласно формуле (15.9) выполняется условие

Рис. 15.2. Амплитудно-частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики тока в последовательном колебательном контуре

Разряд конденсатора не может произойти мгновенно, т.к. этому препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в элементе индуктивности.

В идеальном контуре, активное сопротивление которого равно нулю, и, следовательно, отсутствуют потери, запасенная в электрическом поле энергия полностью переходит в энергию магнитного поля индуктивности.

Затем происходит обратный переход энергии. Далее процессы повторяются. Таким образом, возникают незатухающие электрические колебания, имеющие форму косинусоиды. Графики и представлены на рисунке 1, б.

Частота, с которой происходит колебания энергии между реактивными элементами при отключении источника, называется частотой свободных (собственных) незатухающих колебаний контура. Обозначение: или .

Т.к. в идеальном контуре величины напряжений на L и C одинаковы, то

, ,

или , .

В режиме свободных колебаний через элементы контура протекает ток. Сопротивление, которое оказывают элементы контура току на частоте собственных колебаний, называется волновым (характеристическим ).

Это сопротивление обозначается и определяется следующим образом:

, или . Т.к. , то

(Ом).

Из последнего выражения следует, что на частоте собственных колебаний волновое сопротивление равно одному из реактивных сопротивлений (рис. 2).

На практике реальный КК всегда имеет потери активное сопротивление не равно 0, что приводит к затухающему характеру свободных колебаний (рис. 3).

Рис. 3

Для характеристики последнего свойства вводится понятие добротность контура (качество контура).

Добротность является энергетическим параметром и показывает во сколько раз реактивная мощность (за счет которой и происходят свободные колебания) больше активной:

Отметим, что данное определение относится не только к колебательным контурам, но и к отдельным деталям, например, к катушкам индуктивности, к конденсаторам.

Чем больше реактивная мощность, тем выше добротность и тем медленнее происходит затухание колебаний и наоборот.

Добротность КК, применяемых в технике связи, обычно составляет десятки-сотни, а в технике СВЧ и специальных устройствах добротность может достигать тысячи и больше.

Принято считать, что если: – KKнизкой добротности ,

– КК средней добротности ,

– КК высокой добротности .

Практически реализовать LC контур с добротностью свыше 400 трудно из-за низкой добротности катушек индуктивности (именно они и определяют качество контура).

Вывод : Рассмотренные параметры , и для колебательных контуров являются одним из основных, т.к. они зависят от первичных параметров, и их называют вторичными параметрами контура .

2. Возможные режимы установившихся гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре

Параллельным колебательным контуром называют цепь, составленную из элементов индуктивности, емкости и сопротивления, соединенных параллельно. Схема контура показана на рисунке 4.

Найдем комплексную проводимость контура:

где: – активная составляющая проводимости,

– реактивная составляющая проводимости.

Из формулы следует, что в зависимости от соотношения и в параллельном контуре возможны 3 режима:

1) , т.е. и .

Построим для этого случая векторную диаграмму, положив начальную фазу напряжения на контуре, равной 0 (рис. 5)

Как видно из векторной диаграммы, ток в контуре опережает напряжение на некоторый угол , что является признаком емкостного режима .

Вывод емкостной режим колебаний и ток в контуре опережает напряжение.

Построив аналогичным образом векторную диаграмму (рис. 6), убедимся в том, что ток в контуре будет теперь отставать от напряжения на некоторый угол , что является признаком индуктивного режима .

Вывод : При в параллельном контуре устанавливается индуктивный режим колебаний, и ток в контуре отстает от напряжения.

Проводимость контура в этом случае равна активной проводимости G . Контур имеет активный характер, т.е. ток совпадает по фазе с напряжением на контуре и численно равен току через проводимость (рис. 7).

Такой режим называется резонансом токов и имеет важное практическое значение.

Проведенный анализ показывает, что режим колебаний в параллельном контуре определяется соотношением реактивных проводимостей и .

Любой из рассмотренных режимов может быть получен несколькими способами: изменением частоты генератора, индуктивности и емкости.

Вывод: Значения режимов ГК в контуре позволяет качественно анализировать процессы, проходящие в контурах, произведя соответствующие инженерные расчёты.

3 . Резонанс токов

1) Резонансная частота

Выше показано, что резонанс токов наступает на частоте, при которой:

откуда.

Т.е. резонансная частота равна частоте собственных колебаний контура. Изменение достигается изменением L или C (чаще).

2) Волновое сопротивление контура

На резонансной частоте, откуда (Ом), т.е. волновое сопротивление контура равно сопротивлению одного из реактивных элементов.

Обычно волновое сопротивление ПК, используемых в электрических цепях, имеет порядок несколько сотен Ом (100500).

3) Добротность контура

По определению , где, следовательно .

Т.к. на резонансной частоте численные значения проводимостей и одинаковые, то добротность можно вычислить по следующей формуле:

, т.о. .

4) Резонансное сопротивление контура, токи в ветвях при резонансе

т.к. при резонансе , то и , т.е. сопротивление контура при резонансе чисто активно и наибольшее по величине.

Действительно, полное сопротивление контура равно:

при , и .

Определим соотношение между током источника и током через реактивный элемент:

, т.е. .

Аналогично можно показать, что.

Вывод :При резонансе токи в ветвях параллельного КК максимальны и в Q раз больше тока источника. Этим и объясняется название режима – резонанс токов .

При резонансной частоте задающий токисточника замыкается через элемент проводимости контура. Токи же в реактивных элементах контура взаимно компенсируют друг друга относительно внешней цепи контура, или, аналогично, что при резонансной частоте круговой ток замыкается через реактивные элементы контура. При этом , а наибольшее по величине. При резонансе напряжение на контуре максимально (). Именно по этому признаку параллельный КК настраивается на резонансную частоту.

4. Комплексные передаточные функции параллельного контура

Выражения для частотных характеристик параллельно колебательного контура относительно напряжения, можно получить из следующей комплексной передаточной функции:

.

Преобразуемзнаменатель:

т.о. .

Здесь частотно-зависимым является множитель называемый относительной расстройкой . Произведение называют обобщенной расстройкой контура .

C учетом этого:.

Из выражения получаем

АЧХ : ,

и ФЧХ: .

АЧХ называют резонансной характеристикой параллельно колебательного контура. Максимальное значение эта характеристика имеет при резонансной частоте (), .

Резонансную характеристику контура принято нормировать относительно ее максимального значения. Нормированная резонансная характеристика: т.е. отношение амплитуду напряжения при заданной частоте к амплитуде напряжения при резонансе:

.

Нормированная резонансная характеристика есть не что иное, как АЧХ контура относительно тока в элементе активного сопротивления.

.

Найдем приближенное выражение для частотных характеристик колебательного контурасо схемой замещения, показанной на рисунке 8.

Она отличается от схемы замещения параллельного колебательного контура тем, что в ней потери в индуктивности реального контура учитываются сопротивлением, включенным последовательно с индуктивностью. Для рассматриваемого контура:

.

В области частот, в которой реактивная составляющая сопротивления катушки индуктивности немного превышает по величине активную составляющуюеё сопротивления, можно пренебречь слагаемым в числителе последнего выражения.

Тогда приближенно:

.

Полученная приближенная формула не отличается от строгой формулы для комплексной передаточной функции параллельного контура с теми же значениями индуктивности L и емкости С и c активной проводимостью:

.

Заключение

Рассмотренные режимы установившихся гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре позволяют дать физическое объяснение АЧХ и ФЧХ. Частотные характеристики параллельного колебательного контура остаются приближенно верными также и для иных схем замещения реальных колебательных контуров, если интересоваться поведением характеристик в сравнительно узкой полосе частот.

Литература, используемая для подготовки к лекции: Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. (Учебник); Качанов Н.С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воениздат, 1974. (Учебник); В.П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)

14 Последовательный колебательный контур

Как известно, простейшими резонансными (или колебательными) цепями являются последовательный и параллельный колебательные контуры. Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора (рис. 1). При воздействии на такую цепь переменного (в простейшем случае гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена согласно закону Ома: I = U/|Х Σ | , где |Х Σ | -модуль суммы реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора. На рис. 2 приведены зависимости реактивных сопротивлений катушки X L и конденсатора Х C от круговой частоты ω, а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы Х Σ Последний график, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления цепи, изображенной на рис. 1. Из этого графика видно, что на некоторой частоте ω=ω р, на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю, общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи, а саму цепь, изображенную на рис. 1, принято называть последовательным колебательным контуром. Также из рис. 2 видно, что на частотах ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах - индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может оыть вычислена при помощи известной формулы Томсона: ω р = 1/√(LC).

Рис. 1 Последовательный колебательный контур

Рис. 2 Зависимости реактивных сопротивлений катушки X L и конденсатора Х C от круговой частоты ω

На рис.3 изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь r, подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U. Модуль полного сопротивления (импеданса) такой цепи определяется следующим образом: |z| = √(r 2 +|X Σ | 2), где |X Σ | = ωL-1/ωC. Очевидно, что на резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки X L = jωL и конденсатора Х C = -j/ωС равны по модулю, величина |X Σ | обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/r. При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение U L =U C =I|X L |=I|X C |. На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы - они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений |X L | и |X C | .Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. С учетом приведенной записи для импеданса цепи можно привести часто встречающееся определение резонансной частоты: резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер.

Рис. 3 Эквивалентная схема последовательного резонансного контура

Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое сопротивление ρ и добротность Q. Характеристическим сопротивлением контура ρ называется величина модуля реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = |Х L | =|Х C | при ω =ω р. В общем случае характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(LC). Характеристическое сопротивление ρ является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура - катушкой (энергия магнитного поля) W L = (LI 2)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) W C =(CU 2)/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает "качество". Величину, обратную добротности d=1/Q называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q=ρ/r, где r-сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р=I 2 r. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ). На рис. 4а и рис. 4б представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур. АЧХ этих цепей приведены (показаны сплошными линями) на рис. 5а и рис. 5б соответственно. По вертикальной оси отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному. Для пассивных цепей (не т.е. содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Очевидно, что сопротивление цепи на рис. 4а переменному току будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля. При резонансе в цепи, изображенной на рис. 4б, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. Чаще всего за полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение - в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительного его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,707 (3дБ).

Пунктирными линиями на рис. 5а и рис. 5б показаны АЧХ точно таких же цепей, как на рис. 4а и рис. 4б соответственно, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рис. 5а и рис. 5б, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.