Синус напруги. Синусоїдальний ток і його основні характеристики

Лекція 2Сінусоідальний ток.doc

Синусоїдальні ТОК. ФОРМИ ЙОГО ПОДАННЯ.
У практиці електротехніки в якості змінного струму широке застосування знайшов струм синусоїдальної форми. Це обумовлено рядом переваг:

Генератори синусоїдального струму значно дешевше у виробництві, ніж генератори постійного струму;

Змінний струм легко перетворюється в постійний;

Трансформація і передача електричної енергії змінним струмом економічніше ніж постійним;

Двигуни змінного струму мають просту конструкцію, високу надійність і невисоку вартість.

В даний час змінний струм застосовується в промисловому приводі і в електроосвітленні, в сільському господарстві і на транспорті, в техніці зв'язку і в побуті. Виробництво електричної енергії також здійснюється на змінному струмі. Величезну роль в справі впровадження змінного струму зіграли російські вчені П.Н.Яблочков і М.О.Доливо-Добровольський.
^ 1.Основні параметри синусоїдального струму
Змінним називають струм (напруга, ЕРС), що змінюється в часі за величиною і напрямком. Синусоїдальний ток може бути представлений за допомогою дійсної функції часу - синусної і косинусной, наприклад:

(2.1)
де I m - максимальна амплітуда струму (амплітудне значення);

 - кутова частота, причому;

f - частота коливань [Гц];

Т - період [C];

 i - початкова фаза, визначає значення струму в момент часу t\u003d 0, тобто

i(t=0) = I m  sin  i .
На рис. 2.1 наведено графік двох коливань з різними початковими фазами  1 і  2, причому  1   2. Амплітуда гармонік проходить через нуль, коли:

 t  =  n (n \u003d 0,1,2 ...), тобто в моменти


.
Так як  1   2, то t 1 має місце раніше t 2:

рис.2.1
Початкова фаза часто задається в градусах. Тому при визначенні миттєвого значення струму аргумент синуса (складові  t і  ) Потрібно привести до однієї одиниці виміру (рад. Або градус).

іноді гармонійнеколивання представляється в косинусной формі. Легко бачити, що для переходу до такої форми в (2.1) досить змінити лише початкову фазу, тобто .:

Промислова частота змінного струму в Росії і всіх країнах Європи дорівнює 50 Гц, в США і Японії - 60 Гц, в авіації - 400 Гц. Зниження частоти нижче 50 Гц погіршує якість освітлення. Збільшення частоти погіршує умови передачі електроенергії на великі відстані.

Вираз для синусоїдальної напруги аналогічно (2.1), тобто .:
u(t) = U m  sin (  t  u) (2.2)
Аналогічно (2.1) визначаються і основні параметри напруги.

Крім уже названих параметрів, в практиці електротехніки часто користуються поняттями середнього і чинного значень струму і напруги. Розглянемо їх.

Під середнім значенням синусоїдального струму розуміють його середнє значення за полперіода:


(2.3)
Бачимо, що середнє значення синусоїдального струму становить 2 /   0,64 від амплітудного. Аналогічно визначається середнє значення синусоїдальної напруги
.
Чинним називають середнє квадратичне значення синусоїдального струму (напруги) за період:
.
Так як:

,
то:

.
Бачимо, що діюче значення синусоїдального струму становить 0,707 від амплітудного. Аналогічно визначається діюче значення синусоїдальної напруги:
.
Якщо говорять про значеннях змінного струму або напруги, то, як правило, мають на увазі їх чинне значення. Наприклад, напруга в однофазної мережі змінного струму 220 В - чинне. При цьому амплітудне значення U m  310 В.

^ 2.Представленіе синусоїдального струму (напруги) радіус - вектором.
При аналізі стану електричних ланцюгів змінного струму виникає необхідність обчислення суми або різниці коливань однакових частот, але з різними амплітудами і початковими фазами. Вирішувати таке завдання за допомогою розглянутої форми подання (тобто за допомогою тригонометричних функцій) досить важко.

Нехай потрібно знайти струм i(t) = i 1 (t) i 2 (t), Причому:
i 1 (t) = I m 1  sin (  t  1),
i 2 (t) = I m 2  sin (  t  2).
Так як частоти коливань однакові, то задача зводиться до знаходження сумарних амплітудного значення I m і початкової фази  . Якщо застосувати для вирішення відомі тригонометричні перетворення, то отримаємо:
,
.
Бачимо, що навіть остаточний результат має громіздкий і любий вид.

Значне спрощення досягається застосуванням графічного методу. Векторне подання синусоїдальних величин відомо з тригонометрії. Синусоїдальний ток (напруга) зображується у вигляді радіус-вектора, що обертається проти годинникової стрілки з частотою  . Довжина вектора дорівнює амплітудному значенням - I m . Один оборот вектор робить, за час періоду (рис.2.2).

Положення радіус-вектора щодо осі Х в момент початку відліку t\u003d 0 визначається кутом  . Проекція вектора на вісь Y визначається виразом (2.1).

На одній векторній діаграмі можуть бути зображені вектори декількох коливань, наприклад i 1 (t) і i 2 (t) (Рис. 2.3). Для спрощення аналізу всі вектори зображуються в момент часу t\u003d 0. Тоді сума двох векторів визначиться за правилом паралелограма. Результуючий радіус-вектор також обертається щодо початку координат з частотою  , А його проекція на вісь Y визначається виразом
i(t) = I m  sin (  t  ),
де  - положення сумарного вектора щодо осі Х в момент часу t=0.

Простота рішення очевидна. Однак графічний метод має істотний недолік - низькою точністю. Тому його застосовують найчастіше для якісного аналізу електричних ланцюгів за допомогою топографічних векторних діаграм напруг.

Для побудови топографічної векторної діаграми в аналізованої електричної ланцюга виділяють кілька ділянок у напрямку обходу. Падіння напруги на кожній ділянці може бути визначено вектором. Встановлюючи кожний наступний вектор (у напрямку обходу) в точку кінця попереднього вектора одержимо топографічну векторну діаграму напруг. Вектор між будь-якими двома точками цієї діаграми характеризує напругу між відповідними точками електричного кола.

1. 
   ^ Комплексне зображення синусоїдального струму.

Комплексне уявлення синусоїдальних струмів і напруг дозволяє поєднати простоту і наочність векторного уявлення з точністю уявлення дійсними функціями часу. Для переходу від графічного до комплексного поданням, замінимо осі декартової системи координат (рис.2.2) наступним чином:

ось ^ Х на вісь дійсних чисел R e ;

ось Y на вісь уявних чисел J m (Рис.2.4).

При цьому довжина вектора струму (напруги) як і раніше визначається амплітудним значенням, але позначається як комплексна величина, тобто

. Кут нахилу вектора до осі дійсних чисел R e в момент часу t\u003d 0 залишається колишнім, тобто  .

Позначимо проекцію вектора на вісь дійсних чисел i / = I m cos  , А проекцію на вісь уявних чисел \u003d I m  sin  . Тоді очевидно, що:

, (2.5)
де j - уявна одиниця, причому -

Вираз (2.5) визначає комплексну алгебраїчну форму подання синусоїдального струму. Вона зручна для виконання дій додавання і віднімання струмів (напруг).

Дійсно, для складання двох комплексних чисел досить окремо скласти дійсні та уявні числа.

Підставами в (2.5) замість і їх значення. Тоді отримаємо:
İ

, (2.6)
де - модуль комплексного уявлення струму, чисельно рівний амплітудному значенням.

Вираз (2.6) визначає комплексну тригонометричну форму подання синусоїдального струму. З рис. 2.4 очевидно, що:


, а

. (2.7)
Бачимо, що вирази (2.7) характеризують параметри синусоїдального струму, які не залежать від часу - дійсну амплітуду і початкову фазу . Вони дозволяють легко перейти від комплексної форми вистави до вистави дійсними функціями часу.

Введемо в (2.5) залежність від часу. тоді:
İ

, (2.8)
де
Тепер очевидно, що реальна частина (2.8) характеризує реально існуюче коливання, що описується дійсною косинусной функцією, уявна частина - це ж коливання в синусної формі.

За допомогою формули Ейлера від (2.6) переходять до показовій формі комплексного уявлення струму:
İ

, (2.9)
а з урахуванням залежності від часу:

İ m İ m

. (2.10)
Комплексна показова форма зручна для виконання дій множення, ділення, піднесення до степеня або вилучення кореня. Дійсно, для множення двох комплексних чисел в показовою формі (2.9) досить перемножити їх модулі, а аргументи (показники ступеня) скласти.

Уявімо струми і напруги на пасивних елементах, що володіють активним опором, Ємністю і індуктивністю в комплексній формі. Нехай маємо:

İ

İ

;


Для елемента з активним опором справедливо рівність:


.
Перепишемо це рівність в показовою формі:





(2.11)

Але рівність (2.11) можливо тільки в тому випадку, коли. Таким чином, ми прийшли до важливого висновку про те, що на елементі з активним опором струм і напруга співпадають по фазі, тобто максимуми струму і напруги мають місце в один і той же момент часу, Вектори струму і напруги будуть збігатися (рис. 2.5).

Для елемента володіє ємністю відомий вислів:



Застосовуючи до нього комплексну форму подання струму і напруги отримаємо:


.
З огляду на, що приходимо до виразу:


,

Таким чином, бачимо, що напруга на ємності відстає від струму на 90 о (див. Ріс.2,6)

Для елемента, що володіє індуктивністю, скористаємося виразом (1.11). тоді:

(2.13)
Бачимо, що напруга на індуктивності випереджає струм на 90 о (див. Рис. 2.7).

На закінчення лекції відзначимо що вирази (2.11), (2.12) і (2.13) не мають часових залежностей. Це спрощує розрахунки електричних ланцюгів, зводячи їх до алгебраїчних операцій з комплексними числами. Саме тому комплексне уявлення широко використовується при аналізі електричних ланцюгів змінного струму.

синусоїдальний ток

Миттєве значення синусоїдального струму визначається виразом


де - максимальне значення абоамплітуда струму . аргумент синуса називається фазою. кут y дорівнює фазі в початковий момент часу (t \u003d 0) і тому називаєтьсяпочатковою фазою . Фаза з плином часу безперервно зростає. Після її збільшення на2 p весь цикл зміни струму повторюється. Тому, коли говорять про фазі для будь-якого моменту часу, зазвичай відкидають ціле число2 p так, щоб значення фази знаходилося в межах або в межах, від0 до 2 p . Протягом періодуТ фаза збільшується на2 p. Величина 2 p / Т показує швидкість зміни фази і позначається буквоюw . Приймаючи до уваги, щоf \u003d 1 / Т, можна написати

Це вираз, що пов'язуєw і f , Послужило підставою називатиw кутовий частотою. вимірюється w числом радіанів, на яке збільшується фаза в секунду. Так, наприклад, приf \u003d 50 Гц маємо w \u003d 314 рад / с. Ввівши в (3.1) позначенняw для кутової частоти, отримаємо


На рис. 3.3 побудований графік синусоїдальних струмів однакової частоти, але з різними амплітудами і початковими фазами:

По осі абсцис відкладені час t і пропорційна часу величинаw t .
Початкова фаза відлічується завжди від моменту, відповідного початку синусоїди (нульове значення синусоїдальної величини при переході її від негативних до позитивних значень), до моменту початку відліку часу t \u003d 0 (початок координат). при початок синусоїди струму зрушено вліво, а при для струму - вправо від початку координат.
Миттєве значення синусоїдального струму можна представити і у вигляді косинусоидальной функції часу

де
Якщо у декількох синусоїдальних функцій, змінюються з однаковою частотою, почала синусоид не збігаються, то кажуть, що вонизрушені відносно один одного по фазі. Зрушення фаз вимірюється різницею фаз, яка, очевидно, дорівнює різниці початкових фаз. На рис. 3.3, наприклад,, Тобто струм випереджає по фазі ток на кут , Або, що те ж саме, струмвідстає по фазі від струму на кут .
Якщо у синусоїдальних функцій однієї і тієї ж частоти однакові початкові фази, то кажуть, що вонизбігаються по фазі, Якщо різниця їх фаз дорівнює, То говорять, що вонипротилежні по фазі, І, нарешті, якщо різниця їх фаз дорівнює, То говорять, що вонизнаходяться в квадратурі.

В даний час змінний струм знаходить широке застосування в техніці, так як він легко трансформується і передається на великі відстані при високій напрузі і малих втратах.

В електротехніці найбільшого поширення набув синусоїдальний змінний струм, тобто струм, величина якого змінюється за законом синуса.

Тому миттєве значення синусоїдального струму виражається формулою

де - амплітуда струму,

Т - період - час, за який здійснюється одне повне коливання, с;

f \u003d 1 / T - частота, що дорівнює числу коливань за 1 секунду (одиниця виміру частоти - Герц (Гц) або з -1);

ω - кутова частота (виражається в рад / с або з -1).

Аргумент синуса, тобто

називаютфазой. Фаза характеризує стан коливання (його чисельне значення) в даний момент часу t.

Будь-яка синусоидально змінюється функція визначається трьома величинами: амплітудою, кутовий частотою і початковою фазою.

Якщо частота занадто низька, то збільшуються габарити електричних машин і, отже, витрата матеріалів на їх виготовлення.

При занадто великих частотах збільшуються втрати енергії в сердечниках електричних машин і трансформаторах.

Середнє і діюче значення синусоидально змінюється величини

Під середнім значенням синусоидально змінюється величини розуміють її середнє значення за полперіода.

Тобто середнє значення синусоїдального струму становить

від амплітудного значення.

Змінний струм зазвичай характеризується його діючим значенням .

Значить, діюче значення синусоїдального струму одно 0,707 від амплітудного.

Отримання синусоїдальної е.р.с.

В лінійних електричних ланцюгах синусоїдальний струм виникає під дією синусоїдальної е.р.с. Синусоїдальну залежність можна отримати, обертаючи з постійною швидкістю в рівномірному магнітному полі провідник у вигляді прямокутної рамки площею S. Тоді магнітний потік через рамку

де - кут між нормаллю до рамки і вектором магнітної індукції .

Оскільки при рівномірному обертанні рамки кутова швидкість

, То кут буде змінюватися за законом

=>

Так як при обертанні рамки перетинає її магнітний потік весь час змінюється, то за законом електромагнітної індукції в ній буде наводитися Е.Д.С. індукції

де Е 0 - амплітуда синусоїдальної е.р.с.

Таким чином, в рамці виникає синусоїдальна Е.Д.С., а якщо рамку замкнути на навантаження, то в ланцюзі потече синусоїдальний струм.

Способи зображення синусоїдальних величин

Графічне зображення синусоїдальних величин.

Для порівняння електричних величин, що змінюються за синусоїдальним законом, необхідно знати різницю їх початкових фаз. Якщо, наприклад, на якому - небудь ділянці ток i і напруга u мають однакові початкові фази, кажуть, що вони збігаються по фазі. Якщо графік зміни в часі напруги u на якій-небудь ділянці ланцюга перетинає координату часу t раніше графіка струму i, То говорять, що напруга по часу випереджає струм.

На рис. 3.2 для заданого елемента ланцюга представлені графіки зміни в часі двох електричних величин: напруги u і струму i. З цих двох графіків видно, що вони зрушені по фазі один відносно одного на кут φ .